IPSSCT V. Bosso a.s.2003-2004Francesca Alloatti EquazioneSPURIA EquazioneMONOMIA EquazionePURA EQUAZIONI II GRADO Una equazione è un ’ uguaglianza tra.

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1 IPSSCT V. Bosso a.s.2003-2004Francesca Alloatti EquazioneSPURIA EquazioneMONOMIA EquazionePURA EQUAZIONI II GRADO Una equazione è un ’ uguaglianza tra due espressioni, contenente una incognita Il grado di una equazione è il massimo esponente che compare sull ’ incognita quindi … 3x – 27 = 0 3x 2 – 27 = 0 -4x = 0 -4x 2 = 0 -6x + 2x = 0 -6x 2 + 2x = 0 x - 5x +6 = 0 x 2 - 5x +6 = 0 ax + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 In generale : sono equazioni di II grado. a = 3 c = -27 b = 0 a = -4 b = 0 c = 0 a = -6 b = 2 c = 0 a = 1 b = -5 EquazioneCOMPLETA c = 6 Come si risolvono?

2 IPSSCT V. Bosso a.s.2003-2004Francesca Alloatti Primo caso: a e c DISCORDI Porto “ c ” a secondo membro: N.B. Poiché a e c sono discordi, ora avranno lo stesso segno! Divido tutto per “ a ” : Determino i due valori soluzione: N.B. E ’ positivo! Secondo caso: a e c CONCORDI Porto “ c ” a secondo membro: N.B. Poiché a e c sono concordi, ora avranno segno diverso! Divido tutto per “ a ” : N.B. E ’ negativo! EQUAZIONI PURE b = 0 ax + c = 0 ax 2 + c = 0 La radice di un numero negativo… NON ESISTE L ’ equazione è IMPOSSIBILE IMPOSSIBILE ax + c = 0 ax 2 + c = 0 MA

3 IPSSCT V. Bosso a.s.2003-2004Francesca Alloatti EQUAZIONI SPURIE c = 0 ax + bx = 0 ax 2 + bx = 0 Prima di cominciare occorre ricordare una cosa: Quando il prodotto di A × B = 0? se A = 0 B = 0 oppure: LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO Un prodotto è nullo se è nullo almeno uno dei suoi fattori. Torniamo alle equazioni spurie. -6x + 2x = 0 -6x 2 + 2x = 0 ax + bx = 0 ax 2 + bx = 0 Raccolgo la x: x (ax + b) = 0 x (-6x + 2) = 0 Ora ritrovo un prodotto: A × B = 0 Perla legge di annullamento del prodotto posso dire che: x (ax + b) = 0 se: x = 0 ax + b = 0 ax = - b prima soluzione seconda soluzione Nelle equazioni SPURIE una delle due soluzioni è sempre x = 0 -6x + 2 = 0 -6x = -2 6x = 2 x = 0 x =

4 IPSSCT V. Bosso a.s.2003-2004Francesca Alloatti EQUAZIONI MONOMIE b = 0 e ax = 0 ax 2 = 0 c = 0 Una equazione monomia è del tipo ax 2 = 0 b = 0 c = 0 è pura è spuria Le due soluzioni sono opposte (ex.  3) Una delle due soluzioni è uguale a 0 Le due soluzione sono sempre x 1,2 = 0 I passaggi algebrici per arrivare alla soluzione sono: Ragioniamo con le conoscenze che fino ad ora abbiamo appreso: Consideriamo l ’ equazione: ma… Lo zero non ha segno! Le soluzioni sono coincidenti:

5 IPSSCT V. Bosso a.s.2003-2004Francesca Alloatti EQUAZIONI COMPLETE ax + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 Una equazione completa è del tipo ax 2 + bx + c = 0 Vediamo come si risolve: Determino a, b e c a = 1 b = -5 c = 6 Calcolo il discriminante dell ’ equazione:  = = = = b 2 – 4  a  c  = = = = (-5) 2 – 4  1  6 = Ora, ho 3 possibilità: Sono 3 casi differenti che portano ad un numero differente di soluzioni. Due soluzioni distinte Due soluzioni coincidenti Nessuna soluzione reale 25-24 = 1   0  = 0   0

6 IPSSCT V. Bosso a.s.2003-2004Francesca Alloatti EQUAZIONI COMPLETE ax + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 Vediamo come si risolve l ’ equazione nei tre casi presentati nella diapositiva precedente: Vediamo come si risolve l ’ equazione nei tre casi presentati nella diapositiva precedente: CASO 1: CASO 1:   0 Si applica la formula: Si applica la formula: Cerco il  Cerco il  DUE SOLUZIONI DISTINTE DUE SOLUZIONI DISTINTE Vediamo un esempio: Vediamo un esempio: Applico la formula risolutiva Applico la formula risolutiva 1° soluzione 2° soluzione

7 IPSSCT V. Bosso a.s.2003-2004Francesca Alloatti CASO 2: CASO 2:  = 0 Si applica la formula vista nel caso 1: Si applica la formula vista nel caso 1: Cerco il  Cerco il  DUE SOLUZIONI COINCIDENTI DUE SOLUZIONI COINCIDENTI Vediamo un esempio: Vediamo un esempio: Applico la formula risolutiva Applico la formula risolutiva EQUAZIONI COMPLETE ax + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 ma poiche ’ : ma poiche ’ : la formula si semplifica e diventa: la formula si semplifica e diventa: 1° soluzione 2° soluzione

8 IPSSCT V. Bosso a.s.2003-2004Francesca Alloatti CASO 3: CASO 3:  < 0 L ’ EQUAZIONE QUINDI NON POSSIEDE SOLUZIONI REALI Cerco il  Cerco il  Vediamo un esempio: Vediamo un esempio: EQUAZIONI COMPLETE ax + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 ma… ma… L ’ EQUAZIONE E ’ IMPOSSIBILE NON SI PUO ’ ESTRARRE LA RADICE DI UN NUMERO NEGATIVO!!! L ’ EQUAZIONE E ’ IMPOSSIBILE Applicheremmo la formula risolutiva: Applicheremmo la formula risolutiva: