PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI Assegnazione al trasporto stradale

Presentazione sul tema: "PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI Assegnazione al trasporto stradale"— Transcript della presentazione:

1 PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI Assegnazione al trasporto stradale
Università di Cagliari DICAAR – Dipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale e architettura Sezione Trasporti PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI Assegnazione al trasporto stradale A.A Prof. Italo Meloni

2 Argomenti Concetti di base Metodi di assegnazione del traffico
Definizioni e notazione Curve velocità-flusso e costo-flusso Metodi di assegnazione del traffico Scelta del percorso Costruzione degli alberi Assegnazione tutto o niente Metodi stocastici Metodi basati sulla simulazione Metodi stocastici proporzionali Assegnazione in presenza di congestione Equilibrio di Wardrop Metodi di adattamento con velocità alte e con velocità smorzate Assegnazione incrementale Metodo delle medie successive Considerazioni pratiche

3 Sistema dei trasporti La combinazione della domanda e dell’offerta di beni e servizi determina il loro effettivo scambio. Il punto di equilibrio che risulta da questa combinazione, definisce il prezzo al quale i beni saranno scambiati e il loro rispettivo flusso (quantità scambiata) nel mercato (teoria economica classica) L’offerta di trasporto è costituita dalla rete stradale S(L,C) rappresentata dagli archi L (e dai nodi associati a essi) e dai loro costi C. I costi dipendono da una serie di attributi associati agli archi (distanza, velocità a flusso libero, capacità, relazione velocità-flusso). La domanda è rappresentata dal numero di spostamenti che potrebbero essere realizzati, per coppia O/D e per modo, dato un certo livello di servizio assunto per la loro stima.

4 Sistema dei trasporti Il tempo di viaggio rappresenta uno dei principali elementi che definiscono il livello di servizio anche se spesso possono essere rilevanti anche i costi monetari (tariffe, carburante) e caratteristiche quali il comfort percepito dall’individuo. Se l’effettivo livello di servizio offerto da una rete di trasporto risulta più basso di quello stimato ci si deve aspettare una riduzione della domanda e forse un cambiamento verso altre destinazioni, modi e/o orari della giornata. In questo senso la relazione velocità/flusso (o costi generalizzati/flusso) è importante in quanto mette in relazione l’uso di una rete con il livello di servizio che essa può offrire. La rete dei trasporti pubblici deve essere definita in modo simile a quella della rete privata, ma dovrebbe contenere una specificazione aggiuntiva del servizio offerto in termini di percorso, capacità, frequenza, e idealmente, sebbene difficile nella pratica, in termini di qualità, affidabilità e regolarità.

5 Livelli di equilibrio Equilibrio della rete stradale
L’interazione tra domanda e offerta produce diversi livelli di equilibrio: Equilibrio della rete stradale Equilibrio di una rete multimodale Equilibrio del sistema

6 Equilibrio della rete stradale
I viaggiatori descritti mediante una data matrice dei viaggi si distribuiscono tra i vari percorsi che collegano la coppia OD ricercando il percorso che minimizza il loro costo di viaggio (tempo di viaggio) in relazione al livello di servizio offerto Lo schema di flussi di percorso e d’arco in una rete stradale può essere definito in equilibrio quando gli utenti non riescono a trovare percorsi migliori per raggiungere le loro destinazioni; in questo caso la variazione dei costi (congestione) sulla rete governa la distribuzione della domanda sui percorsi Un simile fenomeno si verifica anche nella rete dei servizi di trasporto pubblico dove i passeggeri possono cercare i percorsi (cioè le combinazioni di servizi) che minimizzano i loro costi generalizzati di viaggio, per effetto del sovraffollamento, del tempo di attesa, di camminamento pedonale e di viaggio a bordo del veicolo.

7 Equilibrio della rete multimodale
Man mano che la congestione veicolare aumenta (aumento dei costi sulla rete), può accadere che: aumentano anche i tempi di viaggio degli autobus che percorrono la stessa strada. Questo fenomeno può indurre alcuni utenti del trasporto pubblico (e gli operatori del servizio) a modificare i loro percorsi o addirittura il modo per evitare ritardi. Queste scelte interagiscono con quelle degli automobilisti in quanto la nuova condizione può produrre una riduzione (un aumento) di capacità su alcuni archi e perciò nuovi punti di equilibrio. aumentano i costi di tutti percorsi stradali Questo fenomeno può indurre alcuni utenti del trasporto stradale a modificare i loro il modo utilizzato per evitare ritardi. Queste scelte interagiscono con quelle degli altri automobilisti in quanto la nuova condizione può produrre un aumento di capacità su alcuni archi e perciò nuovi punti di equilibrio.

8 Equilibrio del sistema
lo schema dei flussi della rete può influenzare oltre la scelta del modo, anche quella della destinazione e dell’orario di viaggio. Il nuovo schema dei flussi produce livelli di servizio sui percorsi e sui modi che possono essere o non essere coerenti con quelli assunti nella stima della matrice dei viaggi fissata; Questo richiede una nuova stima della matrice e quindi l’utilizzo, all’interno del processo di stima, dei nuovi livelli di servizio per ottenerne una nuova; Può risultare necessario ripetere il processo in modo sistematico, fino a quando non si ottengono matrici di viaggi i cui valori dei costi sono coerenti con quelli prodotti dai flussi stimati per ogni rete.

9 Definizioni e notazioni
Tijr è il numero di spostamenti tra i e j attraverso il percorso r Va è il flusso sull’arco a C(Va) è la relazione costi-flussi per l’arco a c(Va) è l’effettivo costo per uno specifico livello di flusso Va (quando Va = 0 il costo è definito costo a flusso libero) cijr è il costo di viaggio da i a j attraverso il percorso r 1 se l’arco appartiene al percorso r da i a j 0 altrimenti Un apice n sarà utilizzato per indicare una particolare iterazione nei metodi iterativi. Un asterisco (*) sarà invece utilizzato per indicare il valore ottimo.

10 Curve velocità-flusso e costo-flusso
Al crescere del flusso la velocità tende a decrescere, con un tratto iniziale in cui le variazioni sono piccole. Quando il flusso raggiunge valori prossimi alla capacità il tasso di riduzione nella velocità incrementa. Il flusso raggiunge il valore massimo alla capacità e quando si tenta di forzare i volumi di traffico oltre questo valore si raggiunge una regione instabile caratterizzata da velocità e flussi bassi. Per ragioni pratiche si tratta la relazione tempo di viaggio per unità di distanza (o anche costo) rispetto al flusso.

11 Le curve di deflusso Ca = Ca ({V}) Ca = Ca ({Va})
Il costo sull’arco a dipende da tutti i flussi V sulla rete e non solo dal flusso che lo attraversa (costi non separabili); Ca = Ca ({V}) Il costo sull’arco a dipende dal flusso del singolo arco e dalle sue caratteristiche (costi separabili); Questa semplificazione è tanto meno vera quanto più densa e congestionata è l’area urbana. Ca = Ca ({Va}) Dal punto di vista dell’assegnazione è importante che la curva di deflusso possieda alcune principali proprietà, quali: Essere realistica, cioè la modellizzazione del tempo di viaggio dovrebbe essere abbastanza veritiera. Essere non decrescente e monotona. Essere continua e differenziabile. Permettere l’esistenza di un campo di sovraccarico, cioè non dovrebbe generare tempi di viaggio infiniti, anche quando il flusso uguaglia o risulta più elevato della capacità.

12 Il costo marginale La curva di deflusso dovrebbe crescere al crescere del flusso, quindi il costo totale su un arco sarà dato da VaCa(Va). Il corrispondente costo marginale (il contributo al costo totale prodotto dall’aggiunta marginale di un veicolo al flusso) sarà dato da: L’incremento di costo è un effetto esterno e corrisponde ai costi addizionali sostenuti dagli utenti dell’arco quando si aggiunge un nuovo veicolo. Poiché la curva costo flusso è crescente questo contributo è sempre maggiore di zero. Incremento di costo totale prodotto sul restante traffico dall’introduzione nel flusso di un veicolo marginale Costo medio sull’arco

13 Forme funzionali costo-flusso
Problemi pratici per la calibrazione: Definizione dell’ampiezza del periodo di osservazione; Ipotesi che i ritardi dipendano solo dal flusso sull’arco stesso. Le curve più utilizzate: Smock (1962) Overgaard (1967) Bureau of Public Roads USA (1964) Departement of Transport UK t : tempo di viaggio per unità di distanza, t0 : tempo di viaggio per unità di distanza in condizioni di flusso libero, Qs : capacità dell’arco in condizioni stazionarie Qp : capacità reale dell’arco, α, β : parametri di calibrazione S0 : velocità a flusso libero S1 : velocità alla capacità pari al flusso F2 F1 : massimo flusso a cui le condizioni di flusso libero permangono d : distanza o lunghezza dell’arco

14 Ca = α(tempo di viaggio)a + β(distanza dell’arco)a
Costo generalizzato Tutte le curve velocità-flusso e costo-flusso appena viste forniscono informazioni utili circa i tempi di viaggio sull’arco. È riconosciuto che la maggior parte degli utenti minimizzano una combinazione di attributi dell’arco che includono tempo e distanza. La pratica convenzionale raccomanda l’uso di una versione semplificata del concetto di costo generalizzato, cioè una combinazione lineare pesata del tempo e della distanza: Ca = α(tempo di viaggio)a + β(distanza dell’arco)a Questo costo può essere misurato in unità di tempo e denaro generalizzato. La calibrazione della relazione costo-flusso richiede tempo e una discreta quantità di dati di buona qualità, per questa ragione molti paesi hanno sviluppato delle curve proprie da utilizzare nei loro studi e queste relazioni vengono calibrate solo raramente. Sush et al. (1990) hanno sviluppato un approccio innovativo per stimare le curve di deflusso, basato sui conteggi di traffico: utilizzano un metodo di ottimizzazione bilivello che essenzialmente cerca di stabilire i parametri delle curve di deflusso minimizzando una funzione che misura la differenza tra flusso assegnato e osservato.

15 Metodi di assegnazione del traffico
Obiettivi primari: Ottenere buone misure aggregate della rete (flussi totali sulle autostrade, ricavi totali per ogni servizio di autobus). Stimare costi (tempi) di viaggio tra zone per un dato livello di domanda. Ottenere ragionevoli valori di flusso d’arco e individuare gli archi pesantemente congestionati. Obiettivi secondari: Stimare i percorsi utilizzati tra ogni coppia O/D. Analizzare quali coppie O/D usano particolari archi o itinerari. Ottenere le manovre di svolta per dimensionare le intersezioni future.

16 Metodi di assegnazione del traffico
Input di base richiesti per la sua costruzione: Una matrice di viaggi che esprime la domanda stimata in un determinato arco temporale. Normalmente si riferisce ad una fascia oraria di punta in un’area congestionata. Le matrici possono essere disponibili in termini di spostamenti di persone nel qual caso dovrebbero essere convertite in spostamenti di veicoli, poiché la capacità e la relazione velocità-flussi della rete sono descritte in questi termini; Una rete, cioè gli archi e loro proprietà, incluse le curve di deflusso associate ad ogni arco; Delle regole e/o principi di selezione dei percorsi rilevanti per il problema in esame (modello di scelta del percorso).

17 I modelli di Assegnazione
RETE per una rete monomodale la corrispondenza può esprimersi come: Fk = dod (m) · p (k / mod) MATRICE O / D MODELLO DI SCELTA DEL PERCORSO d (o/d) MODELLO DI ASSEGNAZIONE Prob (k) Fk FLUSSI SULLA RETE

18 Modello di Scelta del percorso
Ipotesi di base: l’individuo è un utente razionale (Homo economicus) che: conosce tutte le alternative disponibili nel suo insieme di scelta valuta ogni alternativa sulla base delle caratteristiche/attributi che possiede associa ad ogni alternativa un livello di soddisfazione (indice di utilità) confronta le alternative sulla base del livello di soddisfazione, misurato attraverso l’indice di utilità, e sceglie sempre l’alternativa più attrattiva che massimizza la sua soddisfazione e quindi l’indice di utilità (massimizzazione dell’utilità/teoria comportamentale)

19 Modello di Scelta del percorso
Alternative: sono i diversi percorsi fattibili ed attrattivi che collegano la coppia OD Attribuiti delle alternative: costo generalizzato di trasporto che quando ci si sposta in auto tra 2 punti dipende da: Tempo di viaggio Distanza Costi monetari (carburante e altro) Congestione e code, tipi di manovre richieste, tipi di strade (autostrade, strade principali, secondarie) Paesaggio, segnaletica, lavori stradali, affidabilità del tempo di viaggio, abitudine

20 Modello di Scelta del percorso
L’approssimazione più comune del costo generalizzato consiste nel considerare solo 2 fattori nella scelta del percorso: Il tempo Il costo monetario (spesso stimato proporzionalmente alla distanza) CK = α(tempo di viaggio)K + β(distanza dell’arco)K Diverse applicazioni suggeriscono che, almeno nel caso del traffico automobilistico urbano, il tempo sia il fattore dominante nella scelta del percorso; La combinazione di Tempo e Distanza fornisce la migliore spiegazione della scelta del percorso (spiega il 60-80% dei percorsi realmente osservati); Le parti non spiegate devono essere attribuite a fattori come le differenze nelle percezioni, le imperfette informazioni sui costi di percorso o semplicemente a errori.

21 Modello di Scelta del percorso
Una volta calcolata l’attrattività di ogni alternativa di percorso sulla base dei costi associati ad ogni percorso utile per collegare la coppia OD l’individuo (un utente razionale) sceglie il percorso che offre i più bassi costi individuali percepiti (attesi) e che gli consente di massimizzare il proprio livello di utilità. Quindi tra le diverse alternative l’utente sceglie il percorso di minimo costo che collega la coppia OD.

22 Differenti scelte Il fatto che differenti utenti spesso scelgano differenti percorsi quando si spostano tra la stessa coppia O/D si spiega dalle: Differenze individuali nella percezione di cosa costituisce il percorso migliore. Effetti della congestione, che influenzano i percorsi più brevi e che rendono i loro costi generalizzati comparabili con i percorsi inizialmente meno attraenti.

23 Differenti scelte Esempio: circonvallazione più lunga ma più veloce e con capacità più grande, mentre strada urbana più corta ma meno veloce e con meno capacità. V=4000 è la domanda di coloro che transitano da A e che vorrebbe utilizzare per il percorso più breve (cittadino). Non è possibile che tutti gli utenti utilizzino il percorso cittadino perché diventerebbe troppo congestionato anche prima che si raggiunga il livello di flusso pari alla capacità (vincolo di capacità). In questo caso molti utenti opteranno per la circonvallazione evitando code e perditempo. In pratica gli utenti sperimenteranno i due percorsi sino a che non troveranno una soluzione stabile (equilibrio di Wardrop). In questo caso la distribuzione dei flussi tra i percorsi è dovuta al vincolo di capacità Non è detto che tutti gli utenti si comporteranno allo stesso modo. Le differenze negli obiettivi e nelle percezioni degli individui contribuiranno a distribuire i flussi sui diversi percorsi (effetto stocastico);ovvero qualcuno continuerà a rimanere nella strada più breve e qualcun altro ad utilizzare la circonvallazione.

24 Metodi di assegnazione
Includono effetti stocastici? No Si Includono un vincolo di capacità? Tutto o niente Puramente stocastico (Dial e Burrel) Equilibrio di Wardrop Equilibrio stocastico Fasi fondamentali: Identificare una serie di percorsi che possono essere considerati attrattivi dagli utenti; questi percorsi sono immagazzinati in una particolare struttura di dati chiamata albero e questa fase è quindi spesso chiamata di costruzione degli alberi di minimo costo Assegnare un’appropriata percentuale della matrice dei viaggi a questi percorsi o alberi; questo produce i flussi sugli archi della rete. Ricercare la convergenza; molte tecniche seguono una procedura iterativa di successive approssimazioni alla soluzione ideale, per esempio all’equilibrio di Wardrop; la convergenza a questa soluzione deve essere controllata per decidere quando fermare il processo iterativo.

25 Costruzione degli alberi [Moore (1957), Dijkstra (1959)]
dA,B = lunghezza (costo) di un arco tra A e B; dA = distanza minima per raggiungere il nodo o il centroide A dalla radice S dell’albero; PA = il predecessore di A così che l’arco (PA, A) sia parte del percorso minimo da S ad A. Inizializzazione: Si fissa per tutti i nodi un valore della distanza sufficientemente grande (dA = ∞) eccetto che per il nodo radice (ds = 0); Si predispone una lista L che dovrà contenere tutti i nodi già raggiunti dall’algoritmo ma non completamente esaminati come predecessori di altri nodi; i nodi contenuti in questa lista sono quelli a partire dai quali possono essere raggiunti tutti gli altri nodi; Tutti gli elementi della lista L sono posti uguali a zero e tutti i predecessori PA di A sono posti uguali ad un opportuno valore di default. Procedura: partendo dall’origine S quale nodo corrente A: Si esamina ogni arco (A, B) in uscita dal nodo corrente A uno alla volta, se dA+dAB<dB allora si pone dB=dA+dAB, PB=A e si aggiunge B alla lista L; Si rimuove A dalla lista L; se la lista di nodi è vuota ci si ferma, altrimenti si passa al punto 3; Si seleziona un altro nodo della lista e si ritorna al punto 1 con il nodo selezionato come nodo corrente da esaminare. Utilizzi degli alberi Identificare una serie di percorsi che possono essere considerati attrattivi dagli utenti Estrarre informazioni sui costi in una rete (estrazione delle proprietà) Fornire informazioni su quali coppie O-D probabilmente utilizzano particolari collegamenti (analisi degli archi selezionati)

26 Assegnazione “Tutto o Niente”
Assume che: non vi sia congestione (i costi degli archi sono fissi). tutti i guidatori considerino gli stessi attributi per la scelta del percorso, li percepiscano e li pesino allo stesso modo (tutti gli utenti da i a j devono scegliere lo stesso percorso).

27 Assegnazione “Tutto o Niente”
Procedura di caricamento della matrice T agli alberi di minimo percorso e di determinazione dei flussi VA,B sugli archi: Tutti gli algoritmi partono con la fase di inizializzazione (VA,B = 0) Metodo “coppia per coppia” (si parte da un’origine e si prende una destinazione alla volta): si fissa B uguale alla destinazione j se (A,B) è l’arco predecessore di B allora si incrementa VA,B di Tij, cioè VA,B= VA,B+ Tij si fissa B uguale ad A se A= i la procedura termina (cioè si passa a esaminare la prossima coppia (i, j), altrimenti si ritorna al punto 2

28 Assegnazione “Tutto o Niente”
Procedura di caricamento della matrice T agli alberi di minimo percorso e di determinazione dei flussi VA,B sugli archi: Tutti gli algoritmi partono con la fase di inizializzazione (VA,B = 0) Metodo “a cascata” (carica sugli assi i flussi accumulati dai nodi seguendo gli alberi di minimo costo a partire da un’origine i). Sia VA il flusso cumulativo al nodo A: si fissano tutti VA = 0 eccetto che per la destinazione j per cui Vj = Tij si fissa B uguale al più distante nodo da i si incrementa VA di VB dove A è il nodo predecessore di B, cioè VA = VA + VB si incrementa VA,B della quantità VB, cioè VA,B = VA,B + VB si fissa B uguale al successivo nodo più distante; se B = i allora è stata raggiunta l’origine, e il processo ricomincia per l’origine successiva, altrimenti si procede dal punto 3

29 Esempio Matrice dei viaggi Costi (tempi) di viaggio su ogni arco
A-C A-D B-C B-D 400 200 300 100 Costi (tempi) di viaggio su ogni arco Alberi riferiti ai costi (a) assieme ai relativi flussi dopo l’assegnazione Totale dei flussi dopo l’assegnazione

30 Metodi stocastici di assegnazione del traffico
Mettono in risalto la variabilità da parte degli utenti nella percezione dei costi e nella misura composita che cercano di minimizzare (distanza, tempo di viaggio, costi generalizzati) Si considerano anche i percorsi immediatamente successivi al percorso migliore (second best routes) Questo genera problemi poiché il numero dei second best alternativi tra ogni coppia O/D può risultare estremamente ampio Metodi basati sulla simulazione (simulazione Monte Carlo) [Burrell-1968] Metodi basati sulla proporzione (espressioni tipo LOGIT) [Dial]

31 Metodi basati sulla simulazione - Burrell
Ipotesi: Per ogni arco in una rete: costi d’arco oggettivi o misurati/stimati dal tecnico; costi d’arco soggettivi percepiti da ogni utente. Si assume che il costo d’arco stimato dal tecnico sia solo la media dei costi che tutti gli utenti percepiscono. Si assume che i costi siano distribuiti stocasticamente secondo una certa legge di variazione (Uniforme per Burrell, Normale per altri) della quale è necessario calibrare (o fissare) una deviazione standard o un intervallo per la distribuzione dei costi percepiti. Le distribuzioni dei costi percepiti dagli utenti si assume siano indipendenti. Gli utenti scelgono il percorso che minimizza i loro costi di percorso percepiti, che sono ottenuti come somma dei singoli costi d’arco.

32 Burrell - Distribuzione uniforme
L’approccio di Burrell ha il vantaggio di assegnare una probabilità più alta a quei percorsi che il tecnico ha stimato come più economici. Sebbene la distribuzione uniforme sia efficiente in termini di tempo di calcolo, non è tuttavia molto realistica. Una funzione migliore ma più dispendiosa in termini di tempo di elaborazione è la normale con varianza proporzionale al costo medio stimato dal tecnico.

33 Metodi basati sulla simulazione - Burrell
Per ogni arco in una rete si calcoli: Il costo d’arco oggettivo o misurato/stimato dal tecnico pari alla media della distribuzione Il costo d’arco soggettivo percepiti da ogni utente attraverso l’estrazione casuale dalla corrispondente distribuzione (Uniforme per Burrel, Normale per altri) della quale è necessario calibrare (o fissare) una deviazione standard o un intervallo per la distribuzione dei costi percepiti; Si costruisce il percorso di costo minimo tra i e j e gli si assegni la domanda con il metodo A/N Se la domanda è stata suddivisa in n segmenti i flussi sugli archi si sommano a quelli assegnati nell’iterazione precedente Si continua cosi sino all’assegnazione di tutta la domanda

34 Metodi stocastici proporzionali
Sono basati su un algoritmo di caricamento che distribuisce gli spostamenti che arrivano al nodo tra tutti i possibili nodi in uscita. Si consideri il nodo B, in cui ci siano un numero di possibili archi in entrata definiti da A1,…,A5 per la domanda da I a J (passante per B); Si definisca un fattore di ripartizione fi tale che: J La prima condizione richiede che fi sia uguale a zero se il nodo Ai è più lontano dall’origine di B, assicurando quindi che gli spostamenti siano assegnati ai percorsi che si allontanano dall’origine in modo efficiente (dove dai è il costo minimo di viaggio per raggiungere ai dal nodo origine); Gli spostamenti TB che passano attraverso B vengono suddivisi secondo l’equazione:

35 Calcolo fi : Metodo del singolo percorso - Dial
Extra costo sopportato nel viaggiare dall’origine al nodo B passando per il nodo Ai piuttosto che il percorso di costo minimo Se Ai è nel percorso di costo minimo: I nodi che appartengono al percorso più costoso hanno: In questo modo sono favoriti i percorsi più brevi a quelli più costosi. Dial originalmente descrive un algoritmo a doppio-passo che utilizza una formulazione tipo LOGIT per distribuire i viaggi da i a j tra i percorsi alternativi r: Il parametro Ω può essere utilizzato per controllare la ripartizione degli spostamenti tra percorsi.

36 Calcolo fi : Metodo del singolo percorso - Dial
L’algoritmo implica un passo in avanti e uno all’indietro: nel passo in avanti si prende ogni nodo A in ordine crescente di distanza dA e si definisce un peso per ogni arco in uscita (A, B) tale che: dove WA è il peso cumulato su A definito come: il passo indietro è identico all’algoritmo a un singolo passo con l’eccezione che i pesi w(A,B) sono utilizzati per elaborare la distribuzione degli spostamenti piuttosto che il fattore di ripartizione Fi.

37 Problema della distorsione
A-B: 4000 spost C1 = C2 = C3 = C4 Algoritmo di Dial: 1000 Tuttavia, la maggior parte degli utenti considererebbe questo problema come se fossero disponibili due alternative: la circonvallazione i percorsi per il centro città. L’algoritmo di Dial incontra delle difficoltà quando vengono considerati tutti i possibili percorsi, e quindi anche quelli che variano di poco o sono combinazioni di archi che possono differire per pochi punti percentuali di costo. In termini comportamentali Dial ignora la correlazione tra percorsi simili e quindi, in pratica, assegna più traffico alle sezioni dense delle reti con archi corti, rispetto a porzioni meno dense della rete con archi relativamente più lunghi.

38 Assegnazione in presenza di congestione
I modelli con vincoli di capacità devono utilizzare funzioni che mettono in relazione il flusso con i costi (tempi) di viaggio sugli archi. Questi modelli cercano di avvicinarsi alle condizioni di equilibrio come formalmente enunciate da Wardrop (1952): Sotto condizioni di equilibrio il traffico si assesta nelle reti congestionate in modo tale che nessun viaggiatore possa ridurre il proprio costo di viaggio cambiando percorso. Se tutti i viaggiatori percepiscono i costi nello stesso modo (nessun effetto stocastico) l’equilibrio di Wardrop diventa: Sotto condizioni di equilibrio, il traffico si assesta nelle reti congestionate in modo tale che tutti i percorsi utilizzati tra una coppia O-D abbiano uguali e minimi costi mentre tutti i percorsi inutilizzati hanno costi più alti o uguali. Se queste condizioni non sono valide, almeno alcuni guidatori dovrebbero essere in grado di ridurre i loro costi cambiando percorso.

39 Esempio B (“t”) (“b”)

40 Esempio I flussi sui due percorsi soddisfano l’equilibrio di Wardrop quando i corrispondenti costi sono identici; Si scrivono le due equazioni del tempo di viaggio in funzione del flusso: Uguagliando tb a tt è possibile trovare la diretta soluzione dell’equilibrio di Wardrop come una funzione del flusso totale (V = Vb + Vt): L’espressione di Vb ha senso solo per V maggiore o uguale 200/0.8 = 250; Saranno utilizzati entrambi i percorsi solo per V > 250; Per V < 250, Ct < Cb, Vb = 0 e Vt = V, cioè tutto il traffico sceglierà il percorso cittadino.

41 Algoritmi specifici Nei casi in cui non sia possibile risolvere il problema dell’equilibrio algebricamente, sono necessari algoritmi specifici semplici approcci euristici schemi di programmazione matematica L’indicatore δ, definito nella seguente equazione, è spesso utilizzato per valutare in che misura la soluzione si avvicina all’equilibrio di Wardrop: Eccesso di costo di viaggio su un particolare percorso rispetto al minimo costo di viaggio per quella coppia ij δ è una misura dell’extra-costo complessivo dovuto al fatto di utilizzare percorsi peggiori (diversi da quelli di costo minimo) di quello ottimo; più piccolo è meno è la differenza tra il di viaggio utilizzato e quello minimo. l’introduzione del denominatore consente di ottenere una misura espressa in termini relativi piuttosto che in termini assoluti.

42 Assegnazione incrementale
L’analista fraziona il totale della matrice di domanda T in un numero di matrici mediante una serie di fattori proporzionali pn compresi tra 0 e 1 tale che ∑npn =1. Le matrici frazionate sono poi caricate, secondo una procedura incrementale, sugli alberi di minimo costo che di volta in volta vengono calcolati in base ai costi d’arco provenienti dai precedenti flussi accumulati. Tipici valori per pn sono: 0,4 - 0,3 - 0,2 e 0,1. L’algoritmo può essere scritto nel modo seguente

43 Assegnazione incrementale
Si selezioni un insieme iniziale di costi d’arco correnti, normalmente in condizioni di flusso libero, e si pongano tutti i flussi Va = 0. Si selezioni un insieme di fattori pn di frazionamento della matrice T dei viaggi tali che ∑npn=1; si ponga n = 0. Si costruiscano gli alberi di minimo costo (uno per ogni origine) utilizzando i costi correnti; si ponga n = n+1. Si carichi tutta la frazione di domanda Tn = pn T all’albero di minimo costo con il metodo tutto o niente; in questo modo si ottiene un insieme di flussi ausiliari Fa; si sommino i flussi su ogni arco (provenenti dalle altre iterazioni) secondo la: Si calcoli un nuovo insieme di costi d’arco correnti sulla base dei flussi Van; se non è stata assegnata tutta la frazione di T si torni al punto 2, altrimenti ci si arresti.

44 Svantaggi/Vantaggi Anche se il numero di frazioni in cui è stata suddivisa la domanda è molto ampio e gli incrementi che si utilizzano sono molto piccoli (pnT), questo algoritmo non necessariamente converge all’equilibro di Wardrop. La tecnica del caricamento incrementale, infatti, presenta lo svantaggio che un flusso assegnato a un arco non può più essere rimosso da questo e assegnato a un altro; perciò se in una delle iterazioni iniziali viene assegnato troppo flusso a un arco (per esempio a un arco con bassa capacità) le condizioni di equilibrio di Wardrop non si raggiungono e l’algoritmo non converge a una soluzione corretta. Tuttavia, il caricamento incrementale ha due vantaggi: è molto semplice da programmare; i suoi risultati possono essere interpretati come l’accumulo di congestione nei periodi di punta.

45 Esempio B Si suddivida la domanda di 2000 spostamenti in 4 incrementi (0,4 – 0,3 – 0,2 – 0,1). A ogni incremento si calcolino i nuovi costi di viaggio utilizzando le eq. N Incremento Flusso città Costo by-pass 10 15 1 800 26 2 600 18 3 400 1000 20 4 200 1200 21 Se si calcola il valore dell’indicatore si ottiene: L’algoritmo non converge a una corretta soluzione di equilibrio; L’errore è causato dall’aver assegnato troppo flusso (800) all’arco cittadino nella prima iterazione. Poiché non è più possibile ridurre tale flusso nelle iterazioni successive, il flusso e il costo su questo percorso rimangono sovrastimati.

46 Algoritmi iterativi Il flusso corrente in un arco è calcolato come una combinazione lineare dei flussi assegnati nelle precedenti iterazioni e del flusso ausiliario, risultante da una assegnazione tutto o niente nella iterazione attuale: si selezioni un insieme di costi d’arco correnti, normalmente in condizioni di flusso libero; si inizializzi ponendo tutti i flussi Va = 0; si ponga n = 0; si costruiscano gli alberi di minimo costo con i costi correnti e si ponga n = n + 1; si carichi tutta la matrice T, con metodo tutto o niente, agli alberi di costo minimo così da ottenere un insieme di flussi ausiliari Fa; si calcoli il flusso corrente come: si calcoli un nuovo insieme di costi d’arco correnti sulla base dei flussi Van . Se i flussi (o i costi d’arco correnti) non si sono modificati significativamente in due consecutive iterazioni, la procedura si arresta; altrimenti si procede dal punto 2. Alternativamente, è possibile utilizzare l’indicatore δ per decidere se arrestare la procedura o meno (un altro criterio comunemente utilizzato, consiste nel fissare semplicemente il massimo numero di iterazioni; δ in questo caso verrebbe calcolato per conoscere di quanto ci si avvicina alla soluzione dell’equilibrio di Wardrop).

47 Metodo delle medie successive
Le varie implementazioni di questi algoritmi differiscono nel metodo utilizzato per assegnare un valore a φ. Una regola semplice è quella di porre φ costante (per esempio pari a 0,5) ma l’implementazione che da i migliori risultati è quella dovuta a Smock (1962) in cui è φ =1/n: A ciascun flusso ausiliario Fa viene assegnato lo stesso peso e, per questa ragione, il metodo è chiamato del volume medio (o delle medie successive, MSA). È stato dimostrato che ponendo φ = 1/n, si giunge a una soluzione convergente all’equilibrio di Wardrop, anche se non molto efficiente.

48 I modelli di Assegnazione
DETERMINAZIONE DEI PERCORSI DI COSTO MINIMO SULLA BASE DEI COSTI D’ARCO 1 ASSEGNAZIONE DELLA DOMANDA CON T/N AI PERCORSI DI COSTO MINIMO 2 5 COMBINAZIONE DEI FLUSSI TRA L’ITERAZIONE CORRENTE E QUELLA PRECEDENTE 3 AGGIORNAMENTO DEI COSTI D’ARCO 4

49 Procedura di caricamento della RETE
1° ITERAZIONE: rete scarica. I costi che si utilizzano per il calcolo dei percorsi di costo minimo sono quelli che si leggono nella curva di deflusso dell’arco per V=0 (corrispondenti alla velocità a flusso libero)

50 1.1 Determinazione dei percorsi
DETERMINAZIONE DELL’ALBERO DI MINIMO COSTO PER OGNI ORIGINE O Nella prima iterazione (inizializzazione) i costi per la determinazione del percorso sono quelli a flusso libero Va=0 O D

51 1.2 Assegnazione della Domanda
ASSEGNAZIONE DELLA DOMANDA, CON MODELLO TUTTO O NIENTE, AI PERCORSI DI MINIMO COSTO INDIVIDUATI TRA OGNI COPPIA O\D

52 1.3 Combinazione dei flussi
COMBINAZIONE FRA I FLUSSI ASSEGNATI NELL’ITERAZIONE CORRENTE E QUELLI CALCOLATI NELLE PRECEDENTI ITERAZIONI (dopo la prima iterazione) Calcolo dei flussi d’arco totali come somma dei flussi di percorso a cui quell’arco appartiene tra le diverse coppie OD (matrice di incidenza archi percorsi) f n = f n-1  (1-) +    FLUSSO DELLA PRECED. ITERAZIONE FLUSSO TUTTO O NIENTE FLUSSO RICALCOLATO

53 1.4 Aggiornamento dei costi
CALCOLO DEI COSTI DEI COSTI D’ARCO RILEVATI DALLA CURVA DI DEFLUSSO IN RELAZIONE AI NUOVI FLUSSI ASSEGNATI (NUOVI COSTI D’ARCO ) ARCO ij COSTI FLUSSI f n-1 f n FLUSSO RICALCOLATO FLUSSO PRECEDENTE COSTO RICALCOLATO CURVA DI DEFLUSSO DELL’ARCO ij COSTO PRECEDENTE

54 Procedura di caricamento della RETE
2° ITERAZIONE: rete carica con i flussi dell’iterazione precedente. I costi che si utilizzano per il calcolo dei percorsi di costo minimo sono quelli che si leggono nella curva di deflusso dell’arco in funzione dei flussi assegnati nell’iterazione precedente.

55 2.1 Rideterminazione dei percorsi
DETERMINAZIONE DELL’ALBERO DI MINIMO COSTO PER OGNI ORIGINE O sulla base dei nuovi costi d’arco Nella seconda iterazione i costi per la determinazione del percorso sono quelli determinati come al punto precedente O D

56 2.2 Assegnazione della Domanda
ASSEGNAZIONE DELLA DOMANDA, CON MODELLO TUTTO O NIENTE, AI PERCORSI DI MINIMO COSTO INDIVIDUATI TRA OGNI COPPIA O\D

57 2.3 Combinazione dei flussi
COMBINAZIONE FRA I FLUSSI ASSEGNATI NELL’ITERAZIONE CORRENTE E QUELLI CALCOLATI NELLE PRECEDENTI ITERAZIONI (dopo la prima iterazione) Calcolo dei flussi d’arco totali come somma dei flussi di percorso a cui quell’arco appartiene tra le diverse coppie OD (matrice di incidenza archi percorsi) f n = f n-1  (1-) +    FLUSSO DELLA PRECED. ITERAZIONE FLUSSO TUTTO O NIENTE FLUSSO RICALCOLATO

58 2.4 Aggiornamento dei costi
CALCOLO DEI COSTI DEI COSTI D’ARCO RILEVATI DALLA CURVA DI DEFLUSSO IN RELAZIONE AI FLUSSI ricalcolati con la formula precedente (NUOVI COSTI DI PERCORSO) ARCO ij COSTI FLUSSI f n-1 f n FLUSSO RICALCOLATO FLUSSO PRECEDENTE COSTO RICALCOLATO CURVA DI DEFLUSSO DELL’ARCO ij COSTO PRECEDENTE

59 2.5 Verifica di convergenza
CONTROLLO DEGLI INDICATORI DI CONVERGENZA ESITO POSITIVO ESITO NEGATIVO FINE DELLA PROCEDURA NUOVO CICLO ITERATIVO

60 Procedura di caricamento della RETE
… e così via … Sino al raggiungimento dell’equilibrio di Wardrop

61 Esempio Si consideri la domanda di 2000 spostamenti e si utilizzi φ = 1/n. Nella tabella seguente vengono sintetizzati i passi per il calcolo dell’algoritmo MSA. B

62 Esempio Iterazione φ Flusso cittadino Costo cittadino
Flusso del by-pass Costo del by-pass 1 F 2000 Vn 50 15 2 1/2 1000 30 20 3 1/3 667 23,33 1333 21,67 4 1/4 500 1500 22,50 5 1/5 800 26 1200 21 6 1/6 7 1/7 571 21,43 1429 22,14 8 1/8 750 25 1250 21,25 9 1/9 10 1/10 600 22 1400

63 Esempio Il valore di δ dopo dieci iterazioni è zero;
L’algoritmo era vicino alla soluzione corretta di equilibrio già nell’iterazione 3, 6 e 9; ciò è dovuto alla natura rigida della regola di calcolo di φ; Fissare il numero massimo di iterazioni non rappresenta un buon approccio dal punto di vista della valutazione. Archi e costi totali possono variare considerevolmente tra successive iterazioni e questo può influenzare la fattibilità dello schema di rete.

64 Considerazioni Il sottomodello di assegnazione rappresenta una fase critica dell’elaborazione dell’intero processo di modellizzazione del sistema dei trasporti. A differenza degli altri tre sottomodelli non esiste nessuna procedura standardizzata di calibrazione che possa assicurare che la fase di assegnazione riproduca le osservazioni nel miglior modo possibile. Le procedure più accreditate di validazione del modello sono quelle che utilizzano i conteggi di traffico sulla rete e al cordone. Verifica e doppia verifica della rete Adattamento della funzione di costo generalizzato Affinamento del modello di assegnazione

65 Secondo principio di Wardrop
Sotto condizioni di equilibrio sociale il traffico dovrebbe assestarsi nelle reti congestionate in modo tale che i costi medi (o totali) di viaggio siano minimizzati. Questo è un principio di progetto, diversamente dal primo principio che si sforza di modellizzare il comportamento individuale dell’utente provando a minimizzare i loro costi di viaggio. Il secondo principio è rivolto ai pianificatore e agli ingegneri dei trasporti che tentano di organizzare il traffico in modo da minimizzare i costi di viaggio e ottenere perciò un ottimo equilibrio sociale. In genere i flussi che risultano dai due principi non sono gli stessi, e ci si può solo attendere che, nella pratica, il traffico si assesti seguendo un’approssimazione del primo principio di Wardrop, cioè l’equilibrio dell’utente individuale.