Funzioni crescenti e decrescenti

Presentazione sul tema: "Funzioni crescenti e decrescenti"— Transcript della presentazione:

1 Funzioni crescenti e decrescenti
Ricordiamo le definizioni Per stabilire se una funzione è crescente possiamo studiare il segno della derivata prima: Se in un intervallo , allora è crescente in Se in un intervallo , allora è decrescente in

2 Funzioni crescenti e decrescenti
ESEMPIO Data la funzione di equazione determiniamo gli intervalli in cui essa è crescente e quelli in cui è decrescente. La funzione ha dominio Calcoliamone la derivata prima e studiamone il segno: La funzione è quindi: crescente se decrescente se -1 3 f crescente f decrescente − +

3 Massimi e minimi di una funzione
Massimi e minimi assoluti Considerata una funzione definita in un intervallo I, chiamiamo: massimo assoluto di in I il valore M, se esiste, per il quale minimo assoluto di in I il valore m, se esiste, per il quale

4 Massimi e minimi di una funzione
Massimi e minimi relativi Sia f (x) una funzione definita in un intervallo [a, b], e sia x0 un punto di tale intervallo: il punto x è un punto di massimo relativo se esiste un intorno I (x0) per tutti i punti x del quale si ha che In tal caso f (x0) rappresenta il massimo relativo della funzione. il punto x0 è un punto di minimo relativo se esiste un intorno I (x0) per tutti i punti x del In tal caso f (x0) rappresenta il massimo relativo della funzione. La funzione a lato possiede due massimi relativi e un minimo relativo. Non ha minimo assoluto, ha massimo assoluto in corrispondenza del punto M2. I punti di massimo e di minimo relativo, che vengono anche detti punti estremanti, sono punti di massimo e di minimo a livello locale.

5 x0 x0 punto di massimo x0 x0 punto di minimo
La ricerca dei punti estremanti Se una funzione è derivabile, i suoi punti di massimo e di minimo vanno ricercati tra i punti che annullano la derivata prima (punti stazionari). Si verifica che: se f’ (x) = 0 e f’ (x) è crescente in un intorno sinistro di x0 (f’(x) > 0) e decrescente in un intorno destro (f’(x) < 0), allora x0 è un punto di massimo. se f’ (x0) = 0 e f’ (x) è decrescente in un intorno sinistro di x0 (f’(x) < 0) e crescente in un intorno destro (f’(x) < 0), allora x0 è un punto di minimo. x0 + − x0 punto di massimo x0 + − x0 punto di minimo

6 La ricerca dei punti estremanti
ESEMPIO Sia di dominio è continua e derivabile in D Calcoliamo la derivata prima 2 3 − + m M Ricerchiamo i punti stazionari Studiamo il segno di Dalla tabella deduciamo che il punto x = 2 è di massimo relativo e il massimo vale e che il punto x = 3 è di minimo relativo e il minimo vale

7 x = 2 è un punto stazionario mentre x = 0 e x = 4 non lo sono.
Analisi di una funzione continua ma non derivante in x0 cioè Sia La funzione è continua in R, ma non è derivabile in x = 0 e in x = 4: Calcoliamo la derivata di 4 − + m M 2 x = 0 e x = 4 sono punti di minimo relativo mentre x = 2 è un punto di massimo relativo con m = 0 e M = 4. x = 2 è un punto stazionario mentre x = 0 e x = 4 non lo sono.

8 La concavità e i punti di flesso
Sia una funzione continua e derivabile in un intervallo e sia t la retta tangente in un punto x0 interno ad

9 La concavità e i punti di flesso
Se in un intorno sinistro di x0 la concavità è verso il basso e in un intorno destro è verso l’alto, il flesso si dice ascendente; Diciamo che un punto x0 è un punto di flesso se la concavità della curva è rivolta verso l’alto in un intorno sinistro di x0 e verso il basso in un intorno destro, o viceversa. In particolare: Se in un intorno sinistro x0 la concavità è verso l’alto e in un intorno destro è verso il basso, il flesso si dice discendente. La retta tangente nel punto di flesso viene detta tangente inflessionale.

10 La concavità e i punti di flesso

11 Individuazione della concavità
e dei punti di flesso Questi due teoremi ci permettono di studiare la concavità di una funzione e di individuare i punti di flesso.

12 R Individuazione della concavità e dei punti di flesso ESEMPIO
Consideriamo la funzione di dominio R; calcoliamo le derivate prima e seconda: La derivata seconda si annulla in x = 0 Studiamo il segno R − + è concava verso l’alto se x > 0, concava verso il basso se x < 0 e si annulla in x = 0: il punto (0; −6) è un punto di flesso.

13 se n è pari (derivata di ordine pari):
La determinazione dei punti estremanti e dei punti di flesso con le derivate successive Teorema. Sia una funzione definita in un intervallo derivabile n volte al suo interno con derivata continua. Siano poi nulle in un punto x0 tutte le derivate a partire dalla prima fino a quella di ordine n − 1: Allora: se n è pari (derivata di ordine pari): se n è dispari (derivata di ordine dispari): Questo teorema è utile per determinare quali tra i punti stazionari sono estremanti oppure punti di flesso a tangente orizzontale.

14 Studiamo la natura dei punti stazionari della funzione di dominio R.
La determinazione dei punti estremanti e dei punti di flesso con le derivate successive ESEMPIO Studiamo la natura dei punti stazionari della funzione di dominio R. e si ha che Calcoliamo le derivate successive in tali punti fino a che ne troviamo una che non si annulla. ed è:

15 Sia la prima derivata che non si annulla in x0: Allora:
La determinazione dei punti estremanti e dei punti di flesso con le derivate successive Teorema. Sia una funzione definita in un intervallo derivabile n volte al suo interno con derivata continua. Sia x0 un punto per il quale si annulla la derivata seconda e quelle ad essa successive fino a quella di ordine n − 1: Sia la prima derivata che non si annulla in x0: Allora: se n è dispari (derivata di ordine dispari): se n è pari (derivata di ordine pari) la funzione non ha flesso in x0 ed ha: Con questo teorema possiamo individuare, se esistono, i punti di flesso di una funzione.

16 Troviamo, se esistono, i punti di flesso della funzione di dominio R.
La determinazione dei punti estremanti e dei punti di flesso con le derivate successive ESEMPIO Troviamo, se esistono, i punti di flesso della funzione di dominio R. Calcoliamo la derivata seconda Troviamo i punti in cui si annulla: Calcoliamo le derivate successive in questi punti fino a che ne troviamo una che non si annulla. ed è: Calcoliamo le derivate successive in zero.

17 Lo studio completo di una funzione
Punti da affrontare per studiare in modo completo una funzione e tracciarne il grafico: determinare il dominio individuare eventuali simmetrie o periodicità trovare, se esistono, le intersezioni con gli assi e studiare il segno della funzione studiare il comportamento agli estremi del dominio e determinare gli eventuali asintoti calcolare la derivata prima e trovare i punti estremanti (massimi o minimi) calcolare la derivata seconda e trovare gli eventuali punti di flesso

18 Lo studio completo di una funzione
ESEMPIO Studiamo la funzione 1. Determiniamo il dominio 2. La funzione è simmetrica rispetto all’origine; è sufficiente studiarla per x > 0. 3. Poiché 0 non appartiene al dominio, la funzione non interseca l’asse y; la funzione interseca l’asse x in x = -1 e x = 1. -1 1 Segno della funzione -1 1 − +

19 Lo studio completo di una funzione
4. Comportamento agli estremi del dominio e individuazione asintoti la retta x = 0 è un asintoto verticale non esistono asintoti orizzontali -1 1 Ricerchiamo eventuali asintoti obliqui: Poiché possiamo affermare che esiste l’asintoto obliquo di equazione y = x.

20 Lo studio completo di una funzione
5. Calcolo della derivata prima Individuazione dei punti stazionari e studio del segno: y’ non si annulla ed è sempre positiva per x > 0, quindi la funzione non ha punti stazionari ed è sempre crescente in D. 6. Calcolo della derivata seconda La derivata seconda non si annulla ed è negativa per x > 0; la funzione ha concavità verso l’alto per x > 0 (verso il basso per x < 0). Il grafico della funzione è a lato.

21 La risoluzione approssimata
delle equazioni Esistenza e unicità delle soluzioni in un intervallo Ogni equazione, dopo averne determinato il dominio e svolto opportunamente i calcoli, può essere scritta nella forma Le sue soluzioni possono essere determinate graficamente costruendo il diagramma di f (x) ed individuando le ascisse dei suoi punti di intersezione con l’asse x. dove è una funzione reale della variabile x.

22 La risoluzione approssimata
delle equazioni Ricordiamo che una funzione continua ammette almeno uno zero nell’intervallo se Lo zero è unico se: non si annulla mai in , oppure è sempre positiva oppure sempre negativa in Quando si riesce ad individuare un intervallo che contiene una e una sola soluzione dell’equazione si dice che si sono separate le radici.

23 La risoluzione approssimata
delle equazioni ESEMPIO Stabiliamo se la funzione ammette una soluzione dell’intervallo Applichiamo il teorema degli zeri Avendo trovato valori di segno opposto, possiamo affermare che esiste almeno una soluzione in questo intervallo. Stabiliamo se la soluzione è unica applicando il primo teorema di unicità: Nessuno di questi valori appartiene all’intervallo considerato, quindi non si annulla in In tale intervallo esiste quindi una e una sola soluzione.

24 I metodi di individuazione delle soluzioni
Il metodo di bisezione Il metodo più semplice di individuazione delle radici è quello di bisezione; esso consiste nel dimezzare ad ogni passaggio l’intervallo che contiene la radice, fino a trovarne uno di ampiezza molto piccola.

25 I metodi di individuazione delle soluzioni
ESEMPIO Riprendiamo l’equazione della quale sappiamo che ammette una soluzione nell’intervallo Dimezziamo l’intervallo, e per fare ciò calcoliamo il suo punto medio: Applichiamo il teorema degli zeri: La radice appartiene all’intervallo Dimezziamo di nuovo l’intervallo valutando il punto medio: Applichiamo il teorema degli zeri: La radice appartiene all’intervallo Proseguendo in questo modo si può ridurre l’intervallo alla precisione desiderata. Nel nostro caso, dopo qualche passaggio troviamo che un valore approssimato della soluzione è 3,70.

26 I metodi di individuazione delle soluzioni
Il metodo delle corde Il metodo si basa sulla riduzione dell’intervallo mediante l’individuazione di corde le cui intersezioni con l’asse x si avvicinano alla soluzione s.

27 I metodi di individuazione delle soluzioni
Le ascisse dei punti ci si trovano mediante una formula ricorsiva: Il punto di partenza c0 è: l’estremo a se la funzione ha la forma l’estremo b se la funzione ha la forma

28 I metodi di individuazione delle soluzioni
ESEMPIO L’equazione ha una soluzione dell’intervallo Posto si ha: Per trovare un valore approssimato della soluzione dobbiamo usare la formula I Ci rappresentano valori approssimati per eccesso della soluzione s; continuando con lo stesso procedimento si otterrà s = -1,769…

29 I metodi di individuazione delle soluzioni
Il metodo delle tangenti (metodo di Newton) Il metodo di Newton è analogo a quello precedente, ma le corde vengono sostituite dalle rette tangenti in A oppure in B. La formula ricorsiva che genera i valori approssimati è: Il punto di partenza d0 è: l’estremo a se hanno lo stesso segno l’estremo b se hanno segni opposti

30 I metodi di individuazione delle soluzioni
ESEMPIO Riprendendo l’esempio precedente e applichiamo il metodo delle tangenti. Calcoliamo la derivata prima della funzione: I valori d1, d2,… dn rappresentano valori approssimati per difetto della soluzione s.