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Complemento: Derivate ed integrali semplici

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Presentazione sul tema: "Complemento: Derivate ed integrali semplici"β€” Transcript della presentazione:

1 Complemento: Derivate ed integrali semplici
Fisica Generale I Fabio Garufi

2 Derivata Si definisce derivata di una funzione della variabile x f(x), il limite del rapporto incrementale per l’incremento della variabile che tende a 0: 𝑑𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 𝑓 β€² π‘₯ = lim π‘₯ 2 β†’ π‘₯ 1 𝑓 π‘₯ 2 βˆ’π‘“( π‘₯ 1 ) π‘₯ 2 βˆ’ π‘₯ 1 = lim βˆ†π‘₯β†’0 βˆ†π‘“(π‘₯) βˆ†π‘₯ Se rappresentiamo la funzione f(x) in funzione di x, su un grafico cartesiano, la derivata Γ¨ la pendenza della tangente alla curva nel punto π‘₯ 1 . Dalla definizione segue immediatamente che la derivata di una costante Γ¨ nulla e la derivata di una retta parallela all’asse y Γ¨ ∞. y 𝑓(π‘₯ 2 ) 𝑓(π‘₯ 1 ) π‘₯ 1 π‘₯ 2 x

3 Derivate di funzioni semplici
𝑑 π‘₯ 𝑛 𝑑π‘₯ =𝑛 π‘₯ π‘›βˆ’1 𝑑 𝑒 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑑𝑓(𝑔 π‘₯ ) 𝑑π‘₯ = 𝑑𝑓(𝑔(π‘₯)) 𝑑𝑔(π‘₯) 𝑑𝑔(π‘₯) 𝑑π‘₯ Per es: 𝑑 𝑒 βˆ’ π‘₯ 2 𝑑π‘₯ =βˆ’2π‘₯ 𝑒 βˆ’ π‘₯ 2 𝑑𝑓 π‘₯ 𝑔(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 𝑑𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑔 π‘₯ + 𝑑𝑔 π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑓 π‘₯ 𝑑 𝑓 π‘₯ 𝑔(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 𝑓 β€² π‘₯ 𝑔 π‘₯ βˆ’π‘“ π‘₯ 𝑔 β€² π‘₯ 𝑔(π‘₯) 2 𝑑 ln π‘₯ 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ 𝑓 π‘₯ = sin π‘₯ β‡’ 𝑓 β€² π‘₯ = cos π‘₯ 𝑓 π‘₯ = cos π‘₯ β‡’ 𝑓 β€² π‘₯ =βˆ’ 𝑠𝑖𝑛 π‘₯ 𝑓 π‘₯ = tg π‘₯ β‡’ 𝑓 β€² π‘₯ = 1 π‘π‘œπ‘  2 π‘₯ 𝑓 π‘₯ = arcsin π‘₯ β‡’ 𝑓 β€² π‘₯ = 1 1βˆ’ π‘₯ 2 𝑓 π‘₯ = arcπ‘π‘œπ‘  π‘₯ β‡’ 𝑓 β€² π‘₯ =βˆ’ 1 1βˆ’ π‘₯ 2

4 Derivate di ordine superiore
La derivata della derivata di una funzione Γ¨ la derivata seconda e si indica con: 𝑓 β€²β€² x = 𝑑 2 𝑓(π‘₯) 𝑑 π‘₯ 2 In generale si indica la derivata di ordine n con 𝑓 (𝑛) x = 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑 π‘₯ 𝑛 Le derivate rispetto al tempo si indicano con uno o piΓΉ punti su simbolo della funzione: 𝑓 𝑑 = 𝑑 2 𝑓(𝑑) 𝑑 𝑑 2

5 Formula di Taylor Sia y=f(x) una funzione che abbia le derivate fino all’ordine n in un intervallo contenente un punto di ascissa x=a; Nell’intorno del punto x=a, la funzione y puΓ² essere sviluppata in una somma di potenze di (x-a) con coefficienti proporzionali alle corrispondenti derivate: y=𝑓 π‘Ž + π‘₯βˆ’π‘Ž 𝑓 β€² π‘₯=π‘Ž ! 𝑓 β€²β€² π‘₯=π‘Ž π‘₯βˆ’π‘Ž 2 +…+ 1 𝑛! 𝑓 𝑛 π‘₯=π‘Ž π‘₯βˆ’π‘Ž 𝑛 = = π‘˜=0 𝑛 1 π‘˜! 𝑓 π‘˜ π‘₯ π‘₯=π‘Ž (π‘₯βˆ’π‘Ž) π‘˜ La formula di Taylor, per a=0 si chiama formula di Taylor/McLaurin

6 Le derivate nello studio delle funzioni
Una funzione Γ¨ crescente se 𝑓 π‘₯+β„Ž βˆ’π‘“ π‘₯ >0 π‘π‘’π‘Ÿ β„Ž> 0; e decrescente se <0, sempre per h>0; Dunque, visto che h>0, se 𝑓 π‘₯+β„Ž βˆ’π‘“ π‘₯ β„Ž >0, la funzione Γ¨ crescente. Il limite per β„Žβ†’0 del rapporto, Γ¨ proprio la derivata f’(x) di f(x); dunque il segno della derivata in un punto, indica se in quel punto la funzione Γ¨ crescente o decrescente Se f(x) Γ¨ una funzione continua e derivabile, nei punti di massimo e minimo (gli estremi), anche relativi, della funzione, la derivata si annulla. Anche nei punti di flesso orizzontale la derivata si annulla, la condizione dunque Γ¨ necessaria ma non sufficiente.

7 La derivata seconda nello studio delle funzioni
L’annullarsi della derivata prima non Γ¨ sufficiente a determinare se si tratta di un massimo un minimo o un flesso orizzontale. Al passaggio di un estremo, la derivata prima cambia segno: se passa da positiva a negativa Γ¨ un massimo, al contrario, un minimo, se non cambia segno dopo essere passata da 0, Γ¨ un flesso. La variazione relativa della derivata prima Γ¨ la derivata seconda, dunque il segno della derivata seconda mi dice come varia: positiva=> minimo, negativa, massimo, nulla punto di flesso.

8 Integrale L’integrale indefinito Γ¨ l’operazione inversa della derivata; L’integrale fra i punti π‘₯ 1 e π‘₯ 2 si dice definito ed Γ¨ l’area sottesa dalla curva f(x) e l’asse delle x; La funzione F(x) la cui derivata Γ¨ f(x) si chiama primitiva di f(x): F’(x)=f(x) PoichΓ© la derivata di una costante Γ¨ nulla anche F(x)+c Γ¨ una primitiva fi f(x), per qualunque valore di c indipendente da x. Si scrive, dunque: 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 𝐹 π‘₯ +𝑐 L’integrale definito tra i punti π‘₯ 1 e π‘₯ 2 vale: π‘₯ 1 π‘₯ 2 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯=𝐹 π‘₯ 2 βˆ’πΉ( π‘₯ 1 ) y 𝑦(π‘₯ 2 ) 𝑦(π‘₯ 1 ) π‘₯ 1 π‘₯ 2 x

9 Tabella integrali notevoli

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11 Integrazione per parti
Se nell’espressione integranda riconosciamo che un fattore Γ¨ la derivata di una funzione: 𝑒(π‘₯) 𝑑𝑣(π‘₯) 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯, allora dalla regola di derivazione dei prodotti, discende direttamente: 𝑒 𝑑𝑣=𝑒𝑣 βˆ’ 𝑣 𝑑𝑒 Per es ln π‘₯ 𝑑π‘₯ ;𝑒= ln π‘₯ ;𝑑𝑣=𝑑π‘₯;𝑣=π‘₯;𝑑𝑒= 𝑑π‘₯ π‘₯ β‡’ ln π‘₯ 𝑑π‘₯ =π‘₯ ln π‘₯ βˆ’ π‘₯ 𝑑π‘₯ π‘₯ =π‘₯ ln π‘₯ βˆ’π‘₯+𝑐


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