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Complemento: Derivate ed integrali semplici
Fisica Generale I Fabio Garufi
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Derivata Si definisce derivata di una funzione della variabile x f(x), il limite del rapporto incrementale per lβincremento della variabile che tende a 0: ππ(π₯) ππ₯ = π β² π₯ = lim π₯ 2 β π₯ 1 π π₯ 2 βπ( π₯ 1 ) π₯ 2 β π₯ 1 = lim βπ₯β0 βπ(π₯) βπ₯ Se rappresentiamo la funzione f(x) in funzione di x, su un grafico cartesiano, la derivata Γ¨ la pendenza della tangente alla curva nel punto π₯ 1 . Dalla definizione segue immediatamente che la derivata di una costante Γ¨ nulla e la derivata di una retta parallela allβasse y Γ¨ β. y π(π₯ 2 ) π(π₯ 1 ) π₯ 1 π₯ 2 x
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Derivate di funzioni semplici
π π₯ π ππ₯ =π π₯ πβ1 π π π₯ ππ₯ = π π₯ ππ(π π₯ ) ππ₯ = ππ(π(π₯)) ππ(π₯) ππ(π₯) ππ₯ Per es: π π β π₯ 2 ππ₯ =β2π₯ π β π₯ 2 ππ π₯ π(π₯) ππ₯ = ππ π₯ ππ₯ π π₯ + ππ π₯ ππ₯ π π₯ π π π₯ π(π₯) ππ₯ = π β² π₯ π π₯ βπ π₯ π β² π₯ π(π₯) 2 π ln π₯ ππ₯ = 1 π₯ π π₯ = sin π₯ β π β² π₯ = cos π₯ π π₯ = cos π₯ β π β² π₯ =β π ππ π₯ π π₯ = tg π₯ β π β² π₯ = 1 πππ 2 π₯ π π₯ = arcsin π₯ β π β² π₯ = 1 1β π₯ 2 π π₯ = arcπππ π₯ β π β² π₯ =β 1 1β π₯ 2
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Derivate di ordine superiore
La derivata della derivata di una funzione Γ¨ la derivata seconda e si indica con: π β²β² x = π 2 π(π₯) π π₯ 2 In generale si indica la derivata di ordine n con π (π) x = π π π¦ π π₯ π Le derivate rispetto al tempo si indicano con uno o piΓΉ punti su simbolo della funzione: π π‘ = π 2 π(π‘) π π‘ 2
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Formula di Taylor Sia y=f(x) una funzione che abbia le derivate fino allβordine n in un intervallo contenente un punto di ascissa x=a; Nellβintorno del punto x=a, la funzione y puΓ² essere sviluppata in una somma di potenze di (x-a) con coefficienti proporzionali alle corrispondenti derivate: y=π π + π₯βπ π β² π₯=π ! π β²β² π₯=π π₯βπ 2 +β¦+ 1 π! π π π₯=π π₯βπ π = = π=0 π 1 π! π π π₯ π₯=π (π₯βπ) π La formula di Taylor, per a=0 si chiama formula di Taylor/McLaurin
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Le derivate nello studio delle funzioni
Una funzione Γ¨ crescente se π π₯+β βπ π₯ >0 πππ β> 0; e decrescente se <0, sempre per h>0; Dunque, visto che h>0, se π π₯+β βπ π₯ β >0, la funzione Γ¨ crescente. Il limite per ββ0 del rapporto, Γ¨ proprio la derivata fβ(x) di f(x); dunque il segno della derivata in un punto, indica se in quel punto la funzione Γ¨ crescente o decrescente Se f(x) Γ¨ una funzione continua e derivabile, nei punti di massimo e minimo (gli estremi), anche relativi, della funzione, la derivata si annulla. Anche nei punti di flesso orizzontale la derivata si annulla, la condizione dunque Γ¨ necessaria ma non sufficiente.
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La derivata seconda nello studio delle funzioni
Lβannullarsi della derivata prima non Γ¨ sufficiente a determinare se si tratta di un massimo un minimo o un flesso orizzontale. Al passaggio di un estremo, la derivata prima cambia segno: se passa da positiva a negativa Γ¨ un massimo, al contrario, un minimo, se non cambia segno dopo essere passata da 0, Γ¨ un flesso. La variazione relativa della derivata prima Γ¨ la derivata seconda, dunque il segno della derivata seconda mi dice come varia: positiva=> minimo, negativa, massimo, nulla punto di flesso.
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Integrale Lβintegrale indefinito Γ¨ lβoperazione inversa della derivata; Lβintegrale fra i punti π₯ 1 e π₯ 2 si dice definito ed Γ¨ lβarea sottesa dalla curva f(x) e lβasse delle x; La funzione F(x) la cui derivata Γ¨ f(x) si chiama primitiva di f(x): Fβ(x)=f(x) PoichΓ© la derivata di una costante Γ¨ nulla anche F(x)+c Γ¨ una primitiva fi f(x), per qualunque valore di c indipendente da x. Si scrive, dunque: π π₯ ππ₯ = πΉ π₯ +π Lβintegrale definito tra i punti π₯ 1 e π₯ 2 vale: π₯ 1 π₯ 2 π π₯ ππ₯=πΉ π₯ 2 βπΉ( π₯ 1 ) y π¦(π₯ 2 ) π¦(π₯ 1 ) π₯ 1 π₯ 2 x
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Tabella integrali notevoli
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Integrazione per parti
Se nellβespressione integranda riconosciamo che un fattore Γ¨ la derivata di una funzione: π’(π₯) ππ£(π₯) ππ₯ ππ₯, allora dalla regola di derivazione dei prodotti, discende direttamente: π’ ππ£=π’π£ β π£ ππ’ Per es ln π₯ ππ₯ ;π’= ln π₯ ;ππ£=ππ₯;π£=π₯;ππ’= ππ₯ π₯ β ln π₯ ππ₯ =π₯ ln π₯ β π₯ ππ₯ π₯ =π₯ ln π₯ βπ₯+π
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