Massimi e Minimi vincolati

Presentazione sul tema: "Massimi e Minimi vincolati"— Transcript della presentazione:

1 Massimi e Minimi vincolati
Data Si può avere la necessità di determinare i MAX e i MIN relativi di f NON SU TUTTO D ma su una porzione di D, individuata da un’equazione g(x,y)=0 detta equazione del VINCOLO  problema di MASSIMI e MINIMI VINCOLATI

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3 Definizione equazione del vincolo con g definita su D Il punto P0(x0,y0)H si dirà di MASSIMO (MINIMO) RELATIVO VINCOLATO per f se

4 Il punto P0(x0,y0) H si dirà MAX (MIN) assoluto vincolato per f se
Definizione equazione del vincolo con g definita su D Il punto P0(x0,y0) H si dirà MAX (MIN) assoluto vincolato per f se

5 se P0 soddisfa l’equazione del vincolo,
In generale i massimi ed i minimi (relativi e assoluti) vincolati NON COINCIDONO con i massimi e minimi liberi O meglio: se P0 soddisfa l’equazione del vincolo, P0 p.to di max o min libero  P0 p.to di max o min vincolato P0 p.to di max o min libero  P0 p.to di max o min vincolato

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7 i massimi e i minimi relativi vincolati?
Come si determinano i massimi e i minimi relativi vincolati?

8 I CASO  Il problema è ricondotto alla determinazione dei max e min per funzioni di una sola variabile

9 Esempio: massimi e minimi vincolati di
g(x,y)=0

10 Si può considerare f(x,y) in corrispondenza del vincolo

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12 II CASO Metodo dei MOLTIPLICATORI di LAGRANGE
Questo metodo può essere molto utile quando non si riesce ad esplicitare il vincolo. Si scrive una FUNZIONE AUSILIARIA detta FUNZIONE LAGRANGIANA

13 Vale la seguente condizione necessaria

14 La condizione data è solo necessaria
 Potrebbero esistere soluzioni del sistema (*) che non sono però punti di massimo o di minimo relativo vincolato

15 Diamo una condizione sufficiente affinché una
soluzione del sistema (*) sia punto di massimo (minimo) relativo vincolato

16 Se det D<0 allora P è punto di MIN REL. VINCOLATO
Se det D>0 allora P è punto di MAX REL. VINCOLATO

17 Esempio: determinare gli estremi relativi di

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