Maria Pia Perelli D’Argenzio Gallarate

Presentazione sul tema: "Maria Pia Perelli D’Argenzio Gallarate"— Transcript della presentazione:

1 Maria Pia Perelli D’Argenzio Gallarate 24.10.2018
Etnomatematica e tecniche di calcolo Maria Pia Perelli D’Argenzio Gallarate mariapia perelli

2 Paderno 1981 Clara, Tina Bonfanti ed io.
mariapia perelli Da Scuola italiana moderna Articolo di Clara sulle tecniche delle operazioni

3 sono universali” “la matematica ha profonde radici in molte culture”
“il linguaggio e i valori della matematica sono universali” UNESCO Matematica o Matematiche? mariapia perelli

4 Matematica o Matematiche?
Affermazioni quasi contraddittorie stimolano domande tentativo di i risposta “Ethnomathematics” 1 1F. Favilli, Etnomatematica e didattica della matematica mariapia perelli

5 “Classi multiculturali: contesti per insegnare ed apprendere molta matematica”. P. C. Clarkson
No ethnic “razza ma ethno costruzione umana dipendente da diversi contesti socioculturali e linguistici e da diversi registri semiotici mariapia perelli

6 L ’approccio ai problemi si muove con modalità diverse…
anche la struttura di una lingua porta ad una matematica diversa da quella di un’altra struttura linguistica… L ’approccio ai problemi si muove con modalità diverse… mariapia perelli

7 Tornando al tema dell’incontro…
non analisi storica ma rivisitazione in chiave attualizzata di quaqlche tecniche del passato ( Larte de labbacho’ 1478, Lilavati..) mariapia perelli

8 Tecniche Indiane : Lilavati
Alcune tecniche giunsero in Europa nel testo “Lilavati” (la Bella) dell’indiano Bhaskara ( ). mariapia perelli

9 Aritmetica Vedica Bharati Krishna tradusse e spiegò 16 sutra e 13 corollari prese dai Veda, ma questi volumi andarono perduti; poco prima di morire (1960) riscrisse il primo volume che espone molti metodi veloci per “fare” matematica (numeri e geometria). mariapia perelli

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11 Le proposte che provengono dalle sutre, vengono usate, ai nostri giorni in India ,come si vede dalla copertina del testo a fianco, per velocizzare i calcoli in occasione dei concorsi per entrare nelle università, nelle banche, ferrovie, etc . Portano lo studente ad osservare i termini delle operazioni e, in base alle loro caratteristiche, decidere quale tecnica è più appropriata (cioè più veloce) mariapia perelli

12 la matematica come viene concepita ?
“Come la cresta di un pavone, come la gemma sulla testa di un serpente, così la matematica è alla testa di tutta la conoscenza” poeta astronomo Lagadha mariapia perelli

13 Moltiplicazione metodo “con base” Iniziamo così da una sutra: “tutti dal 9 e l’ultimo dal 10”
Fattori minori della base Calcoliamo 88 x 96 base: 100 differenze: 100 – 88 = 12 100 – 96 = 04 12 x 04 = 48 88 – 04 = 96 – 12 = 84 Quindi: 88 x 96 = 8448 Numeri Differenze 88 12 96 04 84 48 mariapia perelli

14 Spiegazione algebrica
x la base in genere potenze di 10 , p, q i due fattori a e b le differenze tra la base ei fattori quindi p = (x – a) e q= (x – b) Allora: p x q = (x – a)(x – b) = x2 – ax – bx + ab = x(x – a - b) + ab Il prodotto p x q è la somma di due termini: il prodotto tra la base x e la differenza tra uno dei fattori e la differenza alla base dell’altro (x – a e b oppure x – b e a) il prodotto delle differenze (ab). Il fatto che il il primo addendo sia moltiplicato per la base (x) garantisce la corretta posizione delle cifre del prodotto. mariapia perelli

15 esempio: Base = 100 p = 88 = 100 – 12 ; a =12 q = 96 = 100 – 4 ; b = 4
p x q = (x – a)(x – b) = x2 – ax – bx + ab = x (x – a - b) + ab 88 x 96 = ( ) x (100 – 4) = 100 (100 – 12 – 4) + 12 x 4 = 100 ( 88 – 4 ) + 12 x 4 o ( ) + 12 x 4 quindi 100 x = = 8448 mariapia perelli

16 Spiegazione geometrica
Dalla figura si deduce che: 88 x 96 = = 100x 88 – 4x x12 = = (88 – 4) x x12 = = = 8448 oppure: = 100 x 96 – 12 x x 12 = (96 – 12)x x12 = mariapia perelli

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18 Spiegazione geometrica
In generale: se p e q sono i due fattori a e b sono le rispettive differenze dalla base x p x q = = base x q – a x base + a x b = (q – a) x base + a x b oppure: = base x p – b x base + a x b = (p – b) x base + a x b mariapia perelli

19 Moltiplicazione metodo “con base”
Fattori minori della base Calcoliamo 84 x 92 base: 100 differenze: 100 – 84 = 16 100 – 92 = 08 16 x 08 = 128 > base 84 – 08 = 92 – 16 = 76 = 77 Quindi: 84 x 92 = 7728 Numeri Differenze 84 16 92 08 76 128 77 28 mariapia perelli

20 Quadrati dei numeri che terminano per 5
Calcoliamo, ad esempio, 452: Isoliamo la cifra dell’unità, il 5, e ne calcoliamo il quadrato: 25 Moltiplichiamo il numero che rimane, il 4, per il suo successivo, 5 4 x 5= 20 Ricompattiamo il numero ed abbiamo il risultato: 452 = 2025 mariapia perelli

21 Altri esempi 352 = 3|52 = = 25 3 x ( 3+1) = 3x4 = 12 152 = = 25 1 x 2= 2 mariapia perelli

22 Altri esempi 1352 = 18225 14152 = mariapia perelli

23 Isoliamo la cifra delle unità, il 5, e ne calcoliamo il quadrato: 25
Moltiplichiamo il numero che rimane, il 39, per il suo successivo: 39 x 40 = 1560 Ricompattiamo il numero per ottenere il risultato: 3952 = mariapia perelli

24 Spiegazione algebrica
Il procedimento si basa: sulla scrittura polinomiale dei numeri, per cui: 10a + b è un numero di due cifre 100a + 10b + c è un numero di tre cifre e così via; e sulla formula algebrica per lo sviluppo del quadrato di un polinomio Ad esempio, per i numeri di due cifre: mariapia perelli

25 Prodotto tra due numeri la somma delle cifre delle unità è 10 le cifre rimanenti sono uguali Calcoliamo 47 X 43 Moltiplichiamo tra loro le cifre delle unità 3 x 7= 21 Moltiplichiamo il numero rimanente per il suo successivo: 4 x 5=20 Ricompattiamo il numero per ottenere il risultato: 47x43 =2021 14 x 16 Moltiplichiamo tra loro le cifre delle unità: 4 x 6 = 24 Moltiplichiamo il numero ( o cifra) rimanente per il suo successivo: 1 x 2 = 2 Ricompattiamo il numero per ottenere il risultato: 14 x 16 = 224 mariapia perelli

26 Prodotto tra due numeri 1. somma delle cifre delle unità = 10 2
Prodotto tra due numeri 1.somma delle cifre delle unità = cifre rimanenti uguali Calcoliamo 144 x 146: Moltiplichiamo tra loro le cifre delle unità: 4 x 6 = 24 Moltiplichiamo il numero rimanente per il suo successivo: 14 x 15 = 210 Ricompattiamo il numero per ottenere il risultato: 144 x 146 = 21024 mariapia perelli

27 Spiegazione algebrica
Ci limitiamo al caso di numeri di due cifre i numeri hanno la stessa cifra delle decine le cifre delle unità hanno somma 10 quindi sono del tipo 10a + b e 10a + c. con b +c = 10 Allora: (10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10ac + 10ab + bc = = 10a(10a + c + b) + bc =10a(10a + 10) + bc = = 100a(a + 1) + bc mariapia perelli

28 Numeri due cifre uguali unità decine con somma 10
27x 87 Moltiplico 2 x 8 =16 poi sommo a 16 la seconda cifra ( 7) 16+7= prima parte del risultato Moltiplico 7 x 7 = 49 seconda parte del risultato 27x87 = 2349 69 x 49 6x4 =24 e = 33 prima parte e 9x9 =81 seconda parte del risultato 69 x 49= 3381 mariapia perelli

29 Quadrati di numeri «adiacenti»
Se si conoscono i quadrati di 20,30,40,50,60,…. e si deve trovare il quadrato di un numero adiacente ad es. 21 o 51 es: 612 = 602 = = 121 sommo i due risultati = = (50 +51) = = = (25+26) = = 676 mariapia perelli d'argenzio

30 Quadrati di numeri «adiacenti»
592 = 59 = – ( ) = 3600 – 119 = 3481 392 = 402 – (40+39)= 1600 – 79 = 242 = 252 – ( 25+24) = 625 – 49 = 576 mariapia perelli d'argenzio

31 Quadrato di numeri vicini a 100
972 = 9409 100 – 97= 3 = 94 032 = 09 Quadrato di 98 = 2 si sottrae a 98 tale differenza ( 2) = 96 prima parte del risultato. la differenza 2 al quadrato 022 è la seconda parte 982 = 98 -2| 04= 9604 mariapia perelli d'argenzio

32 Divisioni di numeri di due cifre per 9
a) 23: 9 = La prima cifra di 23 è 2 che è anche il risultato; sommiamo ora le cifre del dividendo ( 2 e 3) = 5 e otteniamo il resto 23: 9 = 2 resto 5 mariapia perelli d'argenzio

33 Divisioni per 9 46 : 9 = 4 b) 51 : 9 = 5 resto 6 Resto 5 +1 = 6
Resto 4+6 =10 ma è maggiore di nove !! L’1 viene aggiunto al 4 e si fa per il resto =1 46:9 = ( che viene dal resto maggiore di 9) con resto 1. b) 51 : 9 = 5 resto 6 Resto 5 +1 = 6 c)71: 9 = 7 con resto 8 Resto 7+1 = 8 d) 81 : 9 = 8+1 =9 R:0 Resto :8+1= 9 quindi una unità in più a sinistra mariapia perelli d'argenzio

34 Divisioni di qualsiasi numero per 9
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