Equazione di Schroedinger dipendente dal tempo

Presentazione sul tema: "Equazione di Schroedinger dipendente dal tempo"— Transcript della presentazione:

1 Equazione di Schroedinger dipendente dal tempo
Primo postulato – Lo stato dinamico di un sistema quantistico è rappresentato dalla funzione d’onda (q,t). Secondo postulato – La forma di questa funzione d’onda è ottenible dalla soluzione dell’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

2 Equazione di Schroedinger in un campo conservativo
In un campo conservativo, il potenziale dipende solo dalle coordinate: V(q). Poiché il potenziale non dipende dal tempo:

3 Dividendo a destra e a sinistra per (q)(t):
Due equazioni differenziali separate nelle variabili q e t:

4 Dipendenza dal tempo in un campo conservativo
La densità di probabilità non dipende dal tempo!

5 Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo
 < 0: spettro di autovalori discreti n = stati stazionari Finita! La particella rimane localizzata in una regione limitata dello spazio: stati legati del sistema.

6  > 0: spettro continuo di autovalori = stati del continuo
Il comportamento asintotico di queste soluzioni è quello di onde piane progressive, del tipo exp(ikr). collisioni tra particelle quantistiche

7 Teoria delle perturbazioni dipendente dal tempo
Un metodo generale per risolvere in maniera approssimata l’equazione di Schrödinger: Secondo questo metodo: Hamiltoniano vero Hamiltoniano perturbativo Hamiltoniano noto

8 Hamiltoniano noto = autovalori e autofunzioni note
Hamiltoniano perturbativo Rappresenta una debole perturbazione del sistema. Possiamo allora prendere come possibile soluzione una combinazione lineare delle autofunzioni dell’hamiltoniano imperturbato:

9 Sistema a due livelli E1 a1(t) 1(q) E0 a0(t) 0(q)

10

11 Moltiplicando per Dove:

12 Moltiplicando per = variazione nel tempo della popolazione degli stati 0 (a0) e 1 (a1).

13 Interazione radiazione-materia
In approssimazione di dipolo elettrico: E’ un operatore a simmetria dispari (trasforma come r), quindi:

14 Nota matematica Funzione pari: f(-x)=f(x)
Funzione dispari: f(-x)=-f(x) Nota matematica Per una funzione pari: Per una funzione dispari:

15 Otteniamo: = MOMENTO DI DIPOLO DI TRANSIZIONE

16 Dalle relazioni di Eulero:
Frequenza di Rabi

17 Per ≠10 tutti i termini esponenziali oscillano rapidamente e si mediano a zero in un piccolo intervallo di tempo. Per ≈10 i termini esponenziali del tipo +10 oscillano rapidamente, mentre i termini -10 rimangono diversi da zero per un tempo sufficientemente lungo. Frequenza di detuning

18 Due equazioni differenziali accoppiate con le condizioni iniziali:
a0(t=0)= a1(t=0)=0 A t=0 solo lo stato fondamentale è significativamente popolato.

19 La probabilità che al tempo t il sistema si trovi nello stato eccitato 1 è:
In condizioni di risonanza:  =  = R

20 Oscillazioni di Rabi coerenti
=0 =R =2R

21 Abbiamo trascurato tutti i processi di rilassamento dallo stato eccitato:
emissione spontanea di radiazione; collisioni intermolecolari con altre molecole e con molecole di solvente. Per deboli campi applicati (sorgenti convenzionali) questi processi sono nettamente predominanti. Come conseguenza A TUTTI I TEMPI la popolazione degli stati eccitati è trascurabile. a0(t) = a1(t) = 0

22 La probabilità di trovare il sistema nello stato eccitato al tempo t è:

23 Questa equazione è stata ottenuta considerando una radiazione monocromatica e tempi di interazione finiti in violazione del principio di indeterminazione. Infatti: t=10ns → =16MHz

24 Pacchetti d'onda = distribuzione di densità di radiazione localizzata intorno ad una frequenza prefissata.

25 La probabilità di transizione andrà integrata sul range di frequenze di densità ():

26 Nell’unità di tempo: 1. Condizione di risonanza di Bohr 2. La probabilità di transizione è proporzionale al quadrato del momento di transizione.