Test per campioni appaiati

Presentazione sul tema: "Test per campioni appaiati"— Transcript della presentazione:

1 Test per campioni appaiati
Due campioni si definiscono appaiati o dipendenti se tra i casi di ciascun campione sussiste una relazione, ossia se è possibile “appaiare” una coppia di punteggi. Esempi: 1) I casi, appartenenti allo stesso campione, sono sottoposti due volte allo stesso test (pre e post test) per testare l’efficacia di una terapia. 2) Vi è una relazione stretta, in genere di parentela (marito-moglie, genitori-figli, fratelli), tra i casi, appartenenti ai due campioni.

2 Confronto tra medie: campioni appaiati
Esempio: Verificare che in famiglie con due figli, il fratello maggiore è più introverso del minore. Soggetti Fratello Maggiore Fratello Minore 1 7 4 2 8 3 6 5

3 Calcolo della media delle differenze (µ D) della popolazione
Poiché vi è una relazione diretta tra le coppie di punteggi di ciascun gruppo, non si fa riferimento alle caratteristiche (µ e σ) delle due popolazioni da cui sono stati estratti i campioni, ma piuttosto alla popolazione delle differenze. La popolazione delle differenze è una popolazione teorica, poiché per essere “realmente” calcolata sarebbe necessario estrarre infinite coppie di soggetti e calcolare la media delle differenze. Si assume che la popolazione delle differenze abbia sempre media µ=0, ossia che le medie delle due popolazioni appaiate siano uguali.

4 Calcolo della media delle differenze del campione (Ď)
La media delle differenze del campione può essere calcolata abbastanza facilmente con due modalità: Soggetti Maggiore Minore 1 7 4 2 8 3 6 5 Differenze (D) 3 4 5 Media 7 4 Ď= 3 Calcolando la media di ciascun campione e facendo la differenza tra le due medie. Calcolando la differenza per ciascuna coppia di punteggi e successivamente la media.

5 Confronto tra medie: campioni appaiati
La media delle differenze tra i punteggi dei campioni (Ď) deve essere confrontata con la media delle differenze delle popolazioni (µD = 0). Si assume che µD sia uguale a 0 poiché il test di ipotesi si basa sulla falsificazione di H0, ossia si vuole rifiutare le due medie siano uguali. Ipotesi: H0: non vi è differenza tra Ď e µD, ossia Ď = µD o Ď = 0 H1: Media dei figli maggiori > media figli minori, quindi? Ď > µD o Ď > 0

6 Stima della varianza della popolazione della differenza tra i punteggi (s2D)
Essendo la varianza della popolazione incognita (poiché la popolazione in questo caso è puramente teorica) è necessario stimare la varianza della popolazione attraverso i punteggi delle differenze del campione. Bisogna pertanto dividere la devianza per N-1.

7 Calcolo di s2D D 3 4 5 Ď=3 D-Ď (D-Ď)2 1 -3 9 2 4 Ʃ(D-Ď)2= 14
5 Ď=3 D-Ď (D-Ď)2 1 -3 9 2 4 Ʃ(D-Ď)2= 14 Ʃ(D-Ď)2/(N-1)= s2D=14/4=3,5

8 Calcolo del valore calcolato
Essendo la varianza della popolazione incognita, nel caso di campioni appaiati si utilizza sempre il test t di Student. Avendo Ď, µD (sempre = 0), s2D ed N è possibile procedere con il calcolo di tcal:

9 Distribuzione t

10 Calcolo del valore critico e GdL
Il valore critico del test t dipende, oltre che dalle ipotesi, dai gradi di libertà. GdL=? Trattandosi del confronto tra campione e popolazione gdl = N-1 D 3 4 5 Ď=3 D-3 1 -3 ?

11 Disegno 1- α = 0,95 α = 0,05 2,132 Accetto H0 Rifiuto H0

12 Svolgimento t(N-1)=2,132 Conclusioni: Siccome tcal>tcri rifiuto H0:
i fratelli maggiori sono più introversi dei fratelli minori

13 Esercizio 1 Verificare che il voto al primo modulo di psicometria sia diverso rispetto al voto del secondo modulo, sapendo che: Soggetti I modulo II Modulo 1 27 24 2 28 3 26 23 4 22 5 6 30 7 25 21 8 20 D 3 4 5 6 Ď=4

14 Esercizio 1 -2,365 +2,365 Rifiuto H0 Accetto H0 Rifiuto H0

15 Calcolo di s2D 3 4 5 6 Ď=4 D-4 (D-4)2 -1 1 2 4 Ʃ(D-Ď)2= 8
2 4 Ʃ(D-Ď)2= 8 Ʃ(D-Ď)2/(N-1)= 8/7=1,14

16 Esercizio 1 t(N-1)=2,365 Conclusioni: Siccome tcal>tcri rifiuto H0
il voto al primo modulo di psicometria è maggiore rispetto al voto del secondo modulo

17 Esercizio 2 Verificare che il livello di soddisfazione dopo un corso di formazione è significativamente maggiore rispetto a quello misurato prima del corso di formazione sapendo che: Soggetti Prima Dopo 1 5 6 2 4 3 7

18 Esercizio 2 1- α = 0,95 α = 0,05 -1,943 Rifiuto H0 Accetto H0

19 Calcolo di s2D -1 -2 D Ď=-1 D-(-1) D-(-1)2 1 -1 Ʃ(D-Ď)2= 2
-2 Ď=-1 D-(-1) D-(-1)2 1 -1 Ʃ(D-Ď)2= 2 Ʃ(D-Ď)2/(N-1)= 2/6=0,33

20 Svolgimento 2 t(N-1)=-1,943 Conclusioni:
Siccome –tcal<-tcri rifiuto H0 ossia: il livello di soddisfazione dopo un corso di formazione è significativamente maggiore rispetto a quello prima, infatti il livello prima è minore di quello dopo (H1).