Automi temporizzati.

Automi temporizzati

w-linguaggi e w-automi (1)
Un w-linguaggio su un alfabeto finito S e’ un sottoinsieme di Sw, l’insieme di tutte le stringhe infinite su S. Una tabella di transizione A e’ una quadrupla <S,S,S0,E> dove S alfabeto di input S insieme finito di stati S0S insieme di stati iniziali E  SSS insieme di archi

L’automa descritto dalla tabella - parte da uno stato iniziale, - se <s,s’,a>E e si trova nello stato s leggendo il simbolo a passa nello stato s’ Per una stringa s = s1 s2 s3 … su S r = s s s … e’ un run di A su S purche’ s0S0 e <si-1,si,si>E per i1. s1 s2 s3

Per un run, l’insieme inf(r) consiste degli stati sS tali che s=si per un numero infinito di i0.

Automi di Büchi (1) Un automa di Büchi e’ una tabella di transizione <S,S,S0,E> con un insieme addizionale FS di stati di accettazione. Un run di A su una stringa sSw e’ un run di accettazione se inf(r)F. Almeno uno stato di accettazione deve essere ripetuto infinite volte.

Automi di Büchi (2) Il linguaggio accettato da A consiste delle stringhe sSw tali che A ha un run di accettazione leggendo s. s0 s1 a a,b a L’automa accetta tutte le stringhe su {a,b} con un numero finito di b. Un w-linguaggio e’ regolare se e’ accettato da un automa di Büchi.

Automi di Büchi (3) s0 a s1 b b,c a,c s0 a s1 Sw – L1 a,c a,b,c
L1 dopo una occorrenza di a ci sono occorrenze di b b b,c a,c s0 a s1 Sw – L1 a,c a,b,c

Automi di Büchi (4) s0 a s1 s2 b, c b, c b,c a
tra due occorrenze di a, c’e’ un numero pari di occorrenze di b e c (anche zero)

Automi di Büchi (5) Teorema
Se L da ASw e’ riconoscibile da un automa A (regolare) allora lo e’ anche Sw –L. Inoltre e’ possibile costruire l’automa per Sw –L. La classe degli w-linguaggi regolari e’ chiusa sotto le operazioni booleane.

Automi di Büchi (6) Teorema
E’ decidibile se il linguaggio riconosciuto da un automa di Büchi e’ vuoto. E’ decidibile l’inclusione tra due w-linguaggi regolari L1 e L2. Dimostrazione Basta dimostrare che e’ vuota l’intersezione L1Sw-L2.

Automi di Büchi (7) Un automa di Büchi A=<S,S,S0,E> e’ deterministico se e solo se c’e’ un singolo stato iniziale (|S0|=1), il numero di archi etichettati da s, uscenti dallo stato s, e’ al piu’ uno per tutti gli stati sS e tutti i simboli sS. La classe dei linguaggi riconosciuti dagli automi deterministici e’ strettamente contenuta in quella degli w-linguaggi regolari.

Automi di Büchi (8) s0 s1 a a,b a Non c’e’ nessun automa deterministico che riconosce (a+b)*aw

Automi di Muller (1) Un automa di Muller A e’ una tabella di transizione <S,S,S0,E> con una famiglia di insiemi  di stati di accettazione,  (S). Un run di A su una stringa sSw e’ un run di accettazione se inf(r) . L’insieme di stati ripetuti infinite volte e’ uguale a un insieme di .

Automi di Muller (2)  = {{s1}}
b b a  = {{s1}} Automa di Muller deterministico che riconosce (a+b)*aw Teorema La classe di linguaggi riconosciuta dagli automi di Muller e’ la stessa di quella riconosciuta da quelli di Büchi e da quelli di Muller deterministici.

Linguaggi temporizzati (1)
Modello del tempo: numeri reali non negativi, R. Una sequenza temporale t = t1 t2 t3 … e’ una sequenza infinita di valori tiR che soddisfa: monotonicita’: t1 < t2 , i1. progresso: per ogni t R c’e’ un i1 tale che ti > t.

Una stringa temporizzata su S e’ (s,t) dove s = s1 s2 s3 … e’ una stringa infinita su S e t e’ una sequenza temporale. Un linguaggio temporizzato su S e’ un insieme di stringhe temporizzate su S. Una stringa temporizzata puo’ essere vista come input ad un automa. Il simbolo si e’ presentato al tempo ti.

Il Linguaggio L1={(s,t)| per ogni i, (ti>5.6)=>(si=a)} su {a,b} e’ il linguaggio delle stringhe temporizzate in cui non ci sono b dopo il tempo 5.6. L1={((ab)w,t)| per ogni i, (t2i- t2i-1) < (t2i+2- t2i+1)} su {a,b} e’ il linguaggio delle sequenze di a e b in cui le differenze tra i tempi delle a e delle b aumentano.

Per un linguaggio L su S, Untime(L) e’ l’w-linguaggio composto dalle stringhe s  Sw tali che per (s,t) L per qualche sequenza temporale t. Esempio Untime(L1)=(a+b)*aw Untime(L2)=(ab)w

Automi temporizzati (1)
La tabella di transizione e’ estesa a tabella di transizione temporizzata. Lo stato successivo dipende non solo dal simbolo letto, ma anche dal tempo del simbolo letto rispetto ai tempi dei simboli precedenti. Alla tabella e’ associato un insieme di orologi. Un orologio puo’ essere azzerato da una transizione. In qualsiasi istante il valore di un orologio da’ il tempo passato dal suo ultimo azzeramento. Ogni transizione puo’ avere un vincolo sul valore degli orologi.

s0 a, x:=0 s1 a, (x<2)? L1={((ab)w,t)| per ogni i, t2i<t2i-1 + 2}

d, (y>2)? s0 s1 s2 s3 b, y:=0 c, (x<1)? a, x:=0 L1={((abcd)w,t)| per ogni i, (t4j+3<t4j+1 + 1) e (t4j+4>t4j+2 + 2) }

Dato un insieme di orologi X, l’insieme F(X) di vincoli sugli orologi d e’ definito induttivamente come = xc | cx |  | 1  2 c costante intera Un’interpretazione n per un insieme di orologi X e’ una funzione da X a R, n: X  R. Una interpretazione n per X soddisfa un vincolo d se e solo se d e’ valutato a “vero” per i valori dati da d.

Per t  R, n+t denota l’interpretazione che assegna a x il valore n(x)+t . Per YX, [Yt]n denota l’interpretazione che assegna t a ciascun orologio yY e assegna n(z) a tutti gli orologi zY.

Una tabella di transizione temporizzata A e’ data da una quintupla <S,S,S0,C,E>, dove S alfabeto di input S insieme finito di stati S0S insieme di stati iniziali C insieme di orologi E  SSS(C)F(C) insieme di archi Una transizione e’ <s,s’,a,l,d> dove lC da’ l’insieme di orologi che la transizione azzera. Un automa di Büchi ha in piu’ l’insieme F degli stati di accettazione.

s0 s1 s2 b, (x<2) s3 b a, {x} a a, {x} L1={((ab)w,t)| per ogni i esiste ji: t2j<t2j-1 + 2}

a,b, x<3 s0 a, {x}, x=3 L1={(s,t)| per ogni i esiste ji: tj=3i e sj = a}

In un linguaggio temporizzato i simboli possono essere arbitrariamente vicini s0 s1 s2 a, {x}, x=1 s3 b, {y} a, {x}, x=1 b, {y}, y<1 L1={((ab)w,t)| per ogni i: (t2i-1=i) e (t2j - t2j-1 > t2j+2 -t2i+1)} La differenza dei tempi di una a e la b successiva e’ strettamente decrescente. Se non usassimo il tempo denso (R) per i tempi il linguaggio sarebbe vuoto.

Un linguaggio temporizzato e’ regolare se esiste un automa di Büchi temporizzato che lo accetta. Teorema La classe dei linguaggi regolari temporizzati e’ chiusa sotto l’unione e l’intersezione. Sia L un linguaggio temporizzato regolare. Per ogni parola s, sUntime(L) se e solo se esiste una sequenza t tale che tiQ per ogni i>1 e (s,t)L. Gli automi non distinguono tra R e Q.

Teorema Dato un automa di Büchi temporizzato A= <S,S,S0,C,E,F>, e’ decidibile se il linguaggio accettato da A e’ vuoto. Dato un automa di Büchi temporizzato A= <S,S,S0,C,E,F>, e’ indecidibile se il linguaggio accettato da A e’ l’insieme di tutte le stringhe su S. Dati due automi A1 e A2, e’ indecidibile se L(A1)L(A2). Corollario La classe dei linguaggi non e’ chiusa per complemento.

Un automa temporizzato di Muller A= <S,S,S0,C,E,> e’ una tabella di transizione temporizzata, <S,S,S0,C,E>, piu’ una famiglia di insiemi (S). Una stringa temporizzata e’ accettata se e solo se l’insieme degli stati attraversati infinite volte appartiene a .

s1 a, x<5 s0 s2 a, x<2 b, {x} c, {x} e’ {{s0,s2}} Ogni parola accettata dell’automa soddisfa: s(a(b+c))* (ac)w per ogni i1 (t2i-1 - t2i-2) e’ minore di 2 se il simbolo di indice 2i e’ uguale a c, minore di 5 altrimenti.

Teorema Un liguaggio temporizzato e’ accettato da un automa temporizzato di Muller se e solo se e’ accettato da un automa di Büchi.

Sia A= <S,S,S0,C,E,> un automa di Muller. Notiamo che L(A)=F  L(AF) dove AF= <S,S,S0,C,E,{F}>, quindi e’ sufficiente costruire, per ogni insieme F, un automa di Büchi A’F che accetta L(AF). Assumiamo F={s1, s2, … sk}, l’automa A’F usa il non determinismo per ipotizzare l’ingresso del ciclo in F. Quando in F, si usa un contatore per assicurarsi che ogni stato e’ visitato infinite volte. Gli stati di A’F sono della forma <s,i> dove i {0,1, … k}. Per ogni transizione <s,s’,a,l,d> di A, l’automa A’F ha una transizione <<s,0>,<s’,0>,a,l,d>. In aggiunta, se s’ F anche <<s,0>,<s’,1>,a,l,d>. Per ogni transizione <s,s’,a,l,d> di A con s,s’ F, per ogni 1ik l’automa A’F ha una transizione <<s,i>,<s’,j>,a,l,d> such that j=((i+1)mod k)+1 se s=si, i=j altrimenti. Il solo stato di accettazione e’ <sk,k>.

s0 a, x<5 s1 s2 a, x<2 e’ {{s1,s2}} b, {x} c, {x} <s1,0> <s0,0> a, x<5 <s2,0> a, x<2 a, x<2 b, {x} c, {x} c, {x} a, x<5 c, {x} <s2,1> <s1,1> c, {x} a, x<2 <s2,2>

Data una tabella temporizzata <S,S,S0,C,E>, uno stato esteso e’ dato da una coppia <s,n>, dove sS e n e’ una interpretazione per i clock C. In generale gli stati estesi sono infiniti, ma si possono raggruppare in un numero finito di insiemi con le stesse proprieta’. Se per due stati estesi i valori clock hanno la stessa parte intera e lo stesso ordinamento sulla parte frazionaria di tutti i clock, allora i cammini a partire dai due stati sono gli stessi. Dato tR, fract(t) denota la parte frazionaria e t la parte intera. t = t +fract(t)

Automa delle regioni (1)
Sia A=<S,S,S0,C,E> una tabella temporizzata. Per ogni xC sia cx la piu’ grande costante tale che xcx o xcx occorre in E. La relazione di ~ equivalenza e’ definita sull’insieme delle interpretazioni per C: n~n’ se e solo se valgono le seguenti condizioni: per tutti gli xC n(x) e n’(x) hanno lo stesso valore oppure n(x) e n’(x) sono entrambi maggiori di cx per tutti gli x,yC con n(x) cx e n(y) cy, fract(n(x))  fract(n(y)) se e solo se fract(n’(x))  fract(n’(y)) per tutti gli xC con n(x) cx, fract(n(x)) =0 se e solo se fract(n’(x)) =0 Una “clock region” e’ una classe di equivalenza di ~, denotata [n]

Si consideri una tabella temporizzata con due orologi, x e y, e cx=2, cy=1. Regioni 6 vertici (es. [(0,1])) segmenti (es. 0<x=y<1) 8 regioni (es 1<x<2  0<y<1  fract(x)<fract(y)) y 1 1 2 x

Automa delle regioni (intuizione)
s2 b, y=1 c, x<1 c, x=1 a, {y} s0 s1 s3 d, x>2 n(x)=1.5, n(y)=2.2 n’ (x)=1.5, n’(y)=1.9 a, {y}, y<1 y n(x)=1.2, n(y)=0.9 n’ (x)=1.4, n’(y)=0.7 1 n(x)=1, n(y)=0.6 n’ (x)=1, n’(y)=0.4 1 2 x

Dato A=<S,S,S0,C,E> costruiamo l’automa delle regioni (A). Uno stato di (A) consiste in uno stato di A e di una classe di equivalenza del valore degli orologi. L’idea e’ che quando A si trova nello stato esteso <s,n>, (A) si trova nello stato ,s,[n]>. Una regione a’ e’ un successore temporale della regione a se e solo se per ogni na, esiste un tR, positivo, tale che n+ta’.

Costruiamo i successore temporali di una regione a. Ricordiamo che una regione e’ definita da: per ogni orologio un vincolo x=c, c-1<x<c oppure x>cx. per ogni coppia x e y tale che c-1<x<c e d-1<y<d compaiono in 1. l’ordine tra fract(x) e fract(y). linea dei successori temporali y 1 1 2 x

Prendiamo l’insieme C0 dei clock x tali che a soddisfa il vincolo x=c, con ccx. Supponiamo C0 non vuoto. La prima regione successore, b, di a e’ data da: per xC0, se a soddisfa x=cx b soddisfa x>cx altrimenti se a soddisfa x=c b soddisfa c<x<c+1. Per per xC0, il vincolo in b e’ uguale a quello di a. Le relazioni tra le parti frazionarie rimangono le stesse (per xC0 la parte frazionaria era 0). y 1 1 2 x

Se il caso precedente non si applica, prendiamo l’insieme C0 dei clock x tali che a non soddisfa x>cx e che hanno la parte frazionaria massima. Cioe’ per tutti gli orologi y tali che a non soddisfa x>cx, fract(y)fract(x). per xC0, se a soddisfa c-1<x<c, b soddisfa x=c, Per per xC0, il vincolo in b e’ uguale a quello di a. Le relazioni tra le parti frazionarie rimangono le stesse. y 1 1 2 x

Dato A=<S,S,S0,C,E> il corrispondente automa delle regioni (A) e’ definito nel modo seguente: Gli stati di (A) sono coppie <s,a> dove sS e a e’ una regione. Gli stati iniziali sono della forma <s0,[n0]> dove s0S0 e n0(x)=0 per tutti gli orologi di C. (A) ha un arco <<s,a>,<s’,a’>,a> se e solo se c’e’ un arco <s,s’,a,l,d>E e una regione a’’ tale che (1) a’’ e’ un successore temporale di a, (2) a’’ soddisfa d, e (3) a’=[l0]a’’.

s2 b, y=1 c, x<1 c, x<1 a, {y} s0 s1 s3 d, x>1 a, {y}, y<1 s0 x=y=0 a a b a b s1 0=y<x<1 s1 0=y, 1=x s1 0=y, 1<x s2 1=y<x b a a c d a d a s3 0<y<x<1 d s3 0<y<1<x d s3 1=y<x d s3 1<y, 1<x d d d

Per un automa temporizzato A=<S,S,S0,C,E>, il suo automa delle regioni puo’ essere utilizzato per accettare Untime(L(A)) Teorema Dato un automa temporizzato A=<S,S,S0,C,E>, esiste un automa di Büchi su S che accetta Untime(L(A)). L’automa delle regioni puo’ essere utilizzato per dimostrare che il linguaggio accettato da un automa temporizzato e’ vuoto.

Ancora sugli automi temporizzati
Corollario La classe dei linguaggi non e’ chiusa per complemento. a, {x} a, x=1 s0 s1 s3 a a a L={(aw,t)| esiste i1: esiste j  i: tj=ti+1}

Ancora sugli automi temporizzati
Automi di Muller deterministici Un automa temporizzato A=<S,S,S0,C,E> di Muller e’ deterministico se e solo se ha solo uno stato iniziale |S0|=1 per tutti gli sS, per tutti i sS, per ogni coppia di archi della forma <s , _ , a , _ , d1> e <s , _ , a , _ , d2>, e sono mutamente esclusivi (d1 d2 e’ insoddisfacibile) Teorema La classe dei linguaggi accettati da automi deterministici di Muller e’ chiusa per unione, intersezione e complemento.

Composizione parallela
A||A’ accetta la composizione di stringhe accettate da A e A’ in cui gli eventi comuni avvengono allo stesso tempo a, x=1,{x} s0 s1 b a s0 s1 c L={(a(bc+cb))w,t)| t3i-2=i}

Verifica di proprieta’ (1)
Si specifica il sistema mediante un automa temporizzato A. Si specificano i comportamenti corretti mediante un automa temporizzato deterministico P. Si verifica che il linguaggio accettato da A e’ contenuto in quello accettato da P.

Un esempio: controllo di un passaggio a livello con tre componenti: TRAIN GATE CONTROLLER Il sistema e’ dato dalla loro composizione parallela

idT approach, {x} s0 s1 in, x>2 exit, x<5 s3 s2 out TRAIN

idG lower, {y} s0 s1 up, (y>1)  (y<2) down, y<1 s3 s2 raise, {y} idG GATE

idC approach, {z} s0 s1 raise, z<1 lower, z=1 s3 s2 exit, {z} CONTROLLER

~in, ~down down ~in, ~up in ~up, ~out s0 s1 s2 up out Safety: quando in treno e’ nel passaggio a livello, questo deve essere chiuso

~down down, {x} ~up s0 s1 up, x<10 Liveness: il passaggio a livello non sta chiuso mai per piu’ di dieci minuti

e transizioni Aggiungendo le transizioni senza simboli si aumenta la potenza del formalismo. Non esiste nessun automa temporizzato senza transizioni e che accetta il seguente linguaggio: L1={(s,t)| per ogni i, ti(i,i+1] e (ti=i+1 e si=a) oppure (ti(i,i+1) e si=b)} a, {x}, x=1 b, 0<x<1 s0 s1 e, {x}, x=1

Automi temporizzati.

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