LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Presentazione sul tema: "LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO"— Transcript della presentazione:

1 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO E ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO a cura dei prof. Roberto Orsaria e Monica Secco

2 Cosa è un’equazione di secondo grado?
Un’equazione di secondo grado è un’equazione in cui l’incognita (usualmente indicata con la lettera x) compare con esponente al massimo pari a 2. Ad esempio sono equazioni di secondo grado: x2-3x=4 4x2-1=0 3x2-2x+4=0

3 Cosa significa risolvere un’equazione?
Significa trovare gli eventuali valori numerici che assegnati all’incognita rendono l’equazione un’uguaglianza sempre vera. Questi valori vengono dette soluzioni o radici dell’equazione.

4 Quante sono le soluzioni di un’equazione di secondo grado?
Un’equazione di secondo grado può avere: 1) due soluzioni reali distinte determinata 2) due soluzioni reali coincidenti 3) nessuna soluzione impossibile 4) infinite soluzioni indeterminata Nei casi 1) e 2) l’equazione si dice determinata, mentre nel caso 3) si dice impossibile e nel caso 4) si dice indeterminata

5 Cosa si intende per forma normale dell’equazione di secondo grado?
Data un’equazione di secondo grado, essa può essere sempre ricondotta, effettuando opportuni passaggi algebrici, alla forma: ax2+bx+c=0 questa è detta “forma normale”. Ad esempio nell’ equazione 4x2=+5x-12, trasportando tutti i termini al primo membro (ricordandosi di cambiarne il segno) otteniamo l’equazione in forma normale: 4x2-5x+12=0

6 Classificazione delle equazioni di secondo grado
In base alla loro forma le equazioni di secondo grado vengono così classificate: equazioni pure: ax2+c=0 equazioni spurie: ax2+bx=0 equazioni complete: ax2+bx+c=0 Le equazioni pure e spurie sono dette anche incomplete

7 Come si risolve un’equazione pura?
Considera l’equazione pura: ax2+c=0 isola il termine con x2: ax2= -c dividi per a: x2= -c/a a questo punto si possono verificare due casi:

8 10 caso: il termine –c/a è positivo:
si può allora estrarre la radice quadrata e si ottengono due soluzioni distinte (una positiva e l’altra negativa) x1,2= ±-c/a 20 caso: il termine –c/a è negativo: in questo caso non si può estrarre la radice quadrata e l’equazione non ha soluzioni reali (è impossibile).

9 Ad esempio considera l’equazione:
4x2-16=0 isola il termine x2: 4x2 = 16 dividi tutto per 4 e ottieni: x2 = 4 e quindi estrai la radice quadrata di +4 (ricordati che ci sono due soluzioni di segno opposto) x1,2= ± 2

10 Considera ora l’equazione pura seguente:
2x2+50=0 isola il termine x2 e ottieni: 2x2 = -50 dividi tutto per 2: x2 = -25 osserva ora che al secondo membro dell’equazione hai un numero negativo, per cui non è possibile estrarre la radice quadrata e quindi l’equazione è priva di soluzioni reali, cioè impossibile.

11 Come si risolve un’equazione spuria?
Consideriamo l’equazione spuria ax2+bx=0 raccogli a fattor comune la x: x(ax+b)=0 applica la legge di annullamento del prodotto (il prodotto di due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo) e otteni che deve essere: 10 fattore uguale a zero x=0 20 fattore uguale a zero: ax+b=0, da cui x= -b/a

12 quindi un’equazione spuria ha sempre due soluzioni distinte, di cui una vale sempre zero.
Esempio se devi risolvere l’equazione spuria: 3x2+5x=0 devi raccogliere a fattor comune la x: x(3x+5)=0 e così ottieni le due soluzioni: x1=0 e x2= -5/3

13 Come si risolve un’equazione completa?
Per risolvere un’equazione completa ax2+bx+c=0 devi applicare la formula risolutiva seguente: x1,2 = (-b±b2-4ac)/2a Il termine che compare sotto radice viene chiamato discriminante e indicato usualmente con la lettera greca  (delta).

14 Quale è il ruolo del discriminante?
Il discriminante gioca un ruolo molto importante ai fini della determinazioni delle soluzioni dell’equazione. A seconda del suo segno si possono verificare tre casi: 1o caso: >0 in questo caso sotto il simbolo di radice si ha un numero positivo, per cui è possibile estrarre la radice quadrata e si ottengono due soluzioni reali distinte x1,2 = (-b±b2-4ac)/2a

15 2o caso: =0 se il discriminante è nullo, la radice quadrata è pure nulla e quindi si ottengono due soluzioni reali coincidenti: x1 = x2 = -b/2a 3o caso: <0 se il discriminante è negativo, sotto radice abbiamo un numero negativo e quindi non è possibile estrarre la radice quadrata, per cui l’equazione non ha soluzioni reali (è impossibile)

16 Esempi 1) Considera l’equazione completa x2+3x+2=0
risulta: a=1 b=3 c=2 calcola il discriminante b2-4ac: = 32-4·1· 2= 9-8=1 esso è positivo per cui l’equazione ammette due soluzioni reali distinte: calcola la radice quadrata del discriminante:  = 1 ottieni allora le due soluzioni: x1= (-3+1)/2= -1 e x2= (-3-1)/2=-2

17 2) Considera l’equazione completa:
x2-10x+25=0 risulta: a=1 b=-10 c=+25 calcola il discriminante: = (-10)2-4· 1· 25= =0 esso è nullo e quindi l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti: x1=x2= 10/2=5

18 3) Considera l’equazione completa
x2-7x+13=0 risulta: a=+1 b=-7 c=+13 calcola il discriminante: = (-7)2-4· 1· 13= 49 – 52 = -3 <0 il discriminante è negativo e quindi l’equazione non ammette soluzioni reali, cioè è impossibile.