Lezione 3: Esempi di sistemi LTI tempo-discreti

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1 Lezione 3: Esempi di sistemi LTI tempo-discreti
Ing. Raffaele Carli ( Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 28 ottobre 2013

2 Sommario Sistemi LTI discreti: Esempi di sistemi del I ordine
Piano di ammortamento Esempi di sistemi del II ordine Andamento del PIL Samuelson

3 Esempio 1 – Sistema discreto I ordine
Piano di ammortamento con rate costanti Richiami teorici Al tempo k = 1 viene erogato un mutuo d’importo C la somma è restituita in rate di importo u(k), pagate a partire dal tempo k = 1 r è il tasso d’interesse costante con il quale viene calcolato l’interesse sul debito residuo Risoluzione analitica Bla bla bla Variabile di stato: x(k) : debito residuo prima del versamento k Condizione iniziale: x(1) = C 𝑥 𝑘+1 = 1+𝑟 𝑥 𝑘 −𝑢(𝑘) 𝑦 𝑘 =𝑥(𝑘)

4 Esempio 1 – Risoluzione I
Piano di ammortamento Matlab CST

5 Esempio 1 – Risultati Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 10

6 Esempio 1 – Risultati Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 5

7 Esempio 1 – Risultati Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 1.5 * k

8 Esempio 1 – Risoluzione II
Piano di ammortamento Matlab – metodo ad iterazioni

9 Esempio 1 – Risoluzione III
Piano di ammortamento Blocco State-Space con Simulink

10 Esempio 1 – Risoluzione III
Piano di ammortamento Blocco State-Space con Simulink

11 Esempio – Risoluzione IV
Piano di ammortamento Risoluzione di equaz. alle diff. con Simulink

12 Esempio 2 – Sistema discreto II ordine
Modello economico di Samuelson (modello moltiplicatore-acceleratore) Richiami teorici y(k) = c(k) + i(k) + u(k) y : prodotto nazionale c : consumi delle famiglie; i : investimenti delle imprese; u : spesa pubblica c(k) = 𝜶 y(k-1) 𝜶 : propensione al consumo (dove 0<𝜶<1); 1/(1- 𝜶) : moltiplicatore i(k) = 𝛽 ( c(k)-c(k-1) ) 𝛽: acceleratore 𝑦(𝑘)=𝛼(𝛽+1)∙𝑦(𝑘−1)−𝛼𝛽∙𝑥(𝑘)−𝑢(𝑘) Risoluzione analitica Bla bla bla 𝑥 1 𝑘+1 = 𝑥 2 𝑘 𝑥 2 𝑘+1 = −𝑏∙𝑥 1 𝑘 +𝑎∙ 𝑥 2 𝑘 +𝑢(𝑘) 𝑦 𝑘 =𝑥(𝑘) 𝑥 1 𝑘 =𝑦 𝑘−1 𝑥 2 𝑘 =𝑦 𝑘−2 𝑎=𝛼 𝛽+1 𝑏=𝛼𝛽

13 Esempio 2 – Risoluzione I
Previsione Prodotto interno lordo Samuelson Blocco State-Space con Simulink

14 Esempio 2 – Risoluzione I
Previsione Prodotto interno lordo Samuelson Blocco State-Space con Simulink

15 Esempio 2 – Risultati Caso 𝛽 < 1/𝜶 (contrazione)
𝜶 = 0.5 ; 𝛽 = 1.5 ; y0 = [20 90]

16 Esempio 2 – Risultati Caso 𝛽 = 1/𝜶 (fluttuazioni)
𝜶 = 0.5 ; 𝛽 = 2.0 ; y0 = [20 90]

17 Esempio 2 – Risultati Caso 𝛽 > 1/𝜶 (crescita)
𝜶 = 0.5 ; 𝛽 = 2.5 ; y0 = [20 90]

18 Esempio 2 – Risoluzione II
Previsione Prodotto interno lordo Samuelson Risoluzione di equaz. alle diff. con Simulink

19 Continua…

20 Laboratorio di Analisi dei sistemi
Grazie per l’attenzione! Ing. Raffaele Carli Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione