Testo consigliato MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI

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1 Testo consigliato MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI
Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE

2 Titolo Spazi euclidei e funzioni

3 Piano cartesiano Q (2,3) P (3,2)

4 Prodotto cartesiano Se A e B sono due insiemi, si chiama Prodotto Cartesiano di A per B l’insieme, indicato con A x B , i cui elementi sono le coppie ordinate (x,y) dove il primo termine x viene scelto in A e il secondo termine y viene scelto in B .

5 Quadrato cartesiano Se A = B , invece di AxA si usa scrivere: A2

6 R2 RxR R 2

7 R 2

8 Spazio cartesiano

9 R3 z 4 P R 3 (3,2,4) 2 y 3 x

10 R R R Dimensioni 3 2 spazio euclideo di dimensione 1 spazio euclideo
1 2 3 -1 -2 spazio euclideo di dimensione 1 R 2 R 3 spazio euclideo di dimensione 3 spazio euclideo di dimensione 2

11 n-uple ordinate di numeri reali
Rn n R spazio euclideo n-dimensionale ennuple n-uple ordinate di numeri reali

12 Analisi su un campione analisi su un campione sperimentale:
unità campionarie risultati analisi del colesterolo: risultati analisi della glicemia: risultati analisi dell’azotemia:

13 Peso - altezza Correlazione Peso-Altezza x (peso in Kg.) 70 66 74 72
76 72 76 73 y (altezza in cm.) 168 167 172 175 177 169 176 175

14 Nuvola di punti y altezza x peso

15 m = tg a a y = m x Equazione della retta A coefficiente angolare y x y
x x

16 m > 0 : CRESCENTE y A a x

17 y m < 0 : DECRESCENTE x a A

18 Coeff. angolare e intercetta
y = m x + q y m coefficiente angolare mx+q q intercetta q Q y = m x q m x a a x x

19 m coefficiente angolare
x y Q q m x mx+q y = m x+q m coefficiente angolare intercetta

20 Retta interpolatrice m q 1 100 altezza y = x + 100 peso
variabile indipendente altezza equazione y = x + 100 x variabile dipendente peso

21 Scambio degli assi peso y = x - 100 altezza y x variabile dipendente
variabile indipendente peso equazione y = x - 100 x altezza

22 Concetto di funzione peso y = ax2 + bx + c altezza y
y varia in funzione di x parabola variabile dipendente variabile indipendente y peso F U N Z I O N E equazione y = ax2 + bx + c x altezza

23 Definizione di funzione

24

25 immagine di x mediante f
Immagini o valori f B A valore di f su x argomento x f(x) DOMINIO CODOMINIO immagine di x mediante f

26 Immagine di una funzione
B A f (A) immagine di A f

27 Traiettoria z y x

28 z y x

29 z y x

30 z y x

31 z y x

32 z y x

33 z y x

34 z y x

35 z y x

36 z y x

37 z y x

38 z t f (t) y posizione dell’aereo nell’istante t x

39 Funzione di 4 variabili T ( x, y, z, t ) (x, y, z)
Temperatura in °C nel punto (x, y, z) nell’istante t T ( x, y, z, t ) (x, y, z)

40 Operazioni come funzioni
OPERAZIONI ALGEBRICHE addizione : add R2 R add (x , y) = x + y moltiplicazione : molt R2 R

41 Identità IDENTITA’ di A id A A A id (x) = x A x x

42 Successioni N* f R SUCCESSIONE f(1) = a1 f(2) = a2 f(n) = an

43 N* R f Fibonacci f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 f(4) = 5 f(5) = 8
SUCCESSIONE Esempio : f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 f(4) = 5 f(5) = 8 f(6) = 13 definizione ricorsiva : f(n+2) = f(n) + f(n+1) successione di Fibonacci

44 Progressione aritmetica
f R SUCCESSIONE Esempio : f(n) = a n + b 2 3 f(0) = 3 f(1) = 5 f(2) = 7 f(3) = 9 f(4) = 11 f(5) = 13 progressione aritmetica

45 N R Funzione lineare R y = a x + b f( n ) = a n + b x f y
17 15 y = a x + b f N R R 13 11 f( n ) = a n + b x 9 funzione lineare 7 5 3 linea retta x 1 2 3 4 5 6 7

46 Rapidità di crescita y - yo = m (x-xo) y = f(x) lineare f(xo) y y
xo x y - yo = m (x-xo) coefficiente angolare (rapidità di crescita)

47 Previsione f ( xo+ h ) = f ( xo) + m h y - yo = m (x-xo) h
y = f(x) lineare f(xo+ h) f ( xo+ h ) = f ( xo) + m h m h f(xo) yo yo h x xo xo+ h coefficiente angolare (rapidità di crescita) y - yo = m (x-xo) h

48 Concetto di derivata m varia in funzione di x y = f(x) non lineare
y = m1 x + q1 y = m x + q f(xo) m varia in funzione di x xo x1 x DERIVATA di f

49 ? y = f(x) non lineare y = m x + q xo y f(xo+ h) xo+ h x f(xo) h
f(xo+h) - f(xo) f(xo) rapporto incrementale h xo xo+ h x

50 f(xo+ h) - f(xo) h

51 f(xo+ h) - f(xo) h

52 f(xo+ h) - f(xo) h

53 f(xo+ h) - f(xo) h

54 Definizione di derivata

55 Esempio Esempio funzioni lineari y = a x + b coefficiente angolare

56 Derivate fondamentali
Esempio funzione

57 più in generale:

58 Tabella delle derivate

59 Crescenza e decrescenza
y = f(x) non lineare y x2 DECRESCENTE CRESCENTE x1 x

60 Funzione seno 1 sin t t -1 1 -1

61 1 -1 1 -1

62 1 -1 1 -1

63 1 -1 1 -1

64 1 -1 1 -1

65 1 -1 1 -1

66 1 -1 1 -1

67 1 -1 1 -1

68 1 -1 1 -1

69 1 -1 1 -1

70 1 -1 1 -1

71 1 -1 1 -1

72 1 -1 1 -1

73 1 -1 1 -1

74 1 -1 1 -1

75 1 -1 1 -1

76 1 -1 1 -1

77 1 -1 1 -1

78 1 -1 1 -1

79 1 -1 1 -1

80 1 -1 1 -1

81 1 -1 1 -1

82 Grafici di seno e coseno
y = sin x y = cos x

83 Grafico della tangente
Grafico della funzione tangente

84 Una strana “funzione” ? decrescente crescente

85 Non è una funzione ? NON E’ UNA FUNZIONE !

86 La definizione corretta di funzione

87

88 la funzione seno non è invertibile
Non invertibilità la funzione seno non è invertibile

89 Iniettività però x1 x2 FUNZIONE NON INVERTIBILE y = b b
perché f sia invertibile occorre che : FUNZIONE INIETTIVA x1 x2

90 f B A INIETTIVA

91 f A B INIETTIVA

92 Ricerca dell’inversa f - 1 B A inversa di f ? f(A)

93 FUNZIONE NON INVERTIBILE
y = b b y = sin x + 3 ?

94 Suriettività e biettività
f B A BIETTIVA INIETTIVA SURIETTIVA f(A) f (A) = B f SURIETTIVA

95 Funzione inversa f - 1 B A

96 Grafico dell’arcoseno
Grafico della funzione arcoseno

97 Inversione parziale

98 Grafico dell’arcocoseno
Grafico della funzione arcocoseno

99 Grafico dell’arcotangente
Grafico della funzione arcotangente

100 Composizione COMPOSIZIONE B g f f(x) A C g COMPOSTO f x g( f(x) )

101 Non commutatività f : R R f(x) = x + 1 g(x) = x2 g : R R Esempio :
L’OPERAZIONE DI COMPOSIZIONE NON È COMMUTATIVA

102 Esercizio regola della catena

103 Esercizio Esempio

104 Regole di derivazione

105 Esercizio Esempio

106 Funzioni esponenziali
funzione esponenziale di base a l numero di Nepero esponenziale naturale e e = 

107 R Studiare la funzione: Dominio: Esercizio
la funzione è sempre crescente Il grafico volge sempre la concavità verso l’alto

108 Grafico dell’esponenziale

109 Esponenziale decrescente

110 Logaritmo naturale base naturale e logaritmo naturale

111 Grafico del log naturale
1 y = log x 8 + 0 < x < log x < 0 x > log x > 0 8

112 Tabella funzioni-operazioni
Pagina 308 Tabella 4.1

113 iperbole

114 Grafico della radice quadrata

115 Radice di x al quadrato

116 Forme indeterminate = ? FORMA INDETERMINATA ∞ - ∞

117 Teorema di de L’Hospital
FORMA INDETERMINATA ∞ Teorema di De L’Hospital

118 Limite notevole FORMA INDETERMINATA Teorema di De L’Hospital

119 ∞ ex infinito di ordine superiore rispetto ad ogni polinomio
FORMA INDETERMINATA ∞ Teorema di De L’Hospital ex infinito di ordine superiore rispetto ad ogni polinomio

120 Esercizi sugli integrali definiti
Soluzioni degli esercizi proposti a pagina 326

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