POLINOMI 2 aspetti o punti di vista 1) Algebrico formale 2) Funzionale 1) A(x) è un espressione algebrica che, ridotta a forma normale, è del tipo A(x)

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1 POLINOMI 2 aspetti o punti di vista 1) Algebrico formale 2) Funzionale 1) A(x) è un espressione algebrica che, ridotta a forma normale, è del tipo A(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +...+a 1 x+ a 0 a i = Z, Q, R, C x è un simbolo, cui non si attribuisce significato numerico, lindeterminata MMoscaSIS Piemonte

2 Perché è importante precisare lambito numerico in cui si scelgono i coefficienti ? Che cosè un polinomio irriducibile? x 2 - 2 è irriducibile? x 2 + 2 MMoscaSIS Piemonte

3 I polinomi definiti su K costituiscono un anello commutativo Non vi è definita una relazione dordine ma il grado del polinomio assume un ruolo analogo Vale il teorema dellannullamento del prodotto MMoscaSIS Piemonte

4 Vale il teorema della divisione euclidea: Dati due polinomi A(x) e B(x), B(x) 0, esistono (unici) due polinomi Q(x) e R(x) tali che A(x) = Q(x) B(x) + R(x) il grado di R(x) è minore del grado di B(x) MMosca SIS Piemonte

5 2) Punto di vista analitico -funzionale Attribuiamo ad x un significato numerico considerandola un elemento variabile di K, meglio indicare tale valore con una lettera diversa, ad esempio k: Se si associa ad ogni k di K il numero A(k) = a n k n + a n-1 k n-1 +...+a 1 k+ a 0 si definisce una funzione polinomiale con dominio K e codominio K. MMoscaSIS Piemonte

6 Sarebbe bene indicare la funzione con A: k A(k) ; e Riservare la scrittura y = A (k) al grafico cartesiano MMoscaSIS Piemonte

7 Teorema di identità dei polinomi Due polinomi A(x) e B(x) sono uguali se e solo se hanno lo stesso grado e, scritti in forma normale, i coefficienti dello stesso grado sono tutti uguali. Due polinomi A(x) e B(x) si dicono funzionalmente uguali se e solo se individuano la stessa funzione definita su K e a valori in K, cioè se A(k) = B(k) per ogni k K MMoscaSIS Piemonte

8 Strutture in cui non vale il teorema di identità Espressioni polinomiali in seno e coseno sin 2 t e 1- cos 2 t sono espressioni diverse di una stessa funzione. Se K è un campo finito es Z 2 A(x)= x e B(x) = x 3 sono formalmente diverse, ma funzionalmente identiche, poiché assumono lo stesso valore sia per x = che per x = MMoscaSIS Piemonte

9 Teoremi che legano laspetto formale a quello funzionale Teorema del resto Se A(x) è un polinomio su K di grado n 1 e se k è un numero di K, il resto R della divisione di A(x) per x- k è uguale al valore che il polinomio A(x) assume sostituendo k al posto della variabile x, ossia R= A(k). MMoscaSIS Piemonte

10 Teorema della radice Se A(x) è un polinomio su K di grado n 1 e se k è un numero di K, il polinomio A(x) è divisibile per x- k se e solo se A(k) = 0 MMoscaSIS Piemonte

11 Un polinomio P(x) su K di grado n 1 possiede al massimo n radici, ossia la funzione polinomiale P: K K si annulla al più per n valori di K MMoscaSIS Piemonte

12 Teorema di fattorizzazione unica per i polinomi: Un polinomio P(x) o è irriducibile o è decomponibile in un numero finito di polinomi irriducibili in K MMoscaSIS Piemonte

13 DISEQUAZIONI x 2 > 4 ?

14 Premettere e Privilegiare domande relative a funzioni con significati applicativi rilevanti Assegnare le funzioni mediante tabella o grafico * Chiedere le risposte in forma verbale MMoscaSIS Piemonte

15 In quali ore la temperatura è stata minore di 2 ° C?

16 Risposte Da poco dopo mezzanotte a quasi luna e dalle 5 e un quarto circa alle 11. Dopo si trae la scrittura simbolica (0,10 ; ~ 1) (~ 5,25 ; 11) MMosca SISPiemonte

17 Domanda in altra versione Tizio è uscito quando la temperatura era minore di 2 °C A che ora è uscito ? Risposta Circa fra mezzanotte e luna oppure dopo le 5 e un quarto (0,10 5,25) MMosca SISPiemonte

18 Quali tra i seguenti insiemi indicano le soluzioni della disequazione x 2 > 4 ?

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20 12) Una rappresentazione grafica dei due intervalli sulla retta reale MMosca SISPiemonte