Elementi di Matematica

Presentazione sul tema: "Elementi di Matematica"— Transcript della presentazione:

1 Elementi di Matematica
Insiemi relazioni funzioni prof. Paolo Peranzoni

2 Insiemi Il concetto di insieme, a questo livello, viene trattato in forma intuitiva: viene chiamato insieme una qualunque raccolta di oggetti (concreti o astratti), purché si sappia con precisione chi ne fa parte e chi no un insieme può essere individuato in modo estensivo (dando l’elenco dei suoi elementi) o intensivo (dichiarando le proprietà degli stessi)

3 Esempi di insiemi L’insieme degli studenti presenti in quest’aula (definizione intensiva) L’insieme che contiene Brontolo, Cucciolo, Dotto, Eolo, Gongolo, Mammolo, Pisolo (definizione estensiva dei sette nani) L’insieme degli esercizi facili di matematica (non è un insieme, perché non è possibile stabilire in modo univoco quali esercizi vi appartengano!)

4 Come rappresentare gli insiemi
Gli insiemi si possono rappresentare in modo simbolico, sia in forma intensiva che estensiva: A = {Brontolo, Cucciolo, Dotto, Eolo, Gongolo, Mammolo, Pisolo} è una rappresentazione estensiva dell’insieme dei sette nani B = {x|xN, 3x7} è l’insieme dei numeri naturali (ossia gli interi positivi) compresi fra 3 e 7, estremi inclusi (contiene cioè 3, 4, 5, 6 e 7) Ma si possono rappresentare anche in forma grafica, attraverso i diagrammi di Eulero-Venn

5 I diagrammi di Eulero-Venn
Un diagramma di Eulero-Venn (o semplicemente diagramma di Venn) è la rappresentazione grafica di un insieme che consiste nel racchiuderne gli elementi all’interno di una linea chiusa non intrecciata.

6 Concetti fondamentali 1
Fondamentale è il concetto di appartenenza di un elemento ad un insieme Il simbolo corrispondente è  Esempio: Anna  BAMBINI (con riferimento alla figura precedente)

7 Concetti fondamentali 2
Ben diverso è il concetto di inclusione di un insieme in un altro insieme: I simboli corrispondenti sono  e  Si dice che un insieme è incluso in un altro (o che è un suo sottoinsieme) se tutti gli elementi del primo appartengono anche al secondo Esempio: {Brontolo, Eolo, Mammolo}  {Brontolo, Cucciolo, Dotto, Eolo, Gongolo, Mammolo, Pisolo}

8 Inclusione Si può avere l’inclusione in senso stretto:
A  B se non tutti gli elementi di B appartengono ad A (come nell’esempio precedente) In tal caso A viene detto sottoinsieme proprio di B Oppure si può avere l’inclusione in senso lato: A  B se è possibile che tutti gli elementi di B appartengano anche ad A Se A coincide con B si dice che è un suo sottoinsieme improprio

9 Esempi Nella figura accanto, B  A (B è un sottoinsieme improprio di A) Invece, C  B (B è un sottoinsieme proprio di A) Esiste anche la relativa negazione: B  C (B non è un sottoinsieme di C)

10 Operazioni Sugli insiemi si definiscono varie operazioni; le più comuni sono l’unione e l’intersezione: L’unione di due insiemi A e B si indica con A  B ed è l’insieme che ha come elementi tutti quelli di A ed anche tutti quelli di B (senza contare due volte gli elementi comuni)

11 Intersezione L’intersezione di due insiemi A e B si indica invece con A  B ed è l’insieme che ha come elementi quelli che appartengono sia ad A sia a B Nel prossimo esempio, consideriamo gli insiemi A = {a, b, c, d, e} e B = {a, e, i, o, u} Notiamo che nessuno dei due è sottoinsieme dell’altro (A  B e B  A)

12 Esempio Come si può notare, l’intersezione corrisponde alla parte comune ai due insiemi, mentre l’unione all’intera area più scura

13 L’insieme vuoto Se calcoliamo l’intersezione fra due insiemi disgiunti (ossia che non hanno elementi comuni), otteniamo l’insieme vuoto Il simbolo per indicarlo è Ø Esempi: {1, 2, 3}  {4, 5, 6} = Ø {x|xN, 3x7}  {x|xN, 9x12} = Ø

14 Gli insiemi numerici Gli insiemi più interessanti per la matematica sono quelli numerici I più utilizzati sono Insieme dei numeri naturali N Insieme dei numeri interi Z Insieme dei numeri razionali Q Insieme dei numeri reali R

15 Funzioni Si chiama funzione fra due insiemi A e B qualunque corrispondenza che, ad ogni elemento di A faccia corrispondere uno ed un solo elemento di B Ad esempio, la corrispondenza che a ciascuna persona presente in quest’aula associa la lettera iniziale del suo cognome è una funzione l’insieme A, in questo caso, è l’insieme delle persone presenti l’insieme B è l’insieme delle lettere dell’alfabeto

16 Funzioni e diagrammi Nella figura accanto, la funzione f associa a ciascun elemento dell’insieme A = {a, b, c, d} uno ed un solo elemento dell’insieme B = {e, f, g} e precisamente: a → e, b → f c → f, d → g

17 Dominio e codominio L’insieme A (insieme di partenza) viene chiamato dominio della funzione L’insieme B (insieme di arrivo) viene chiamato codominio della funzione

18 Immagini Si dirà che e è l’immagine di a, f di b e di c, g di d
h non è immagine di nessun elemento di A L’insieme {e, f, g}  B è detto insieme delle immagini o insieme immagine di A Qualcuno chiama codominio l’insieme immagine, anziché l’insieme B

19 Proprietà delle funzioni
Una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell’insieme B è associato ad almeno un elemento di A Questo equivale a dire che l’insieme delle immagini coincide con B Per aiutare la memoria, possiamo pensare che la funzione f “copre”, “va sopra” a B si usa anche dire che, in questo caso, f è una funzione di A su B

20 Esempio La funzione vista tre diapositive addietro è suriettiva
Quella successiva, invece, non lo è

21 Funzioni iniettive Una funzione si dice iniettiva quando ogni elemento dell’insieme B è associato tutt’al più ad un elemento di A Questo equivale a dire che su ogni elemento di B non può arrivare più di una freccia In altre parole, un elemento di B o è immagine di un solo elemento di A oppure non lo è di nessuno

22 Esempio La funzione rappresentata qui di fianco è iniettiva
Questa, invece, non lo è

23 Funzioni biiettive Una funzione si dice biiettiva quando è al tempo stesso suriettiva ed iniettiva In tal caso essa viene chiamata anche corrispondenza biunivoca Una funzione biiettiva non solo associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B (come ogni funzione), ma anche ad ogni elemento di B uno ed un solo di A Le funzioni biiettive vengono dette anche “corrispondenze uno a uno”

24 Esempio La funzione rappresentata qui di fianco è biiettiva
Questa, invece, non lo è

25 Funzioni algebriche Quando dominio e codominio sono insiemi numerici, le funzioni vengono dette solitamente algebriche Le funzioni algebriche sono in genere espresse da una equazione: y = 2x esprime la funzione che ad ogni numero (reale) x associa il suo doppio y y = x2 esprime la funzione che ad ogni numero (reale) x associa il suo quadrato y

26 Funzioni elementari Le funzioni più semplici usate in algebra sono dette funzioni elementari Alcune le vedremo in seguito; qui vediamo solo le funzioni lineari: y = ax + b (dove a e b sono numeri reali qualsiasi) è la più generale funzione lineare in una variabile L’aggettivo lineare significa, in matematica, “di primo grado”