A.S.E.6.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 6 Complemento a MComplemento a M Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri.

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1 A.S.E.6.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 6 Complemento a MComplemento a M Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno –Modulo e segno –Complemento alla base –Complemento malla base -1 –Traslazione Addizione su numeri relativiAddizione su numeri relativi

2 A.S.E.6.2 Modulo M (1) X modulo M è il resto della divisione di X diviso M; si indica con due barre verticali e pedice MX modulo M è il resto della divisione di X diviso M; si indica con due barre verticali e pedice M R è detto anche residuo e risultaR è detto anche residuo e risulta EsempioEsempio Intero di X diviso M

3 A.S.E.6.3 Modulo M (2) Altra interpretazione: dato un numero X e detto R il modulo M di XAltra interpretazione: dato un numero X e detto R il modulo M di X 1° caso 0 X < M segue R = X1° caso 0 X < M segue R = X 2° caso X M si togli tante volte M in modo che risulti 0 R < M2° caso X M si togli tante volte M in modo che risulti 0 R < M 3° caso X 0 si somma tante volte M in modo che risulti 0 R < M3° caso X 0 si somma tante volte M in modo che risulti 0 R < M

4 A.S.E.6.4 Osservazione 1 Loperazione modulo M in generale non è biunivoca, ovvero dato il numero X è univocamente determinato R = |X| MLoperazione modulo M in generale non è biunivoca, ovvero dato il numero X è univocamente determinato R = |X| M Dato R esistono infiniti numeri che hanno per residuo R stesso Loperazione modulo M è biunivoca se risultaLoperazione modulo M è biunivoca se risulta

5 A.S.E.6.5 Osservazione 2 Data una base B, se si dispone di un numero limitato di digit (K), se si esegue laddizione di due numeri la cui somma eccede B K, allora la somma S assume il valoreData una base B, se si dispone di un numero limitato di digit (K), se si esegue laddizione di due numeri la cui somma eccede B K, allora la somma S assume il valore

6 A.S.E.6.6 Numeri binari con segno Il numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fissoIl numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fisso Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word)Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word) 8 bit formano un Byte8 bit formano un Byte Non esiste un apposito simbolo per il segnoNon esiste un apposito simbolo per il segno Si usa il bit più significativo per indicare il segnoSi usa il bit più significativo per indicare il segno 0 = +0 = + 1 = -1 = - Si hanno varie tecniche di codificaSi hanno varie tecniche di codifica Modulo e segnoModulo e segno Complemento a 1Complemento a 1 Complemento a 2Complemento a 2 In traslazione ( cambia la codifica del segno)In traslazione ( cambia la codifica del segno)

7 A.S.E.6.7 Modulo e segno (1) AssumendoAssumendo –Digit a disposizione (lunghezza della parola) N –X numero di cui si vuole eseguire la conversione –X MS rappresentazione di X in M.S. RisultaRisulta In Base 2 risultaIn Base 2 risulta

8 A.S.E.6.8 Esempio 1 Disponendo di 3 digit in base 10Disponendo di 3 digit in base 10 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in MS i numeri 25, 147, -13, -258

9 A.S.E.6.9 Esempio 2 Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in MS i numeri 1111 (15), 1110101 (117), -10111 (-23), -1011001 (-89)

10 A.S.E.6.10 Modulo e segno (2) Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

11 A.S.E.6.11 Complemento a 1 (1) AssumendoAssumendo –Bit a disposizione (lunghezza della parola) N –X numero di cui si vuole eseguire la conversione –X C1 rappresentazione di X in C1 RisultaRisulta

12 A.S.E.6.12 Esempio Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in C1 i numeri 1111 (15), 1110101 (117), -10111 (-23), -1011001 (-89)

13 A.S.E.6.13 Complemento a 1 (2) Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

14 A.S.E.6.14 Complemento a 2 (1) AssumendoAssumendo –Bit a disposizione (lunghezza della parola) N –X numero di cui si vuole eseguire la conversione –X C2 rappresentazione di X in C2 RisultaRisulta

15 A.S.E.6.15 Esempio Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in C2 i numeri 1111 (15), 1110101 (117), -10111 (-23), -1011001 (-89)

16 A.S.E.6.16 Complemento a 2 (2) Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

17 A.S.E.6.17 Traslazione (1) AssumendoAssumendo –Bit a disposizione (lunghezza della parola) N –X numero di cui si vuole eseguire la conversione –X T rappresentazione di X in T RisultaRisulta

18 A.S.E.6.18 Esempio Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in T i numeri 1111 (15), 1110101 (117), -10111 (-23), -1011001 (-89)

19 A.S.E.6.19 Traslazione(2) Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

20 A.S.E.6.20 Trasformazione da numeri positivi a numeri negativi e viceversa Per la rappresentazione in modulo e segnoPer la rappresentazione in modulo e segno Basta cambiare il bit di segnoBasta cambiare il bit di segno Per la rappresentazione in complemento a 1Per la rappresentazione in complemento a 1 Si complementano tutti bitSi complementano tutti bit Per la rappresentazione in complemento a 2Per la rappresentazione in complemento a 2 Si complementano tutti bit e si somma 1Si complementano tutti bit e si somma 1 Per la rappresentazione in tralazionePer la rappresentazione in tralazione Si somma sempre 2 n-1Si somma sempre 2 n-1

21 A.S.E.6.21 Tabella Riassuntiva Con riferimento a una word di n bit, si ha:Con riferimento a una word di n bit, si ha: K = 2 n K = 2 n H =2 n-1H =2 n-1 W numero in base 2 da convertireW numero in base 2 da convertire W numero convertitoW numero convertito

22 A.S.E.6.22 Varie rappresentazioni su 4 bit Base 10 Mod e seg comp a 1 comp a 2 trasl. 70.1110.1110.1111.111 60.1100.1100.1101.110 50.1010.1010.1011.101 40.1000.1000.1001.100 30.0110.0110.0111.011 20.0100.0100.0101.010 10.0010.0010.0011.001 00.0000.0000.0001.000 01.0001.1110.0001.0001.0011.1101.1110.111 -21.0101.1011.1100.110 -31.0111.1001.1010.101 -41.1001.0111.1000.100 -51.1011.0101.0110.011 -61.1101.0011.0100.010 -71.1111.0001.0010.001 -8--1.0000.000

23 A.S.E.6.23 Addizione in Modulo e segno Somma [1-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1]Somma [1-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1] * è necessario fare un test sul segno prima di eseguire la somma* è necessario fare un test sul segno prima di eseguire la somma

24 A.S.E.6.24 Addizione in Complemento a 1 Somma [1-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1]Somma [1-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1] Osservare che K non è possibile rappresentarlo su n bitOsservare che K non è possibile rappresentarlo su n bit *è necessario un test sul bit di segno, ma la correzione è facile*è necessario un test sul bit di segno, ma la correzione è facile *se il risultato è negativo è già rappresentato in C. 1*se il risultato è negativo è già rappresentato in C. 1 **è necessario aggiungere 1 per ottenere il risultato in C. 1**è necessario aggiungere 1 per ottenere il risultato in C. 1

25 A.S.E.6.25 Esempi Parola di 4 bitParola di 4 bit 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) (- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11)(- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11) 0011 0100 0111 01011100 10001 1 0010 01100101 1011 10100011 1101 10111100 10111 1 100010011010 10011

26 A.S.E.6.26 Addizione in Complemento a 2 Somma [-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1]Somma [-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1] Osservare che K non è possibile rappresentarlo su n bitOsservare che K non è possibile rappresentarlo su n bit *Per X < |Y| il risultato è rappresentato in C. 2 *Per X < |Y| il risultato è rappresentato in C. 2 **Per Y < |X| il risultato è rappresentato in C. 2**Per Y < |X| il risultato è rappresentato in C. 2 ***Il risultato è rappresentato in C. 2***Il risultato è rappresentato in C. 2

27 A.S.E.6.27 Esempi Parola di 4 bitParola di 4 bit 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) (- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11)(- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11) 0011 0100 011101011101 10010 01100101 1011 10110011 1110 11001101 1100110101011 10101

28 A.S.E.6.28 Osservazioni Se la word si estende K bit si haSe la word si estende K bit si ha per numeri positivi si aggiungono in testa K zeriper numeri positivi si aggiungono in testa K zeri per numeri negativi si aggiungono in testa K unoper numeri negativi si aggiungono in testa K uno EsempioEsempio Word di 4 bit Word di 6 bit 30.0110.00011 40.1000.00100 70.1110.00111 -31.1011.11101 -41.1001.11100 -71.0011.11001

29 A.S.E.6.29 OverfloW Parola di 4 bitParola di 4 bit 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) (- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11)(- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11) 0000 0011 0100 011111010101 1101 10010 01000110 0101 1011 00111011 0011 1110 11001100 1101 1100110101010 1011 10101

30 A.S.E.6.30 BCD (Binary-Coded Decimal numbers) Necessità di rappresentare i numeri decimali in codice binarioNecessità di rappresentare i numeri decimali in codice binario 8421 BCD8421 BCD si codifica in binario ciascuna cifra decimale utilizzando i primi 10 numeri binari su 4 bitsi codifica in binario ciascuna cifra decimale utilizzando i primi 10 numeri binari su 4 bit EsempioEsempio 453 10453 10 010001010011010001010011 è possibile eseguire somme e sottrazioni in BCDè possibile eseguire somme e sottrazioni in BCD

31 A.S.E.6.31 BCD – Sette Segmenti Per visualizzare le cifre decimali si usa frequentemente un Display a sette segmentiPer visualizzare le cifre decimali si usa frequentemente un Display a sette segmenti È possibile realizzare un codificatoreÈ possibile realizzare un codificatore BCD SETTE SEGMENTIBCD SETTE SEGMENTI a b c e f d g

32 A.S.E.6.32 Tabella di Corrispondenze La tabella risultaLa tabella risulta 8421abcdefg 000001111110 100010110000 200101101101 300111111001 401000110011 501011011011 601101011111 701111110010 810001111111 910011111011

33 A.S.E.6.33 Conclusioni Complemento a MComplemento a M Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno –Modulo e segno –Complemento alla base –Complemento malla base -1 –Traslazione Addizione su numeri relativiAddizione su numeri relativi