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Versione aggiornata al 23 maggio 2013
TRASFORMATORE Versione aggiornata al 23 maggio 2013
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RICHIAMI PRELIMINARI Proprietà di solenoidalità del vettore induzione magnetica e flusso concatenato con una linea chiusa
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Solenoidalità di S superficie chiusa
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Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ
Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ. Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità: in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale a Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ.
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Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ; congruenza del verso della normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ
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Legge di Faraday Data la f.e.m. (forza elettromotrice), associata al campo elettrico non conservativo e alla linea chiusa orientata γ:
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Legge di Faraday Tale f.e.m. è legata al flusso di concatenato con γ dalla relazione: e = - d /dt in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f.e.m e.
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Legge di Ampére Dati il campo magnetico , una linea chiusa orientata λ e la corrente i concatenata con questa, si ha: assumendo il segno + se il verso della corrente i è congruente con quello di λ ed il segno – nel caso contrario
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Legge di Ampére; congruenza del verso di i rispetto a quello di λ
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Legge di Ampére Nel caso di N spire in serie di un avvolgimento attraversate dalla corrente i e concatenate con λ, la stessa legge assume la forma:
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Legge di Ampére Se conferiamo un carattere algebrico al numero di spire, attribuendo un segno ad N, corrispondente al verso con cui sono avvolte le N spire intorno a λ, possiamo esprimere la legge di Ampere nella forma:
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Legge di Ampére Ovviamente il segno di N non è una caratteristica intrinseca dell’avvolgimento poiché riferito alla congruenza tra il verso delle N spire attraversate dalla corrente i con il verso di λ.
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Legge di Ampére In analogia con la f.e.m e associata al campo elettrico : la quantità Ni associata al campo magnetico : è denotata come forza magneto motrice (f.m.m.).
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Riluttanza di un tubo di flusso del vettore induzione magnetica
Sia S la sezione retta del tubo di flusso sufficientemente piccola rispetto alla sua lunghezza Il flusso di si può esprimere come φ=B·S Sia λ la linea media del tubo di flusso %
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Configurazione schematica di un trasformatore
Se l’avvolgimento primario è alimentato con v(t) e l’avvolgimento secondario è connesso ad un utilizzatore si ha un trasferimento di potenza dal circuito primario a quello secondario, attraverso l’accoppiamento magnetico dei 2 avvolgimenti.
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Simbolo circuitale del doppio bipolo trasformatore
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Simbolo circuitale del trasformatore negli schemi degli impianti
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Andamento del campo di induzione magnetica
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Andamento del campo di induzione magnetica
Distinguiamo tre tubi di flusso le cui linee medie sono p (tubo di flusso principale che si sviluppa prevalentemente nel ferro concatenato con entrambi gli avvolgimenti) e σ1 e σ2 (tubi di flusso disperso con un consistente sviluppo in aria e concatenati con uno solo dei due avvolgimenti)
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Tubo di flusso principale
Tale flusso determina l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti e contribuisce al trasferimento di potenza dal primario al secondario
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F.e.m. indotta dal flusso principale
La f.e.m. indotta in ciascuno degli avvolgimenti dal flusso principale è dato dalla somma delle f.e.m. indotte delle singole spire in serie Al fine di calcolare la f.e.m. indotta nella singola spira, dobbiamo tener conto che il singolo avvolgimento sarà orientato e che pertanto l’orientamento della singola spira visto dall’alto potrà essere antiorario oppure orario
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F.e.m. indotta dal flusso principale
A N1 e N2 è convenzionalmente attribuito un segno algebrico, connesso al verso (concorde o discorde) dei due avvolgimenti rispetto a quello assunto positivo per le linee di flusso di B nel tubo di flusso principale.
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Orientamento dell’avvolgimento
eliminare
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F.e.m. indotta nell’avvolgimento di sinistra (verso congruente con )
è orientata verso l’alto; ϒ è congruente con p. eliminare
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F.e.m. indotta nell’avvolgim. di sinistra (verso non congruente con )
è orientata verso l’alto; ϒ non è congruente con p. eliminare
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F.e.m. nell’avvolgimento di sinistra
L’induzione è orientata verso l’alto; i casi dei due possibili versi dell’avvolgim. si sintetizzano con: eliminare
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F.e.m. nell’avvolgimento di destra
L’induzione è orientata verso il basso; i casi dei due possibili versi dell’avvolgim. si sintetizzano analogamente con: eliminare
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F.e.m. indotte dai flussi dispersi
I flussi dispersi (primario) e (secondario) sono proporzionali ad i1 ed i2. Le f.e.m. indotte da tali flussi sono: lσ1 e lσ2 sono le induttanze di dispersione dei 2 avvolgimenti
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Induttanze di dispersione
Le induttanze di dispersione e sono legate ai flussi dispersi e dalle relazioni: eliminare
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Accoppiamento magnetico perfetto
Se i flussi dispersi e e le induttanze di dispersione e sono nulli, l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti si dice perfetto
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Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo
Leggi di Kirchhoff delle tensioni (LKT) per i due avvolgimenti v1 + ep1 + eσ1= r1 i1 v2 + ep2 + eσ2= r2 i2. Legge di Ampére
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Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo
LKT per i due avvolgimenti Legge di Ampére
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Trasformatore ideale Ipotesi semplificative:
Avvolgimenti perfettamente conduttori→ r1=r2=0 Accoppiamento magnetico perfetto tra i due avvolgimenti →lσ1= lσ2=0 Riluttanza trascurabile del tubo di flusso principale →R=0
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Trasformatore ideale Equazioni nel dominio del tempo
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Trasformatore ideale in regime sinusoidale
Equazioni nel dominio dei fasori:
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Trasformatore ideale in regime sinusoidale
Posto: (rapporto di trasformazione) le equazioni del trasformatore ideale si riducono a:
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Doppio bipolo Trasformatore ideale: rappresentazione grafica
Equazioni
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Doppio bipolo Trasformatore ideale
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Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze
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Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze
potenza assorbita dal primario (avvolgim. 1) potenza erogata dal secondario (avvolgim. 2) e trasferita all’utilizzatore. Pot. attiva assorbita = Pot. attiva erogata Rendimento unitario
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Applicazioni del trasformatore
Abbassatore di tensione Elevatore di tensione Piccolissime potenze di pochi W Grandi trasformatori di diverse centinaia di MVA (reti di produzione, trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica)
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Struttura della rete elettrica nazionale (produzione, trasmissione e distribuzione)
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Traliccio ad alta tensione
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Isolatori
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Doppio bipolo Trasformatore ideale
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Trasformatore ideale: proprietà di trasformazione delle impedenze
Essendo
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Diversi modelli del trasformatore reale di crescente complessità
Modello 1: , , ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante; Modello 2: , , ferro reale con perdite; Modello 3: avvolgimenti reali ( ), loro accoppiamento magnetico non perfetto ( ), ferro reale con perdite, rete equivalente a T.
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Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo
LKT per i due avvolgimenti Legge di Ampére
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Modello 1 del trasformatore reale
Avvolgimenti ideali ( ) Accoppiamento perfetto ( ) Ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante.
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Modello 1 Equazioni di base:
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Riluttanza nel modello 1 (finita e costante)
La riluttanza è somma del contributo del ferro e dei traferri Il ferro ha permeablità cost.→caratterist. B-H lineare→area nulla del ciclo d’isteresi →perdite per isteresi nulle; analogamente nulle le perdite per correnti di Foucault
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Funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto
Il sistema può essere considerato come un bipolo, la cui caratteristica è:
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Modello 1: funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto
Equazioni
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Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale
La legge di Ampére nel trasformatore ideale fornisce: A vuoto → anche → Il trasformatore ideale a vuoto costituisce un aperto ideale.
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Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale
Il valore del flusso è imposto dalla tensione applicata: Il valore finito del flusso, pur in assenza di correnti e finite è spiegabile con il fatto che si è supposta nulla la riluttanza R
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Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico
Il flusso non varia rispetto al funzionamento a vuoto essendo sempre imposto dalla tensione : Il flusso è pertanto costante al variare del carico del trasformatore
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Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico
Legge di Ampére
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Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico
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Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico
Se si divide I e II membro della legge di Ampere per si ottiene un’altra rete equiv. La corrente rappresenta la corrente vista dal lato 2
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Modello 2 del trasformatore reale
Avvolgimenti ideali ( ) Accoppiamento perfetto ( ) Ferro reale con perdite
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Comportamento reale del ferro
B è sinusoidale, le correnti no. Infatti:
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Comportamento reale del ferro
L’area del ciclo rappresenta l’energia di magnetizzazione per unità di volume dissipata in calore. Una relazione empirica fornisce la potenza dissipata: K cost del materiale proporzionale alla frequenza ed al volume.
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Comportamento reale del ferro
Perdite per correnti parassite nel ferro (o correnti di Foucault) in una lastra piana indefinita di spessore Δ: C cost. opportuna, resistività del ferro Il fenomeno non è portato in conto dalle eq. di base precedenti.
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Comportamento reale del ferro
La potenza complessiva dissipata nel ferro è fornita dalla somma delle perdite per isteresi e di quelle per correnti parassite: e conseguentemente:
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Confronto del model. 2 con il model. 1 nel funzionam. a vuoto
La potenza assorbita dal trasformatore è nulla. Tale modello non è quindi in grado di rappresentare i fenomeni dissipativi nel ferro. La potenza trasformata in calore nel ferro deve essere fornita dalla rete di alimentazione
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Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto
Si possono trattare in maniera separata i problema della non linearità e della dissipazione di potenza nel ferro, riducendo il ciclo alla sua linea media e considerando a parte le perdite nel ferro.
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Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto
Si può linearizzare la linea media del ciclo, considerando cost. la riluttanza. Le perdite nel ferro possono essere rappresentate da una resist. in parall. a tale che:
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Modello 2 (ferro reale): rete equival. nel funzionam. a vuoto
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Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto
La corrente a vuoto risulta pari alla somma:
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Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
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Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
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Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
Nel trasformatore ideale Nel trasformatore reale Il rapporto tra le correnti è diverso da 1/a. Lo scostamento è prodotto da I10
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Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
Il trasformat. non è più trasparente né alla pot. attiva, né a quella reattiva. La pot. attiva assorbita dal primario è la somma di quella trasferita al second. e delle predite nel ferro. Il rendimento è diverso da 1.
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Riduzione della potenza reattiva Q e delle perdite nel ferro Pfe
Per ridurre Q occorre ridurre la riluttanza R, riducendo i traferri e aumentando la permeabilità. Per ridurre Pfe si usano lamierini isolati laminati a freddo di ferro silicio. Tali lamierini sono anisotropi.
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Nucleo magnetico
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Modello 3 del trasformatore reale
Avvolgimenti reali Accoppiamento non perfetto Ferro reale con perdite
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Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)
Eq. di base nel dominio del tempo:
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Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)
Eq. di base nel dominio dei fasori
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Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)
LKT
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Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico
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Modello 3: rete equivalente (ferro senza perdite)
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Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite)
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Modello 2: rete equivalente
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Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite)
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Modello 3: rete equivalente a T
Nel trasformatore ideale
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Modello 3: rete equivalente a T
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Modello 3: rete equivalente a T
dove
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Modello 3: rete equivalente a T
Impedenze
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Modello 3: deduzione rete equivalente a L
LKT LKC
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Modello 3: deduzione rete equivalente a L
LKT dove
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Modello 3: deduzione rete equivalente a L
Trascurando →
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Bilancio delle potenze
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Bilancio delle potenze
Potenza assorbita Potenza utile
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Invarianza delle potenze rispetto al lato del trasformatore
Pot. Utile essendo
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Funzionamenti a rendimento nullo
Rendimento= = 0 se . se (funzionamento a vuoto) o se (funzionamento in corto circuito)
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Prova a vuoto Schema di misura
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Prova a vuoto; determinazione parametri verticali circuito ad L
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Prova in corto circuito
Schema di misura
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Prova in corto circuito
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Prova in corto circuito
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Rendimento del trasformatore, determinazione diretta
Inconvenienti Notevole influenza degli errori di misura dei wattmetri Difficile determinare la variabilità del rendimento con il carico
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Rendimento convenzionale e sua determinazione indiretta
Diversa formulazione del rendimento: La sua traduzione operativa comporta la determinazione di Put, Pfe e Pcu. P utile ipotizzata e non misurata Pfe e Pcu misurate nelle prove a vuoto ed in corto circuito
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Andamento del rendimento in funzione del carico
Rendimento convenz. Se V2 è supposta costante, trascurando le cadute di tensione, si ottiene il diagr. dove per I2= I2p le perdite nel ferro e nel rame sono eguali
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Rendimento in energia Ci si riferisce alle energie invece che alle potenze: essendo l’energia data da Ci riferisce ad un prefissato intervallo : si ha così il rendim. giornaliero, mensile, etc.
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Rendimento in energia Se in il carico è costante ( e costanti):
e i rendimenti in potenza ed energia sono eguali.
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Rendimento giornaliero
Se si esprime l’energia in Wh si ha:
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Andamento del rendim. in energia in funzione del carico
L’andamento è analogo a quello del rendim. in potenza. Si ha il massimo quando l’en. persa nel ferro è eguale all’en. persa nel rame → per dato da:
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Caduta di tensione Si definisce caduta di tensione la quantità:
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Caduta di tensione: funzionamento a vuoto
, trascurando la caduta di tensione dovuta a →
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Calcolo della caduta di tensione
dove (conv.gener.) Dividendo per a →
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Calcolo approssimato della caduta di tensione
FG perpendicolare a BG ΔV=BK, trascurando CK, ΔV=BC=BH+HC
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Strutture Trasformatore monofase
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Trasformatore monofase; nucleo magnetico a mantello
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Trasformatore monofase; nucleo magnetico a mantello
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Trasformatore trifase, banco tri-monofase
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Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella
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Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare
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Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare
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Trasformatore trifase
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Trasformatore trifase, connessione magnetica a triangolo
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Trasformatore trifase a cinque colonne
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