(II) Integrazione delle funzioni razionali fratte

Presentazione sul tema: "(II) Integrazione delle funzioni razionali fratte"— Transcript della presentazione:

1 (II) Integrazione delle funzioni razionali fratte
10. Integrali indefiniti (II) Integrazione delle funzioni razionali fratte

2 10.13 Integrali funzioni fratte
Data una funzione fratta, se il numeratore N(x) ha grado n maggiore del grado m del denominatore D(x), si può eseguire la divisione, ottenendo un quoziente Q(x) e un resto R(x) di grado inferiore a n. dove il primo è l’integrale di un polinomio (esempio pag. 489) In ogni caso, ci si riduce al calcolo di un integrale di una funzione fratta il cui numeratore sia un polinomio di grado inferiore al denominatore Considereremo solo il caso in cui D(x) è un polinomio di secondo grado e R(x) puo’ essere o di primo grado o di grado nullo Tre possibili casi: Δ = b2 – 4ac > 0, Δ = 0, Δ < 0

3 1° caso: Δ > 0 Si scompone il denominatore: dette x1 e x2 le sue radici ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) Si scompone la funzione integranda nella somma di due frazioni elementari e si determinano le costanti A e B applicando il principio di identità dei polinomi Si calcola l’integrale: le primitive sono dei logaritmi Esempi 1, 2 pagg

4 2° caso: Δ = 0 Si scompone il denominatore: una sola radice x1
ax2 + bx + c = a (x – x1)2 Per l’integrale (3) Per l’integrale (2) si scompone la funzione integranda in una somma e si procede come nel caso Δ > 0 Esempi 1, 2 pag. 491

5 3° caso: Δ < 0 Non esistono radici reali: il trinomio a denominatore si può esprimere come somma di due quadrati ax2 + bx + c = a [(x + k)2 + m2] Per l’integrale (3) Per l’integrale (2) si scompone la funzione integranda nella somma di due frazioni Esempi 1, 2, 3 pag