MISURA. 14.30 Dalle frazioni ai numeri decimali Presentazione di una situazione 16.00 Pausa 16.15 Ripresa Misure riflessioni sparse (2a parte) 18.00 I.

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1 MISURA

2 14.30 Dalle frazioni ai numeri decimali Presentazione di una situazione 16.00 Pausa 16.15 Ripresa Misure riflessioni sparse (2a parte) 18.00 I Mangianumeri 18.30 Fine lavori 14.30 Dalle frazioni ai numeri decimali Presentazione di una situazione 16.00 Pausa 16.15 Ripresa Misure riflessioni sparse (2a parte) 18.00 I Mangianumeri 18.30 Fine lavori

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4 Alcune considerazioni Il caso di LUCIA … Durante una situazione di valutazione sui numeri decimali, LUCIA ha dato le seguenti risposte: 2,4 + 3,7 = 5,11 0,2 x 0,2 = 0,4 3,54 < 4,5 < 4,17 (bisognava mettere nel giusto ordine tre numeri…) Scrivere un numero che sta fra 4,235 e 4,236. Risposta: … è impossibile, si seguono! Qual è la concezione dellallievo che fa OSTACOLO? (… Separazione fra i numeri interi e parti decimali, come se fossero numeri estranei gli uni agli altri…; inoltre, entrambe le parti trattate come interi…, v. 4,235/4,236

5 FRAZIONE e DECIMALE DECONTESTUALIZZAZIONE RICONTESTUALIZZAZIONE VARIABILIVINCOLI Si tratta del sintetico racconto di unesperienza concreta che può avere un valore formativo soltanto se viene letto (ed eventualmente riproposto nella propria classe)sulla base di un processo di DECONTESTUALIZZAZIONE e RICONTESTUALIZZAZIONE nel quale lattenzione sia soprattutto rivolta alle VARIABILI e ai VINCOLI in gioco.

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7 29/04/2014 Corso DIMAT 7 PREMESSA SITUAZIONI-PROBLEMA, Desideriamo che gli allievi, attraverso delle SITUAZIONI-PROBLEMA, possano costruire la frazione e il decimale come risposta alla situazione stessa (apprendimento invece di insegnamento). Introduciamo il decimale a partire dalle misure. Si tratta quindi del decimale- misura e non del decimale-operatore (nellesempio utilizziamo le misure di lunghezza. È però possibile lavorare anche nel campo delle misure di capacità o di peso). Osservazione: prima di ogni lezione/ricerca di questo tipo, è importante che il docente si interroghi sulle conoscenze preesistenti allinterno della sua classe ponendosi una domanda del tipo: Su quali conoscenze potranno appoggiarsi i miei allievi per affrontare la situazione e per costruire eventuali nuovi concetti e nuove procedure? Nel caso dei nostri allievi (coloro che seguono DIMAT), osservando le attività proposte in 3a, possiamo dire che hanno affrontato-risolto dei problemi di partizione in parti uguali o equivalenti (aspetto centrale nella costruzione dei concetti di frazione e di numero decimale). In 4a è possibile che gli allievi a pieno già affrontato i livelli F e M dellargomento 3 (frazioni) per cui le scritture frazionare (1/2, 1/4, 2/8, …) dovrebbero già essere state incontrate-usate (si tratta di un linguaggio e di scritture molto presenti anche al di fuori del contesto scolastico).

8 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura CONSEGNA Il listello che tutti avete ricevuto, ci servirà oggi come unità di misura. Per comodità gli daremo un nome: ci sono proposte? …. breve discussione ….. Bene, allora questa unità di misura si chiamerà per tutti noi DONG. Ora attenti bene: immaginiamo di vivere in un paese dove non si conosce nessunaltra unità di misura convenzionale al di fuori del DONG, quindi né i centimetri, né i metri, né i millimetri,… e tutto deve venir pertanto misurato in DONG. Ciò che vi chiedo è di iniziare, e lo potete fare a coppie, a misurare delle lunghezze allinterno dellaula. Misurate ciò che volete: quaderno, libri, banco, finestra, porta,…. cercando di essere il più precisi possibile,… ma, attenti(!) sempre e unicamente in DONG. DONG Il foglio è diviso in tre colonne: 1. oggetto, cosa misuro 2. MISURA 3. Controllo Abbiamo scelto una lunghezza dei DONG di 16 cm. Sul foglio che avete ricevuto scrivete (1) cosa avete misurato (ad esempio larghezza del banco) e poi (2) la misura precisa. Dovete scrivere bene poiché fra un quarto dora circa dovrete passare il foglio a dei compagni per un primo controllo (3). Anche se lavorate a coppie, ognuno scrive sul suo foglio (il controllo sarà poi individuale).

9 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Situazione 1 – fase A Obiettivo: Lo scopo di questo primo momento è di rendersi conto che il numero naturale non è più sufficiente per risolvere determinate situazioni. In sintesi, si tratta di una lezione-situazione attraverso la quale linsegnante provoca lostacolo, rende cioè possibile, per lallievo, lincontro con la necessità (motivata dalla situazione stessa) di costruire qualcosa di nuovo. Situazioni di questo genere danno senso e appartengono al nuovo sapere, alla nuova conoscenza-competenza (concetto, procedura,...) in atto, in fase cioè di costruzione. Per il docente si tratta anche di sperimentare, intenzionalmente, una situazione nella quale sappiamo in precedenza che difficilmente gli allievi potranno riuscire. Ci si potrebbe chiedere: ma perché farlo se la classe può riuscire solo parzialmente?

10 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Esempi di misure scritte dagli allievi Un legnetto e tre quarti.6 quarti dun legnettoUn legnetto 4/4 e 1/8. Un legnetto e tre quartiDue legnetti, una larghezza e lo spessore del legnetto Un legnetto e 3/4 e mezzo Tre quarti di legnetto e un ventesimo di quarto. Quattro quarti e un diciassettesimoDue legnetti e un quarto Un legnetto e 1/21 (cancella) Un legnetto e 1/6. Un legnetto, un legnetto lo devi dividere in 5 parti, ti resterà un pezzettino, quel pezzettino non lo devi calcolare. Due legnetti e 1/11. Non capisco (insegnante) Prendi un legnetto e dividilo in 11 parti, taglia via una parte e ti verrà la soluzione. Una striscia lunga 3/4 e mezzo e 1/4Due legnetti e tanto così. (Allegano alla scheda una striscia in carta) Due legnetti e un diciassettesimo di legnetto. Tracce delle misure emerse durante la situazione 1A. Osservazioni a posteriori: - …..

11 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Situazione 1 – fase B (soltanto in caso di necessità) Obiettivo: questa faseB (la situazione rimane la stessa) viene proposta alla classe se le risposte iniziali sono state povere e parecchio imprecise. Per raggiungere una sufficiente precisione è infatti necessario suddividere il DONG in parti equivalenti, generalmente in mezzi, quarto ottavi, 16esimi, …32esimi, … 64esimi. Se necessario, si può provocare questa partizione attraverso delle piegature ripetute di una striscia di carta della lunghezza di un DONG (a metà, metà della metà,…). Questa faseB può anche essere proposta semplicemente come consolidamento quando un numero esiguo di allievi soltanto ha raggiunto lespressione di misure corrette e precise. In questo caso le procedure adottate vengono prima discusse e mostrate cosicché possano venir spontaneamente abbandonate quelle meno efficaci (del tipo: 2 dong e un po ; 1 dong, mezzo dong e un pochino;…)

12 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Discussione (prima dellinizio della lezione) Quali difficoltà avete incontrato ieri ?......... discussione……. (verosimilmente uscirà il problema legato alla difficoltà di misurare in modo preciso la parte restante). Alcuni di voi hanno suddiviso il DONG in parti,… vediamo un po….. Bene, ma come si potrebbe suddividerlo in parti più precise? (sempre restando nel gioco, ossia senza poter ricorrere allaiuto delle misure convenzionali, in particolare dei cm e mm). Vediamo se qualcuno di voi ha qualche idea: ……. (Nel caso in cui la discussione fosse povera linsegnante potrebbe sollecitare la riflessione). Provate a ritagliare una striscia qualunque di carta lunga come il DONG. Come potreste fare per suddividerla in parti uguali, per esempio a metà ?,…. (a questo punto ben difficilmente non usciranno delle partizioni piccole e precise). In questo caso, limpossibilità ad usare centimetri e millimetri è un esempio di vincolo didattico.

13 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura CONSEGNA Bene, adesso che tutti hanno uno strumento di misura più preciso, riproviamo a misurare degli oggetti, delle lunghezze, come avete fatto ieri. Annotate sempre sul foglio la vostra misura, e loggetto, in modo che il compagno che controllerà lo possa trovare senza difficoltà. Il foglio è diviso in tre colonne: 1. oggetto, cosa misuro 2. MISURA 3. Controllo DONG Striscia di carta

14 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Esempi di misure scritte dagli allievi Tracce delle misure emerse durante la situazione 1B. Osservazioni a posteriori: - …..

15 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Situazione 2 Obiettivo: Sin qui gli allievi hanno incontrato il problema e lhanno risolto suddividendo lunità (la quantità 1) in parti equivalenti e creando delle misure espresse tutte secondo la stessa unità, cioè in DONG. Per fare ciò hanno utilizzato delle frazioni (in particolare, immaginiamo, quelle multiple di 2). Ora, e questo è lobiettivo chiave di questa seconda situazione, si tratta di favorire lemergere di frazioni espresse in decimi e centesimi. Naturalmente questo secondo (terzo) momento, deve essere preceduto e seguito da una discussione collettiva, centrata sui momenti di comunicazione, argomentazione e, quando necessario, di validazione.

16 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Discussione (prima dellinizio della lezione) Quali difficoltà avete incontrato ieri?.. è andata meglio?.. siete riusciti ad essere precisi?... …. Oggi, la situazione sarà un po diversa, cambieremo paese, non userete più il DONG, bensì questo nuovo listello, questo (lungo 10 cm), che chiameremo …. Qualcuno ha unidea? … bene, …che chiameremo allora TANG.

17 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura CONSEGNA Ancora una volta avete il vostro foglio e il vostro strumento di misura, il TANG. Visto che noi lavoriamo usando un sistema che funziona di 10 in 10, ecc... (vedi decine, centinai, migliaia,…), per comodità, e anche per fare unesperienza, il vostro Tang cercherete di dividerlo in 10 e in 100 parti uguali. Per fare queste suddivisioni in modo preciso potete usare per un momento la vostra riga o la squadra. 1 Il foglio è diviso in tre colonne: 1. oggetto, cosa misuro 2. MISURA 3. Controllo [1][1] A questo punto gli allievi scoprono che il loro TANG misura esattamente 10 centimetri, cioè 1Tang= 1 dm. Questa vicinanza serve loro (vedremo perché), anche se al momento è imposto un vincolo che consiste nel dover esprimere tutte le misure unicamente in Tang. Infatti, per gli allievi, sarebbe sicuramente più facile esprimere le misure in centimetri e millimetri. Ma qui siamo proprio a un punto chiave nella costruzione del concetto di numero decimale dove, ad esempio rispetto al numero 24,56, una sola è (e deve essere!) lunità di riferimento (vedi osservazioni circa il valore posizionale delle cifre). Sarebbe anche possibile consegnare ad ogni allievo un TANG già suddiviso, usando dei materiali già esistenti (decimetri suddivisi in dieci e cento parti), però riteniamo che costruirlo (un lavoretto comunque di soli 5 min) sia unesperienza utile (dipende naturalmente anche dalle precedenti attività svolte durante lintroduzione delle misure convenzionali).

18 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Esempi di misure scritte dagli allievi Tracce delle misure emerse durante la situazione 2. Osservazioni a posteriori: - …..

19 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Situazione 3 Obiettivo: Esercitare e consolidare quanto sin qui appreso in vari ambiti: lunghezze, pesi, capacità, valore. Discussione (prima dellinizio della lezione) Tramite le esperienze con i Dong e con i Tang avete appreso a misurare in modo preciso le parti restanti, quelle più piccole di un Dong o di un Tang. Vediamo di riassumere come avete fatto e soprattutto cosa avete usato per queste misurazioni. (… si discute)……….. (verosimilmente sulluso delle frazioni)….. Fase di istituzionalizzazione Bene, avete quindi scritto delle misure composte da una parte intera e da una parte frazionaria. E la parte frazionaria si riferiva sempre alla stessa ed unica unità di misura. Oggi cercheremo di consolidare quanto appreso e di correggere eventuali errori, aiutandoci a coppie. Le coppie la faremo per sorteggio, con le carte da gioco.

20 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura CONSEGNA Ciò che dovete fare è tutto scritto sui tre fogli che ora vi consegno. Desidero vedervi lavorare con il dovuto rispetto, soprattutto aspettando il momento opportuno per lavorare con la bilancia, i liquidi e i barattoli dei soldi. Oggi però le regole cambiano, potete usare gli strumenti di misura che credete più opportuni. Si tratta di collaborare, discutere, confrontare le idee, aiutarsi, analizzare i risultati, correggere eventuali errori. Questo terzo momento può essere organizzato nei modi più diversi (molte sono le variabili su cui poter agire). Nel nostro caso si è scelto di lavorare a tutto campo, dalle lunghezze, ai pesi, alle capacità, ai soldi. Però si potrebbe suddividere questo momento in modo del tutto diverso, a dipendenza della classe, limitando ad esempio una prima esercitazione solo alle misure di lunghezza e di valore. Poi aggiungere un secondo momento per le misure di peso e di capacità. Si potrebbe anche immaginare, a dipendenza dei risultati e del tempo a disposizione, di affrontare ogni campo di misurazione separatamente. Il fatto comunque di considerare tutti questi diversi campi è essenziale in quanto implicitamente si comunica che quanto si sta imparando ha un valore generale. (Rimane lostacolo delle misure di tempo che verrà affrontato in un tempo successivo, dopo aver consolidato il numero decimale in queste prime misurazioni.)

21 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura

22 Situazione 4 - lezione classica Obiettivo: Insegnamento, istituzionalizzazione ed esercitazione della scrittura decimale. Discussione (prima dellinizio della lezione) … siamo allora daccordo: le parti più piccole dellunità si possono misurare o costruire in modo esatto grazie ai frazionamenti che voi avete fatto delle unità. (Puntualizzazione) In tutte le esperienze sin qui vissute abbiamo usato tante diverse frazioni che possiamo dividere in due gruppi, quelle non decimali e quelle decimali. Provate un po a ricordare, … potete anche consultare il vostro materiale…. Da questo lato della lavagna scriveremo le frazioni NON decimali e da questaltra parte quelle decimali. Questo è un momento in cui linsegnante deve insegnare. La scrittura decimale, come tutte le convenzioni, non può essere appresa per raziocinio (ciò che invece è avvenuto nelle situazioni precedenti) e pertanto richiama alla necessità di un processo di trasmissione culturale: lallievo adatta alla nuova scrittura insegnata le strutture da lui costruite e quanto con ragionamento ha precedentemente appreso. Non cè infatti un ragionamento che giustifica la scrittura convenzionale, caso mai una spiegazione (infatti si sarebbe potuto scrivere in tanti altri modi!). Frazioni NON-decimaliFrazioni decimali ½ 3/8 5/6 7/16 ¼ 3/10 5/100 7/100 38/100

23 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Fase di istituzionalizzazione Bene, avete quindi scritto delle misure composte da una parte intera e da una parte frazionaria. Ricordiamo anche, ed è molto importante, che la parte frazionaria in questi casi si riferisce sempre ad una ed una sola(!) unità. Quanto avete fatto è perfettamente corretto però a volte un po complesso da scrivere. Dovete sapere che esiste un modo molto semplice per scrivere esattamente le stesse cose, grazie ad una invenzione fatta circa cinque secoli fa:invenzione fatta circa cinque secoli fa: - Invece di scrivere 8 e 3/10 si può infatti scrivere semplicemente 8,3 - Invece di scrivere 6 e 2/10 e 5/100 si può scrivere semplicemente 5,25 Naturalmente sapendo esattamente che quel 2 vale 2/10 e che quel 5 vale 5/100. Finora conoscevate unità, decine, centinaia, migliaia, unità di migliaia,…ecc, Ora abbiamo allargato il nostro concetto di numero non più verso il grande, ma verso il piccolo: avete conosciuto i decimi e i centesimi e, più in là, incontrerete anche i millesimi.

24 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura Vediamo quindi di fare adesso una sintesi sul valore posizionale delle cifre. Prendiamo ad esempio il numero 3546,72 e vediamo quanto vale ognuna delle cifre. Provate prima su di un foglio, per conto vostro, poi guarderemo subito assieme.

25 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura

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27 Situazione 5 Obiettivo: Ricapitolazione ed esercitazione. Poi è una situazione-problema che affronta il tema dellequivalenza tra, ad esempio, 4 e 2/10 e 5/100 e 4 e 25/100 Discussione-ricapitolazione Vediamo di rievocare mentalmente il percorso delle lezioni che ci hanno portato alla comprensione e alla scrittura dei numeri decimali. ………

28 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura euro,

29 Introduzione al NUMERO DECIMALE - misura

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33 2a parte

34 M ANGIANUMERI