I limiti.

Presentazione sul tema: "I limiti."— Transcript della presentazione:

1 I limiti

2 TOPOLOGIA DELA RETTA Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta(intervallo illimitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale. Un intervallo può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi appartengano o meno all’intervallo.

3 TOPOLOGIA DELA RETTA INTERVALLI ILLIMITATI

4 GLI INTORNI DI UN PUNTO

5 GLI INTORNI DI UN PUNTO

6 GLI INTORNI DI UN PUNTO

7 GLI INTORNI DI UN PUNTO

8 INTORNO DESTRO E SINISTRO

9 INTORNO DI INFINITO

10 INSIEMI LIMITATI

11 INSIEMI ILLIMITATI

12 ESTREMI DI UN INSIEME

13 ESTREMI DI UN INSIEME

14 PUNTI ISOLATI

15 PUNTI DI ACCUMULAZIONE

16 QUALCHE DOMANDA Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a f(x0) o a un altro valore reale l ? Cosa significa che f(x) tende al numero reale l e che ha per limite quando x tende a x0? Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a un valore l che è proprio f(x0). x0 non appartiene al campo di esistenza. Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a un valore l che non è f(x0). Quando x si avvicina a 0 la funzione oscilla indefinitamente. f(x) non si avvicina ad alcun valore determinato.

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18 Facciamo un esempio

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22 E QUINDI???

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24 LE FUNZIONI CONTINUE

25 Le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate
Diciamo poi che f è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni punto di D.

26 Le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate

27 Le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate

28 Le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate

29 LIMITE PER ECCESSO

30 LIMITE PER ECCESSO

31 LIMITE PER DIFETTO

32 Limite destro

33 Limite sinistro

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41 Limiti destro e sinistro infiniti

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43 Gli asintoti verticali

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50 Asintoto orizzontale

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58 Definizione topologica di limite

59 Teorema di unicità del limite

60 Teorema della permanenza del segno
Il teorema afferma che in un intorno di x0 la funzione f(x) ha lo stesso segno di l .

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62 Teorema inverso

63 Teorema del confronto (o dei due carabinieri)

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66 Casi particolari

67 Il limite della somma algebrica di due funzioni: entrambi i limiti sono finiti

68 le funzioni non hanno entrambe limite finito
Questa è una forma di indecisione o forma indeterminata

69 Il limite del prodotto di due funzioni: le due funzioni hanno limite finito

70 Le due funzioni non hanno entrambe limite finito
Questa è una forma di indecisione o forma indeterminata

71 Il limite della potenza

72 La funzione ha limite più infinito

73 L’esponente ha una funzione

74 Il limite della radice n-esima di una funzione

75 Il limite della funzione reciproca

76 Il limite del quoziente di due funzioni: le funzioni hanno limite finito di cui uno diverso da zero

77 Le funzioni non hanno entrambe limite finito

78 Il limite delle funzioni composte

79 Continuità della funzione inversa

80 Le forme indeterminate
Non esistono regole generali per il calcolo delle forme indeterminate, che vanno quindi risolte caso per caso.

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82 Il limite di una funzione polinomiale

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85 Tre possibili casi 1) Il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore 2) il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore 3) numeratore e denominatore hanno lo stesso grado

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88 I limiti notevoli:

89 I limiti notevoli che derivano dal precedente

90 Un altro limite notevole e due limiti che derivano da lui

91 Gli infinitesimi e il loro confront0

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96 Gli infiniti

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103 Le successioni

104 La rappresentazione di una successione
1) per enumerazione 2) mediante espressione analitica 3) mediante formula ricorsiva

105 Esempio

106 Alcuni tipi di successioni

107 Le successioni limitate e illimitate

108 Il limite di una successione
La serie diverge posivitamente

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112 Il limite non esiste: successione indeterminata

113 Teoremi sui limiti delle successioni
I teoremi usati per i limiti sono validi come casi particolari anche per le successioni. In particolare il TEOREMA DEL CONFRONTO

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116 OPERAZIONI CON LE SUCCESSIONI

117 TEOREMI SULLE OPERAZIONI CON I LIMITI

118 I LIMITI DELLE PROGRESSIONI: LA PROGRESSIONE ARITMETICA

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121 LE PROGRESSIONI GEOMETRICHE

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