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Reti sociali. Cosa sono Una rete sociale e un grafo G = (V, E) dove –I nodi rappresentano entita, spesso persone o gruppi di persone –Gli archi (pesati.

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Presentazione sul tema: "Reti sociali. Cosa sono Una rete sociale e un grafo G = (V, E) dove –I nodi rappresentano entita, spesso persone o gruppi di persone –Gli archi (pesati."— Transcript della presentazione:

1 Reti sociali

2 Cosa sono Una rete sociale e un grafo G = (V, E) dove –I nodi rappresentano entita, spesso persone o gruppi di persone –Gli archi (pesati o meno) rappresentano relazioni tra i nodi della rete sociale Esempio: grafo delle conoscenze –Vertici: persone –Esiste arco tra a e b se a e b si conoscono Altri esempi nelle slide seguenti …

3 Reti sociali Esempio - commercio mondiale

4 Reti sociali Esempio - Internet

5 Reti sociali Esempio - catena alimentare

6 Reti sociali Cosa hanno in comune? Grandi e complesse Regolarita, ma soltanto a livello macroscopico –Componente gigante connessa –Piccolo mondo: distanza media tra i nodi bassa –Grafi sparsi: |E| = o(|V| 2 ) –Aggregazione (v. piu avanti) –Invarianza di scala Distribuzione del grado secondo legge di potenza

7 Reti sociali Perche studiarle Comprendere le loro proprieta Aspetti ingegneristici e algoritmici –Estrazione di informazioni Es.: motori di ricerca –Progetto di algoritmi efficienti Es.: Web Caching –Tolleranza ai guasti o agli attacchi –…

8 Reti sociali Componente connessa Nelle reti considerate, la maggior parte dei nodi appartiene a ununica componente connessa –Es.: Web Matematicamente, una frazione costante dei nodi appartiene a ununica componente connessa

9 Reti sociali Proprieta di piccolo mondo

10 Reti sociali Piccolo mondo studio di Milgram: lunghezza media dei cammini in una rete di conoscenze –Esperimento: consegna di lettere a persone negli Stati Uniti a mano, sfruttando soltanto la rete delle conoscenze –Distanza media d = 6 Numero di Erdös = distanza dal matematico Paul Erdös nella rete delle collaborazioni –70975 matematici, archi –d < 8 per la maggior parte dei vertci a distanza finita Molti altri esempi …

11 Reti sociali Esperimento di Milgram Spedire 160 lettere a una persona residente a Boston Consegna a mano Non si conosce indirizzo del destinatario ma si hanno soltanto informazioni generiche (ad esempio la professione) Domanda: dopo quanti passaggi una lettera giunge a destinazione?

12 Reti sociali Esperimento di Milgram/2 Circa un terzo delle lettere giunse a destinazione –Si osservi che non si tratta di una bassa percentuale La maggior parte delle lettere arrivate non aveva subito piu di 6 passaggi

13 Reti sociali Reti piccolo mondo [WS98] Grandi dimensioni (n >> 1) Sparse (grado medio k << n) Non esiste un nodo centrale (k max << n) Coefficiente di aggregazione elevato Distanza media tra i nodi bassa, tipicamente O(log n)

14 Reti sociali Esempi di reti piccolo mondo Internet –La rete dei router –La rete degli Autonomous Systems Il Web La rete delle conoscenze Tutti gli esempi visti allinizio Queste reti hanno altre proprieta oltre a quelle di piccolo mondo

15 Reti sociali Clustering I miei conoscenti probabilmente si conoscono … … ma alcuni hanno contatti con gruppi lontani Picture by T. Deckert - TU Dreseden [Granovetter 73]: la forza dei legami deboli

16 Reti sociali Clustering/2 Si supponga che il nodo v abbia d v vicini. Il massimo numero di archi tra di essi si ha quando essi formano una clique --> d v (d v - 1)/2 archi. Si supponga che invece sia n v il numero di archi tra i vicini di v Il coefficiente di clustering (aggregazione) di v e C v = 2n v /d v (d v - 1) C = (1/n) v C v

17 Reti sociali Clustering/3 C 1 = C 2 = C 4 = C 5 = 1 C 3 = 1/6 C = (1/5) i C i = 5/6 I nodi con un solo arco incidente hanno fattore di clustering 1 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v5v5

18 Reti sociali Distanza media tra i nodi Assumiamo per il momento reti connesse La distanza media tra i vertici e O(log n), spesso sub-logaritmica Il coefficiente di clustering e alto ( (1)) Come spiegare tali proprieta?

19 Reti sociali Grafi casuali Modello classico proposto da Erdös e Renyi Modello probabilistico –Si hanno n nodi –Per ogni coppia u e v di nodi, larco (u, v) esiste con probabilita p indipendente da tutti gli altri Proprieta –Per p sufficientemente grande, la maggior parte dei nodi si trova in una componente gigante connessa –Il diametro e logaritmico ma… –Il coefficiente di clustering e basso (O(1/n))

20 Reti sociali Modello di Watts e Strogatz [WS98] Si inizia con un anello di n nodi. Ogni nodo connesso ad altri k nodi Con probabilita p, ogni arco e riconnesso a una destinazione scelta casualmente in modo uniforme. –Granovetter, The strength of weak ties ordine caos

21 Reti sociali Modello WS/cont. Lobiettivo era mostrare che con meccanismi semplici e possibile ottenere una rete di tipo piccolo mondo Risultati –Componente gigante connessa –Distanza media tra nodi connessi O(log n) –Coefficiente di clustering (1)

22 Reti sociali Modello WS/clustering Quando p = 0 C = 3(k-2)/4(k-1) ~ 3/4 L = n/k Scala logaritmica in p

23 Reti sociali Modello di Kleinberg [Kl. 99] Lattice bidimensionale –Si aggiungono q archi a ogni vertice u (shortcut) Il vertice v destinazione di uno shortcut e scelto con probabilita [d(u,v)] -r / w u [d(u,v)] -r se r = 0, si ha probabilita uniforme Nel seguito q = 1

24 Reti sociali Modello di Kleinberg/2 Data una sorgente s e una destinazione t, definire un algoritmo per muovere un agente da s a t che conosce le posizioni dei nodi nella griglia conosce i vicini e gli shortcut del nodo in cui si trova ricorda i vicini e gli shortcut di tutti i nodi visitati Ad ogni passo diminuisce la distanza da t Si tenta di riprodurre lesperimento di Milgram La griglia modella una distribuzione geografica dei nodi

25 Reti sociali Algoritmo Nel generico nodo v –Scegli il vicino a distanza minima dalla destinazione Lalgoritmo usa soltanto uninformazione locale e la conoscenza della posizione dei nodi sul lattice

26 Reti sociali Risultati Per r=2, esiste un algoritmo locale che raggiunge la destinazione in un numero atteso di passi O(log 2 n). Se r<2 un algoritmo locale richiede un numero atteso di passi (n (2-r)/3 ). Se r>2 un algoritmo locale richiede un numero atteso di passi (n (r-2)/(r-1) ). Nota: numero atteso di passi sub-polinomiale soltanto per r=2 –Risultato dovuto probabilmente ai limiti del modello

27 Reti sociali Prova per r = 2 e q = 1 P[u --> v]: probabilita che u scelga v come shortcut Per ogni w, la distanza da u e compresa tra 1 e 2n-2 Vi sono non piu di 4j nodi a distanza j da u

28 Reti sociali Prova per r = 2 e q = 1/cont. Fase j: insieme dei passi durante i quali lagente si trova in nodi a distanza da t > 2 j e <= 2 j+1 –Lagente inizia al piu in fase log 2 n –Ad ogni passo lagente si avvicina a t –Occorre calcolare il numero medio E[X j ] dei passi durante la j-esima fase –Quando lagente lascia la fase j-esima e per entrare in una fase i <= j-1 –E[lunghezza percorso] = j E[X j ]

29 Reti sociali Prova per r = 2 e q = 1 /cont. Se ci troviamo in un nodo u durante la fase j –P[si lascia la fase j] >= P[si entra in B j ] –B j : insieme dei nodi a distanza <= 2 j da t BjBj u t

30 Reti sociali Prova per r = 2 e q = 1 /cont. B j contiene almeno 2 2j-1 nodi Ciascun nodo in B j dista al piu 2 j+2 da u Quindi P[si entra in B j ] >= 1/128ln(6n) BjBj u t

31 Reti sociali Prova per r = 2 e q = 1 /cont. Poiche vi sono O(log n) fasi abbiamo O(log 2 n) passi in media

32 Reti sociali Altre proprieta - grado

33 Reti sociali Distribuzione del grado # nodi con grado k: P(k) ~ k -a –P(k): % nodi con grado k –a circa 2.1 per il Web –[Broder et al. 2000] Regola dell 80/20: –Una modesta percentuale di nodi ha quasi tutti i link --> Hub –I ricchi diventano sempre piu ricchi

34 Reti sociali Reti prive di scala

35 Reti sociali Matematicamente… Non vi e una scala privilegiata per osservare le proprieta macroscopiche della rete Nelle reti sociali linvarianza di scala si riferisce alla distribuzione del grado dei nodi –Legge di potenza per distribuzione del grado entrante e/o uscente (es. il Web)

36 Reti sociali Modelli di reti sociali

37 Reti sociali Modelli di reti sociali Cosa sono –Modelli per la generazione di grafi casuali Es.: modello di Watts e Strogatz –obiettivo: riprodurre le proprieta osservate in pratica I modelli di Watts e Strogatz e di Kleinberg spiegano il fenomeno di piccolo mondo ma non altre proprieta –Es.: la distribuzione del grado dei nodi

38 Reti sociali Meccanismi di base Attaccamento preferenziale –Un nuovo nodo ha maggiore probabilita di connettersi ai nodi esistenti di grado piu elevato Esempio [Chung et al. 2000] per il Web –Per t = 1, 2, … Con probabilita 1- si aggiunge un nuovo vertice con un link verso se stesso Con probabilita si aggiunge un nuovo arco. Se u e v sono due nodi della rete, P[Si genera (u, v)] = d u ·d v / w,z d w ·d z –La rete risultante e di tipo piccolo mondo –La distribuzione del grado segue una legge di potenza con esponente 1+1/ quando t e abbastanza grande

39 Reti sociali Esempio Si consideri il modello precedente e si supponga che = 0.9 e che al tempo t la distribuzione del grado entrante sia approssimativamente una legge di potenza con parametro 1+1/ Stimare la probabilita che a t+1 venga creato un nuovo link verso un nodo di grado x

40 Reti sociali Esempio/cont. La distribuzione dipende anche da t, che stavolta e una variabile Se nuovo link verso un nodo di grado x allora A(x+1, t+1) = A(x+1, t) + 1 S(x, t): insieme dei nodi di grado x a t Si ricordi che si introduce nuvo link con prob.

41 Reti sociali Riferimenti M. E. Newman. The structure and function of complex networks. –Buon lavoro di rassegna sulle reti sociali –Sezioni I, II, III e VI –http://citeseer.ist.psu.edu/newman03structure.htmlhttp://citeseer.ist.psu.edu/newman03structure.html M. E. Newman. Models of the Small World –Lavoro di rassegna sul modello di Watts e Strogatz e sue estensioni –http://citeseer.ist.psu.edu/ htmlhttp://citeseer.ist.psu.edu/ html D. Watts and S. H. Strogatz. Collective dynamics of small-world networks. Nature, Vol. 393, pp. 440 – 442, 1998 –Basta il lavoro di rassegna di Newman J. Kleinberg. The small-world phenomenon: An algorithmic perspective. –Il lavoro di Kleinberg sulla navigazione nelle reti sociali –http://www.cs.cornell.edu/home/kleinber/nips14.pshttp://www.cs.cornell.edu/home/kleinber/nips14.ps


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