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Progetto: “Con la mente e con le mani” Gruppo di lavoro: “il numero più grande” dei proff. Bernardi, Fioravanti, Tarallo Presentano: gli alunni della classe.

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1 Progetto: “Con la mente e con le mani” Gruppo di lavoro: “il numero più grande” dei proff. Bernardi, Fioravanti, Tarallo Presentano: gli alunni della classe IC I.C. Via Giuliano da Sangallo A.S. 2013-2014

2 Lorenzo e Sara La “bizzarra” richiesta del Bramino:  una ricompensa in chicchi di riso su una scacchiera di 64 caselle;  i chicchi si raddoppiano di casella in casella.

3 Laura e Miriam 2020 21212 2323 2424 2525 2626 2727 2828 2929 2 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 2 20 2 21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2 27 2 28 2 29 2 30 2 31 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 2 40 2 41 2 42 2 43 2 44 2 45 2 46 2 47 2 48 2 49 2 50 2 51 2 52 2 53 2 54 2 55 2 56 2 57 2 58 2 59 2 60 2 61 2 62 2 63

4 2 63 è già un numero enorme… poi gli dobbiamo sommare anche 2 62, 2 61 ecc. Sono tanti numeri, e tanto grandi! AIUTOOOO!!!!!!!! Sara

5 Scoperta della regolarità per verifica empirica: Potenze di 2 Somme di potenze di 2 2 0 = 11 2 1 = 23 2 2 = 47 2 3 = 815 2 4 = 1631 2 5 = 3263 2 6 = 64127 Iris

6 Chicchi totali in 64 caselle S 2 (64) = 2 64 –1 = 18.446.744.073.709.551.615 (circa 1,84 × 10 19 ) Circa 18 miliardi di miliardi Sabrina

7 DOMANDA: Se dimezziamo le caselle (32 anziché 64) e raddoppiamo la base (4 anziché 2) otteniamo una quantità totale di riso maggiore o minore di quella richiesta dal Bramino? Martina

8 4040 4141 4242 43434 4545 4646 4747 4848 4949 4 10 4 11 4 12 4 13 4 14 4 15 4 16 4 17 4 18 4 19 4 20 4 21 4 22 4 23 4 24 4 25 4 26 4 27 4 28 4 29 4 30 4 31 Alex

9 Le potenze di 4 sono anche potenze di 2. In particolare le potenze di 4 sono potenze di 2 con esponente pari: 2 0 = 4 0 = 1 2 2 = 4 1 = 4 2 4 = 4 2 = 16 2 6 = 4 3 = 64 2 8 = 4 4 = 512 …

10 Considerare solo 32 caselle e riempirle con le potenze di 4 da 4 0 a 4 31 equivale a riempire tutte le 64 caselle con le potenze di 2 da 2 0 a 2 63 e poi cancellare quelle con esponente dispari. Gabriele

11 2020 21212 2323 2424 2525 2626 2727 2828 2929 2 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 2 20 2 21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2 27 2 28 2 29 2 30 2 31 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 2 40 2 41 2 42 2 43 2 44 2 45 2 46 2 47 2 48 2 49 2 50 2 51 2 52 2 53 2 54 2 55 2 56 2 57 2 58 2 59 2 60 2 61 2 62 2 63

12 20202 2424 2626 2828 2 10 2 12 2 14 2 16 2 18 2 20 2 22 2 24 2 26 2 28 2 30 2 32 2 34 2 36 2 38 2 40 2 42 2 44 2 46 2 48 2 50 2 52 2 54 2 56 2 58 2 60 2 62

13 4040 4141 4242 43434 4545 4646 4747 4848 4949 4 10 4 11 4 12 4 13 4 14 4 15 4 16 4 17 4 18 4 19 4 20 4 21 4 22 4 23 4 24 4 25 4 26 4 27 4 28 4 29 4 30 4 31

14 Quindi: S 4 (32) < S 2 (64) I chicchi sulla semi-scacchiera delle potenze di 4 sono in numero minore dei chicchi sulla intera scacchiera delle potenze di 2 … oppure: la somma delle potenze di 4 da 4 0 a 4 31 è minore della somma delle potenze di 2 da 2 0 a 2 63. Simona

15 S 4 (32) < S 2 (64) Minore sì, ma quanto minore? S 4 (32) =S 2 (64) : 3 I chicchi sulla semi-scacchiera delle potenze di 4 sono 1/3 dei chicchi sulla intera scacchiera delle potenze di 2.

16 Motivazione empirica: per ottenere le potenze di 4 ho cancellato le colonne di potenze di 2 con esponente dispari; ciascuna colonna che ho cancellato ha valore doppio rispetto alla colonna alla sua sinistra che ho conservato. Quindi: ho cancellato una quantità doppia di quella rimasta, che quindi sarà un terzo del totale. Nicholas

17 Se tolgo dalla quantità totale una quantità doppia di quella che rimane allora la quantità che rimane sarà un terzo della quantità totale. Scusate il gioco di parole!

18 2020 21212 2323 2424 2525 2626 2727 2828 2929 2 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 2 20 2 21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2 27 2 28 2 29 2 30 2 31 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 2 40 2 41 2 42 2 43 2 44 2 45 2 46 2 47 2 48 2 49 2 50 2 51 2 52 2 53 2 54 2 55 2 56 2 57 2 58 2 59 2 60 2 61 2 62 2 63 Dario

19 2020 2323 2626 2929 2 12 2 15 2 18 2 21 2 24 2 27 2 30 2 33 2 36 2 39 2 42 2 45 2 48 2 51 2 54 2 57 2 60 2 63

20 8080 8181 8282 8383 8484 8585 8686 8787 8 8989 8 10 8 11 8 12 8 13 8 14 8 15 8 16 8 17 8 18 8 19 8 20 8 21

21 Martina

22

23

24

25 Potenze di 2 e di 4  Tutte le potenze di 4 sono anche potenze di 2.  Solo le potenze di 2 con esponente pari sono anche potenze di 4.  Per ricavare una potenza di 4 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 2 l'esponente. es. 4 3 = 2 6 perché 4 3 = (2 2 ) 3 = 2 6

26 Potenze di 2 e di 8  Tutte le potenze di 8 sono anche potenze di 2.  Solo le potenze di 2 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8.  Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 3 l'esponente. es. 8 3 = 2 9 perché 8 3 = (2 3 ) 3 = 2 9

27 Potenze di 4 e di 8  Solo le potenze di 8 con esponente pari sono anche potenze di 4.  Solo le potenze di 4 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8.  Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 4 bisogna dividere per 3 l'esponente e poi moltiplicarlo per 2. es. 8 4 = 4 6 perché 8 4 = (4×2) 4 = 4 4 ×2 4 = 4 4 ×4 2 = 4 6 Valeria

28 Hanno esposto i materiali: Flavia, Alex, Daria, Olivia, Eleonora, Nimasha, Loubna, Melania, Martina.


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