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Accademia dei Lincei Gruppo di lavoro diretto dai Proff. Bernardi, Fioravanti, Tarallo A.S. 2013-2014 Proposta di Luca Dragone I.C. Via Giuliano da Sangallo.

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1 Accademia dei Lincei Gruppo di lavoro diretto dai Proff. Bernardi, Fioravanti, Tarallo A.S. 2013-2014 Proposta di Luca Dragone I.C. Via Giuliano da Sangallo Classe Prima Sezione C

2 2020 21212 2323 2424 2525 2626 2727 2828 2929 2 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 2 20 2 21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2 27 2 28 2 29 2 30 2 31 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 2 40 2 41 2 42 2 43 2 44 2 45 2 46 2 47 2 48 2 49 2 50 2 51 2 52 2 53 2 54 2 55 2 56 2 57 2 58 2 59 2 60 2 61 2 62 2 63

3 Chicchi totali in 64 caselle S 2 (64) = 2 64 –1 = 18.446.744.073.709.551.615 (circa 1,84 × 10 19 )

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5 DOMANDA: Se dimezziamo le caselle (32 anziché 64) e raddoppiamo la base (4 anziché 2) otteniamo una quantità totale di riso maggiore o minore di quella richiesta dal Bramino?

6 Obiettivi specifici  Riconoscere regolarità in sequenze di numeri naturali.  Confrontare numeri grandi espressi in notazione scientifica.  Individuare le potenze di 4 e di 8 nelle potenze di 2.  Eseguire stime e valutare l’ordine di grandezza di un numero.

7 Prerequisiti  Saper calcolare la potenza di un numero naturale.  Conoscere e saper applicare le proprietà delle potenze.  Conoscere e saper utilizzare la notazione scientifica per esprimere numeri grandi.  Confrontare e convertire numeri espressi in basi diverse.

8 Organizzazione e tempi Attività matabel(chicchi di riso): 5-6 ore Sfida al Bramino: Potenze e somme di potenze: 4 ore Confronto tra numeri grandi: 1 ora Le potenze di 2, 4 e 8: 2 ore Discussione finale: 1 ora Verifica finale: 1 ora

9 Note metodologiche  Inquiry based learning.  Problem posing e problem solving.  Attività laboratoriale in piccoli gruppi.  Discussioni guidate.  Esposizione e discussione dei cartelloni.  Interazione tra pari.

10 (a-1)S a (n) +1=a n+1 Per a = 2S 2 (n)+1 =2 n+1 Per a = 32S 3 (n)+1 =3 n+1 Per a = 43S 4 (n)+1 =4 n+1

11 Per la Secondaria di I grado:  Scoperta della regolarità per verifica empirica.  Sistemi multibase. Dimostrazione algebrica (Secondaria di II grado)

12 Scoperta della regolarità per verifica empirica:

13 Sistema binario: 11111 = 1×2 0 + 1×2 1 + 1×2 2 + 1×2 3 + 1×2 4 =31 100000 = 2 5 = 32 Sistema ternario: 22222 = 2×3 0 + 2×3 1 + 2×3 2 + 2×3 3 + 2×3 4 = 242 100000 = 3 5 = 243 Sistema quaternario: 33333 = 3×4 0 + 3×4 1 + 3×4 2 + 3×4 3 + 3×4 4 = 1023 100000 = 4 5 = 1024

14 Sistema decimale: 99999 = 9×10 0 + 9×10 1 + 9×10 2 + 9×10 3 + 9×10 4 100000 = 10 5 Più familiare, vero?

15 Le potenze di 4 sono potenze di 2 con esponente pari. Considerare solo 32 caselle e riempirle con le potenze di 4 da 4 0 a 4 31 equivale a riempire tutte le 64 caselle con le potenze di 2 da 2 0 a 2 64 e poi togliere quelle con esponente dispari. Perciò avremo: S 4 (32) < S 2 (64)

16 2020 21212 2323 2424 2525 2626 2727 2828 2929 2 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 2 20 2 21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2 27 2 28 2 29 2 30 2 31 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 2 40 2 41 2 42 2 43 2 44 2 45 2 46 2 47 2 48 2 49 2 50 2 51 2 52 2 53 2 54 2 55 2 56 2 57 2 58 2 59 2 60 2 61 2 62 2 63

17 20202 2424 2626 2828 2 10 2 12 2 14 2 16 2 18 2 20 2 22 2 24 2 26 2 28 2 30 2 32 2 34 2 36 2 38 2 40 2 42 2 44 2 46 2 48 2 50 2 52 2 54 2 56 2 58 2 60 2 62

18 4040 4141 4242 43434 4545 4646 4747 4848 4949 4 10 4 11 4 12 4 13 4 14 3 15 4 16 4 17 4 18 4 19 4 20 4 21 4 22 4 23 4 24 4 25 4 26 4 27 4 28 4 29 4 30 4 31

19 S 4 (32) < S 2 (64) Minore sì, ma quanto minore?

20 Ricordiamo che: Ma ciò vuol dire che la somma delle potenze di 2 con esponente dispari è il doppio della somma delle potenze di 2 con esponente pari!

21 Motivazione empirica: le caselle con gli esponenti più elevati contano tantissimo. La 64 ma casella ha un numero di chicchi (2 63 ) uguale alla somma di tutti i chicchi delle restanti 63 caselle della scacchiera (a meno di 1, che ovviamente trascuriamo). Quindi:

22 Proviamo a togliere l’ultima casella alla somma delle potenze di esponente dispari:

23 2020 21212 2323 2424 2525 2626 2727 2828 2929 2 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 2 20 2 21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2 27 2 28 2 29 2 30 2 31 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 2 40 2 41 2 42 2 43 2 44 2 45 2 46 2 47 2 48 2 49 2 50 2 51 2 52 2 53 2 54 2 55 2 56 2 57 2 58 2 59 2 60 2 61 2 62 2 63

24 2020 2323 2626 2929 2 12 2 15 2 18 2 21 2 24 2 27 2 30 2 33 2 36 2 39 2 42 2 45 2 48 2 51 2 54 2 57 2 60 2 63

25 8080 8181 8282 8383 8484 8585 8686 8787 8 8989 8 10 8 11 8 12 8 13 8 14 8 15 8 16 8 17 8 18 8 19 8 20 8 21

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30 Potenze di 2 e di 4  Tutte le potenze di 4 sono anche potenze di 2.  Solo le potenze di 2 con esponente pari sono anche potenze di 4.  Per ricavare una potenza di 4 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 2 l'esponente. es. 4 3 = 2 6 perché 4 3 = (2 2 ) 3 = 2 6

31 Potenze di 2 e di 8  Tutte le potenze di 8 sono anche potenze di 2.  Solo le potenze di 2 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8.  Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 3 l'esponente. es. 8 3 = 2 9 perché 8 3 = (2 3 ) 3 = 2 9

32 Potenze di 4 e di 8  Solo le potenze di 8 con esponente pari sono anche potenze di 4.  Solo le potenze di 4 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8.  Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 4 bisogna dividere per 3 l'esponente e poi moltiplicarlo per 2. es. 8 4 = 4 6 perché 8 4 = (4×2) 4 = 4 4 ×2 4 = 4 4 ×4 2 = 4 6

33 luca_dragone71@yahoo.it


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