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1 Corso di Laurea magistrale in Psicologia Clinica, dello Sviluppo e Neuropsicologia Esame di Analisi Multivariata dei Dati La regressione lineare multipla.

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1 1 Corso di Laurea magistrale in Psicologia Clinica, dello Sviluppo e Neuropsicologia Esame di Analisi Multivariata dei Dati La regressione lineare multipla Martedì 15 ottobre 2012 A cura di Matteo Forgiarini

2 2 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla La regressione multipla Ma non sempre la realtà è semplice… In alcuni casi occorre utilizzare più di una variabile indipendente per spiegare (la varianza di) una variabile dipendente. Nelle precedenti analisi abbiamo ipotizzato che una variabile dipendente venga spiegata – prevista – da una sola variabile indipendente: abbiamo analizzato il modello di regressione semplice. Un modello di regressione che preveda 2 o più variabili indipendenti e una sola variabile dipendete è chiamato modello di regressione multipla.

3 3 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla Nella regressione multipla, il coefficiente b di ogni x esprime solo l’effetto diretto della x sulla y al netto degli effetti indiretti prodotti mediante l’interazione con le altre variabili indipendenti. Infatti l’effetto indiretto di una VI sulla y esiste solo se la correlazione tra le VI è diversa da 0; in caso contrario, non essendoci interazione tra le VI, gli effetti indiretti saranno nulli. I coefficienti di regressione b cosa rappresentano? Nella regressione semplice i coefficienti b esprimono l’intero legame tra la x e la y. Nella regressione multipla la loro interpretazione è più complessa… Come nella regressione semplice, la costante “a” rappresenta l’intercetta della retta, ovvero il valore di y quando tutte le x hanno valore 0. Il coefficiente di ogni VI è chiamato coefficiente parziale di regressione tra la VI e y ed è ottenuto parzializzando l’effetto delle altre VI su y. La regressione multipla

4 4 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla Con spss è possibile stimare i parametri della retta di regressione multipla… Nell’esempio proposto, la variabile “peso” viene considerata variabile dipendente. Il modello prevede due VI. Selezioniamo questa opzione per ottenere le stime dei coefficienti di un modello di regressione sia con una sola VI sia con le due VI. La regressione multipla

5 5 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla I parametri del modello di regressione multipla sono tutti significativi (p-value<0.05). Il modello con due VI infatti ottiene una proporzione di varianza spiegata (0,916) maggiore del modello con una sola VI (0,622). Possiamo concludere che utilizzare anche “lunghezza” per spiegare “peso” migliora significativamente il modello; infatti il coefficiente parziale di regressione stimato per “lunghezza” risulta significativamente diverso da 0 Notiamo come il metodo “stepwise” permetta di confrontare la bontà dei due modelli ottenuti e di verificare la significatività dei parametri di tutti i modelli. Al contrario, con il metodo “enter” vengono considerate contemporaneamente tutte le VI inserite. Modello 1: regressione semplice: y=“peso”, x=“potenza del motore”. Modello 1: regressione multipla: y=“peso”, x 1 =“potenza”,x 2 =“lunghezza”. La regressione multipla

6 6 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla Continuiamo l’analisi degli output del modello di regressione multiplo… I coefficienti parziali di regressione indicano solo l’effetto diretto che ogni VI produce sulla y e vengono infatti stimati parzializzando l’effetto delle altre VI. Il segno della loro stima permette di capire la direzione della relazione (positiva o negativa) tra la VI e la y. Se il segno è positivo al crescere della VI, anche la y cresce; se il segno è negativo, ad un aumento della VI corrisponde una diminuzione della y. In particolare nel modello proposto i coefficienti indicano che il crescere della potenza del motore e della lunghezza, producono un aumento del peso dell’auto. Ma… La stima dei coefficienti parziali non ci permette di comprendere in modo chiaro il contributo unico di ogni VI: per l’analisi di un modello di regressione multipla è importante avere anche una stima della quantità di varianza della y che ogni VI permette di spiegare… La regressione multipla

7 7 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla Il contributo unico delle VI In particolare occorre distinguere due indici che permettono di comprendere il contributo unico di ogni VI: Il contributo unico di una VI può essere stimato grazie al quadrato della correlazione parziale: ipotizzando che y venga spiegata da x e w, Pr 2 yw.x indica l’effetto di w dopo aver rimosso tutta la variabilita’ spiegata da x. Pr 2 yw.x indica la proporzione di varianza spiegata da w rispetto alla parte di varianza di y che non viene spiegata da x. Il contributo unico di una VI può anche essere valutato come la varianza della y spiegata unicamente dalla VI: ipotizzando che y venga spiegata da x e w, il quadrato della correlazione semi-parziale tra y e w Sr 2 yw.x indica la varianza di y spiegata unicamente da w.

8 8 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla e W X a c b Il contributo unico delle VI

9 9 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla La correlazione parziale Per stimare i contributi unici di ogni VI in un modello di regressione multipla risulta quindi importante calcolare la matrice di correlazioni parziali tra un set di variabili... In questa finestra occorre inserire le variabili fra le quali si vuole calcolare la correlazione parziale. Nell’esempio proposto le correlazioni vengono parzializzate mantenendo costante la variabile “lunghezza”.

10 10 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla La matrice contiene le correlazioni tra le coppie di variabili calcolate parzializzando l’effetto di “lunghezza”. Ogni cella (non appartenente alla diagonale principale) contiene la correlazione pr xy.lunghezza. Nell’esempio proposto, 0.894=pr potenza peso.lunghezza è la correlazione parziale tra potenza e peso; pr 2 =(0,894) 2 =0,799 indica la proporzione di varianza di “peso” spiegata da “potenza” rispetto alla quantità di varianza di “peso” non spiegata dall’altra VI “lunghezza”. Nell’esempio proposto la correlazione parziale tra “potenza” e “peso” risulta significativa (p.value<0,01): possiamo quindi concludere che rispetto alla varianza di “peso” non spiegata da “lunghezza”, la variabile “potenza” permette di spiegare una quantità di varianza della VD statisticamente significativa. La correlazione parziale

11 11 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla Selezioniamo questa opzione per ottenere le correlazioni semplici, parziali e semi-parziali Attraverso questa procedura possiamo ottenere, oltre alle stime dei coefficienti del modello di regressione multiplo, anche le stime delle correlazioni semplici, parziali e semi-parziali (cfr. diapositive successive) che ci permettono di analizzare più in profondità il contributo unico delle singole variabili. La correlazione parziale

12 12 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla I coefficienti del modello sono uguali a quelli stimati in precedenza. In questa colonna troviamo le correlazioni semplici tra le due VI e la VD. In questa colonna troviamo le correlazioni parziali tra le due VI e la VD; in particolare: 0,894=pr potenza peso.lunghezza ; 0,881=pr lunghezza peso.potenza. Notiamo che 0,894 corrisponde alla stima ottenuta calcolando la matrice delle correlazioni parziali tra le variabili. Per stimare 0,881 all’interno della matrice delle pr, avremmo dovuto eseguire la medesima procedura per creare la matrice, ma parzializzando l’effetto della variabile “potenza”. Elevando al quadrato le pr possiamo calcolare il contributo unico delle due VI. (0,894) 2 =0,799; la variabile “potenza” spiega il 79% della varianza di “peso” che non viene spiegata da “lunghezza”. (0,881) 2 =0,776; la variabile “lunghezza” spiega il 77% della varianza di “peso” che non viene spiegata da “potenza”. La correlazione parziale

13 13 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla Come accennato in precedenza, è possibile stimare il contributo unico di una VI anche mediante la correlazione semi-parziale tra le VI e la VD. In particolare il quadrato della correlazione semi-parziale indica la parte di varianza della VD spiegata unicamente dalla VI al netto della varianza della VD che la VI spiega in comune con le altre VI. Sr 2 xy.w indica la parte di varianza della y spiegata dalla x al netto della parte di varianza della y che x spiega in comune con w. Nell’esempio proposto, 0,579 indica la correlazione semi-parziale sr potenza peso.lunghezza. In modo analogo 0,542=sr lunghezza peso.potenza. Possiamo quindi affermare che la variabile “potenza” spiega, senza tenere conto del contributo in comune con “lunghezza”, il 33,5% della varianza di “peso”: (0,579) 2 =0,335. Similmente, il contributo unico della variabile “lunghezza” al netto del contributo comune a “potenza” risulta: (0,542) 2 =0,293: la variabile “lunghezza” spiega il 29,3% della varianza di “peso”. Correlazioni semi-parziali La correlazione semi-parziale

14 14 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla Una particolarità Procediamo con l’analisi dei tre tipi di correlazione… Notiamo che se ipotizziamo un modello di regressione semplice la correlazione semplice, parziale e semi-parziale sono uguali… perché!?! Perché in un modello di regressione semplice il legame diretto tra x e y è l’unico che vi sia… non esiste altro legame che si debba parzializzare: la proporzione di varianza spiegata di y da parte di x coincide con il contributo unico di x poiché non occorre parzializzare nessun effetto di altre VI: r 2 xy =pr 2 xy= sr 2 xy

15 15 Esercitazione N°2 – La regressione lineare multipla L’R 2 del modello Nel modello di regressione multipla è più complesso: la proporzione di varianza spiegata R 2 del modello è formata dai contributi di ogni variabile… R 2 =r 2 potenza peso + sr 2 lunghezza peso.potenza =(0,789) 2 + (0,542) 2 =0, ,293=0,9157 R 2 =r 2 lunghezza peso + sr 2 potenza peso.lunghezza =(0,762) 2 + (0,579) 2 =0,58 + 0,335=0,9152 Notiamo come nel modello di regressione semplice la proporzione di varianza spiegata dalla VI sia coincidente con il quadrato della correlazione semplice corr(xy): R 2 =0,789 2 =0,622. Regr. Mult. Regr. Sempl.


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