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1 Approssimazione FD 1D su griglia non uniforme Metodi analitici e numerici per l’Ingegneria Aerospaziale 15 Ottobre 2004.

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1 1 Approssimazione FD 1D su griglia non uniforme Metodi analitici e numerici per l’Ingegneria Aerospaziale 15 Ottobre 2004

2 2 Il problema continuo Consideriamo il problema: dove  >0, f 2 C 0 (a,b) è data, con condizioni al contorno: dove u a e u b sono due valori assegnati.

3 3 Griglia non uniforme Introduciamo sull’intervallo (a,b) una griglia non uniforme di n nodi: a = x 1

4 4 Sviluppi con Taylor A tale scopo calcoliamo uno schema centrato del secondo ordine per la derivata prima e seconda. Utilizziamo le formule di Taylor centrate in x i. Poichè x i-1 = x i – h i-1 e x i+1 = x i + h i, abbiamo:

5 5 Approssimazione della derivata prima Usando uno schema del tipo: Du(x i ) =  -1 u(x i-1 ) +  0 u(x i ) +  1 u(x i+1 ), otteniamo:

6 6 Dobbiamo quindi richiedere che: da cui otteniamo la soluzione: Approssimazione della derivata prima

7 7 Abbiamo dunque il seguente schema centrato per la derivata prima: che, se u 2 C 3 (a,b), è accurato al secondo ordine nel senso che l’errore si comporta come h i-1 h i. Approssimazione della derivata prima

8 8 Approssimazione della derivata seconda Analogamente, usando uno schema del tipo: D 2 u(x i ) =  -1 u(x i-1 ) +  0 u(x i ) +  1 u(x i+1 ), otteniamo:

9 9 Dobbiamo quindi richiedere che: da cui otteniamo la soluzione: Approssimazione della derivata seconda

10 10 Abbiamo dunque il seguente schema centrato per la derivata seconda: Osserviamo che l’errore commesso, se u 2 C 3 (a,b) è: Quindi lo schema è del primo ordine! Approssimazione della derivata seconda

11 11 Per trovare uno schema del secondo ordine abbiamo bisogno di uno stencil composto da almeno 4 punti. Per ragioni di simmetria si usa uno stencil con 5 punti: x i-2, x i-, x i, x i+1, x i+2. Useremo nel seguito lo schema riportato sopra. Lasciamo per ESERCIZIO il calcolo di tale schema. Si noti che in questo caso è necessario calcolare schemi non centrati per il secondo e il penultimo nodo. Approssimazione della derivata seconda

12 12 Otteniamo quindi le seguenti equazioni sui nodi interni x 1,..., x n-1 : Da cui: Equazioni sui nodi interni

13 13 Bisogna ancora scrivere due equazioni per i nodi di bordo in modo da ottenere un sistema quadrato. Sfruttiamo le condizioni al contorno. Per le condizioni di Dirichlet abbiamo semplicemente: un = ua,un = ua, mentre per le condizioni di Neumann dobbiamo ancora cercare uno schema adeguato (del secondo ordine non centrato). Equazioni sui nodi di bordo

14 14 Utilizzando nuovamenti le formule di Taylor: Approssimazione della derivata prima: schema non centrato.

15 15 e procedendo in maniera analoga a quanto fatto prima, otteniamo lo schema: che è accurato al secondo ordine, purchè u 2 C 3 (a,b). Discretizzando la condizione di Neumann otteniamo quindi l’equazione: Approssimazione della derivata prima: schema non centrato.

16 16 Otteniamo quindi il seguente sistema lineare (di n equazioni in n incognite): Au = f, dove u = [ u 1,u 2,...,u n-1,u n ], f = [ u a, f 2,..., f n-1,u b ] e con: per i = 2,..., n-1: Il problema discreto

17 17 ed. Gli altri elementi di A sono nulli. Approssimazione della derivata seconda

18 18 Risolvendo il sistema appena scritto, abbiamo incluso u n tra le incognite. In realtà grazie alla condizione di Dirichlet u n è noto! Abbiamo quindi n-1 incognite ) dobbiamo scrivere n-1 equazioni nelle n-1 incognite u 1,…, u n-1. Le equazioni sono ovviamente quelle relative ai nodi interni e alla condizione di Neumann. Osserviamo l’equazione relativa all’ultimo nodo: Condizione di Dirichlet: eliminazione di riga e colonna

19 19 Tale equazione può essere riscritta come: Condizione di Dirichlet: eliminazione di riga e colonna

20 20 Abbiamo quindi il sistema (di n-1 equazioni in n-1 incognite): Âu = c, dove u = [ u 1,u 2,...,u n-1 ], c = [ u a, f 2,..., f n-1 -cu b ], con c =, e  = A(1:n-1,1:n-1). Possiamo dire che abbiamo eliminato, in maniera opportuna, una riga e una colonna di A, quelle relative al nodo con condizioni di Dirichlet. Il problema discreto

21 21 Osserviamo che: se u b = 0 possiamo limitarci ad eliminare semplicemente una riga e una colonna di A ; se in a avessimo avuto una condizione di Dirichlet avremmo dovuto operare in maniera analoga, ottenendo così un sistema tridiagonale (n-2) x (n-2). Il probelma discreto


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