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M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Si era visto a proposito dellinversione della cinematica.

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Presentazione sul tema: "M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Si era visto a proposito dellinversione della cinematica."— Transcript della presentazione:

1 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Si era visto a proposito dellinversione della cinematica tramite cinematica diretta, che il problema ammette soluzioni in forma chiusa solo per strutture di manipolazione semplici Sorgono immediatamente problemi quando: il manipolatore ha una struttura complessa (non facilmente risolvibile o soluzioni non in forma esplicita) è ridondante (infinite soluzioni) in corrispondenza di posture singolari … ma adesso abbiamo un nuovo strumento: la Cinematica Differenziale che ci fornisce la relazione tra la velocità ai giunti e le velocità nello spazio operativo (in funzione della postura) Dunque perché non invertire la relazione cinematica differenziale ed integrare?

2 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Basterà assegnare la traiettoria specificando v(t) e le sue condizioni iniziali di posizione ed assetto nello spazio operativo e di postura nello spazio dei giunti e determinare q(t) tramite: Lintegrazione potrà essere fatta nel tempo discreto (tramite ad esempio la formula di Eulero) in forma ricorsiva ed implementata quindi in tempo reale:

3 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica … ma lo Jacobiano deve essere quadrato e di rango pieno Se il manipolatore è ridondante (r < n) tale condizione non è verificata (J è rettangolare bassa) ed in generale esistono più soluzioni Per risolvere il problema della determinazione della soluzione tra tante, occorre specificare criteri di scelta E quindi trasformare il problema in un problema di ottimizzazione vincolata (in cui ci sarà un funzionale da minimizzare che determinerà la scelta): ad esempio si cerca quella soluzione che minimizza il funzionale: (ovvero le velocità ai giunti) Con il vincolo: il funzionale è quadratico con matrice W simmetrica e definita positiva (ovvero il funzionale è sempre > 0 per ogni valore di dq/dt 0)

4 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Il problema di minimo vincolato può essere risolto con i moltiplicatori di Lagrange mediante il funzionale modificato è il vettore 1 x r dei moltiplicatori che permette di incorporare il vincolo nel funzionale (non modificandolo in quanto il vincolo è una equazione pari a zero) il funzionale (funzione di dq/dt e ) viene derivato per determinarne il minimo (il funzionale è una forma quadratica associata ad una matrice definita positiva, nel caso scalare è come se fosse a·x 2 il cui minimo si determina mediante semplice derivazione)

5 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Matrice simmetrica È uno scalare quindi uguale al suo trasposto (con il suggerimento di Bertolazzi)

6 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica

7 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Nel caso in cui W = I la soluzione impiega la pseudo-inversa J, e la soluzione trovata è quindi quella che minimizza la norma di tutte le velocità ai giunti senza distinzione Se invece: In questo caso la prima componente delle velocità dei giunti viene minimizzata in maniera più marcata rispetto alla seconda (1/3)

8 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Come visto in precedenza, evitare le configurazioni di singolarità è un requisito fondamentale nella pianificazione della traiettoria Dunque perché non specificare un funzionale in cui la soluzione si avvicini il più possibile ad una soluzione in grado di evitare le singolarità? Trovata la traiettoria delle variabili di giunto in grado di evitare le singolarità Si stabilisce il seguente funzionale da minimizzare: … che risulta essere proprio della forma: Con il vincolo: (in maniera analoga a quanto visto prima)

9 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Se infatti: Ovvero P è proprio il proiettore sul nullo di J Si ha che:

10 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Come evitare le SINGOLARITA Rimane solo da determinare in modo tale che le singolarità vengano evitate. Definita la funzione: Con k 0 > 0 Spiegazione: la funzione w(q) è pari a zero in corrispondenza delle singolarità, cresce man mano che ci si allontana dalle configurazioni singolari Dunque scegliere lungo il gradiente vuol dire allontanarsi dalle configurazioni non desiderate! Basta scegliere:

11 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Come evitare situazioni di FINE CORSA … se si vuole evitare le situazioni di fine-corsa (anche esse generalmente singolari) che creano situazioni di limitazione alla destrezza del manipolatore La w(q) la si definisce come segue: dove: q iM e q im rappresentano la massima e minima escursione alla rispettiva variabile di giunto qi il valore medio della corsa

12 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Come evitare OSTACOLI … se si vuole evitare ostacoli La w(q) la si definisce come segue: dove: o è il vettore posizione di un opportuno punto dellostacolo (ad esempio il centro) p è un opportuno punto (od una collezione di punti, oppure …) della struttura come ad esempio lorgano finale in operazioni di inserimento

13 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion … siamo sicuri che determinare lo stato delle variabili di giunto mediante una operazione di integrazione non crei dei problemi? Inversione differenziale della Cinematica NO, LA DERIVA !!!

14 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Per ovviare allinconveniente della deriva che porta a seguire traiettorie che si discostano in modo pressoché proporzionale con il tempo dalla traiettoria desiderata, occorre considerare lerrore nello spazio operativo: Dove x d (t) è la traiettoria desiderata ed x(t) è la traiettoria calcolata mediante inversione differenziale della cinematica Derivando rispetto al tempo: Che, mediante la scelta, conduce a problemi di deriva in quanto il termine di incertezza è sempre presente (ad esempio errori numerici o di modellazione)

15 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Dunque bisogna scegliere landamento di dq/dt che tenga conto dellerrore nello spazio operativo e possibilmente che presenti una dinamica stabile dellerrore in modo che converga a zero: Con K definita positiva ed autovalori tutti > 0 Ricordando:

16 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Quale è lo schema a blocchi dinamico che implementa tale metodo di integrazione basato sulla retroazione dallerrore nello spazio operativo? Impiegare i blocchi sottostanti: (Ingressi) (uscita) Cinematica diretta Iacobiano inverso Integratore Costante di retroazione

17 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Serve un richiamo di Simulink?

18 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Quale è lo schema a blocchi dinamico che implementa il metodo di integrazione basato sulla retroazione dallerrore nello spazio operativo, di seguito riportato?

19 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Se il manipolatore è ridondante la J non è quadrata e non è possibile invertirla, per cui si ha la generalizzazione: Stessa formula con il solo impiego della pseudo-inversa Parte dedicata al controllo dei moti interni indirizzati ad evitare le singolarità, gli ostacoli, i finecorsa, a minimizzare lenergia, etc P: proiettore nel nullo

20 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica A volte invertire lo Jacobiano può risultare non ottimale dal punto di vista computazionale (nel caso di microprocessori a scarsa velocità/memoria/potenza di calcolo, caso sempre meno frequente ma ancora possibile in talune applicazioni industriali) Dunque si vuole evitare linversione … e quindi perché non retroazionare semplicemente (con una semplice operazione di trasposizione) rispetto allerrore? In questo caso si ha una variazione dello stato nello spazio operativo solo se lerrore è diverso da zero. Equivale ad una azione proporzionale. Si dimostra che il metodo è asintoticamente stabile (mediante il criterio di Liapunov)

21 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica Quale è lo schema a blocchi dinamico che implementa tale metodo di integrazione basato sulla retroazione dallerrore nello spazio operativo?

22 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Inversione differenziale della Cinematica


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