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RETI 4 2-mode networks Collaboration networks. Definizione Esempi Proiezione Statistica Coesione Utilizzo di Pajek alcuni studi sulle reti bipartite Boards/Directors.

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1 RETI 4 2-mode networks Collaboration networks

2 Definizione Esempi Proiezione Statistica Coesione Utilizzo di Pajek alcuni studi sulle reti bipartite Boards/Directors recommendation system

3 Definizione

4 - Scientific collaboration (authoring network) Collaboration acts=papers; Actors= authors -Corporate board and director network Collaboration acts=board (consigli damministrazione) Actors= directors -Occurrence networks Collaboration acts=sentences of the book the words appear; Actors= words occurring in a book -Peer-to-peer exchange networks Collaboration acts=data the peers use Actors= peers Esempi reali

5 2-mode matrix m (5) rows, n (4) columns bipartite matrix m+n rows, m+n columns B(mxn)= 0B BTBT 0 m m n n B T (nxm)=

6 Proiezione 2-mode 1-mode network

7 networks-onto-weighted-one-mode-networks/ This diagram illustrates a binary two- mode network where the colors represent the node set to which a node belongs. Le reti 2-mode vengono proiettate per poter usare le misure delle reti 1-mode

8 weighted one-mode network by defining the weights as the number of co-occurrences. A-B connection weight 1/(2-1)+1/(3-1)=1+1/2=3/2=1.5 Newman (2001) extended this procedure while working with scientific collaboration networks. He argued that the social bonds among scientist collaborating with few others on a paper were stronger than the bonds among scientists collaborating with many on a paper. He proposed to discount for the size of the collaboration by defining the weights among the nodes using the following formula: where N p is the number of authors on paper p (e.g., the number of blue nodes connected to the red node ).

9 Esempi: donne (W)/eventi (E) (directors/boad, readers/magazines) w1w1 E1E1 E2E2 E3E3 w3w3 w2w2 B

10 Proiezione su W (righe) A=B B T Potrebbe essere una «multiple line» Valore delle linee= n° eventi in comune Elementi diagonali= n° totale di eventi per ogni donna w1w1 w2w2 w3w w1w1 E1E1 E2E2 E3E3 w3w3 w2w2

11 Proiezione su E A T =B T B Valori delle linee= n° di donne che partecipano ad entrambi gli eventi Elementi diagonali: (loops)= n° di donne per ogni evento Problemi con la proiezione Con la proiezione si possono perdere o aggiungere proprietà alla rete

12 Normalizzazione della proiezione con Pajek: Esempio: donne /eventi (giornali/lettori) w1w1 w2w2 w3w w1w1 w2w2 w3w w1w1 w2w2 w3w3 correlazione Dipendenza Essere influenzati da..

13 Osservazioni 1.GEO è una misura della connettività cioè della correlazione tra i nodi 1. MINDIR trasforma la rete in rete diretta (orientata). Gli archi vanno dal nodo con peso minore a nodi con peso maggiore. 3. MINDIR: Gli archi vanno dal giornale con meno lettori a quello con più lettori 4. MINDIR: Il valore degli archi corrisponde alla percentuale di lettori del primo giornale che hanno letto anche il secondo

14 Statistica di base 1-mode,

15 La statistica di base si applica sia alle rete intera che alle sue proiezioni

16 Statistica avanzata delle reti 1-mode Sia applica in genere solo alle proiezioni 1.Degree distribution= per tutti gli interi i è la frazione di nodi di grado i, ovvero la probabilità che un vertice scelto a caso abbia grado i. per ogni intero i. 2.Misure di centrality: Clustering coefficient= probabilità che due nodi siano collegati tra loro avendo alcuni vicini in comune= probabilità che 2 intorni di un nodo qualsiasi siano legati tra di loro. Degree centrality Betweenness … 3. Assortatività= correlazione tra i gradi (grado medio dei nodi di grado i) 4. Coesione

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18 cliques Tutti con tutti Si possono sovrapporre k core Ogni nodo nel gruppo è connesso con k nel gruppo p-cliques Frequenza dei link di ogni nodo del gruppo=p Riprendiamo alcune misure di coesione già viste…. Coesione:

19 m-slices Si trasforma la rete in una unimodale I pesi degli archi corrispondono ad esempio al numero di eventi (donne, etc.) in comune m-slice: è il sottografo massimo che contiene le linee con una molteplicità m A = slice 1-slice A differenza delle clique e dei core le m-slice considerano la forza delle connessioni (peso delle linee) Net/Partitions/valued core

20 Isole In una rete dove sono note alcune proprietà dei vertici o delle linee si possono trovare isole (isole di vertici o isole di archi). Le isole sono clusters di vertici connessi con linee aventi valori più alti delle linee che collegano i vertici con gli altri ovvero il valore delle linee allinterno dellisola è maggiore del valore delle linee tra isole. Si crea una partizione, una comunità. In Pajek le isole si calcolano: Net/Partitions/Islands/Line Weigths

21 Differenza tra m-slice e islands Peso archi 1 m-slice 2 isole E una differenza di rappresentazione

22 Studio delle reti bipartite con Pajek

23 ESEMPIO DAVIS SOUTHERN CLUB WOMEN DESCRIPTION 18 women×14 events BACKGROUND These data were collected by Davis et al in the 1930s. They represent observed attendance at 14 social events by 18 Southern women. The result is a person-by-event matrix: cell (i,j) is 1 if person i attended social event j, and 0 otherwise. REFERENCES Breiger R. (1974). The duality of persons and groups. Social Forces, 53, Davis, A et al. (1941). Deep South. Chicago: University of Chicago Press.

24 Rappresentazione grafica Statistica di base su tutta la rete Statistica di base ed avanzata sulle proiezioni Coesione: m-slide, isole

25 Davis1.net …..

26 Visualizziamo la rete Draw/draw Visualizziamo la rete con la bi partizione Net/Partition/2-mode Draw/Draw partition

27 Statistica di base sulla rete completa Info/Network/General

28 Statistica di base sulla proiezione Proiezione sulle righe (women) Proiettiamo la rete Net/Transform/2-mode to 1-mode/Rows (include loops) Info/Network/general (n=18, m=157 (erano 93 prima della proiezione), loops=18)

29 Statistica avanzata sulla proiezione Proietto su Rows senza loops e linee multiple Net/Transform/Remove Loops Rimuovo le linee <3 (nelle proiezioni tendono ad esserci troppe linee. Net/transform/remove/line with values/lower than (3) Elimino i nodi isolati Net/transform/reduction/degree (all) Controllo se cè solo una componente connessa Net/Component/weak Net/Path between 2 vertices/Diameter 3

30 Net/Path between 2 vertices/Shortest Path Length matrice La matrice si può salvare in un file di testo (prova2.m). Distanza media= Diametro=3

31 Degree Distribution Proiettando Davis.net sullinsieme delle donne No loops, no multiple lines

32 donne eventi

33 Proietto su Rows no loops e no linee multiple Net/Transform/2-mode 1 mode/Rows Misuriamo la coesione (m-slice e isole)

34 Se ci sono nodi isolati li rimuoviamo: Net transform/reduction/Degree/All Digitare 2 e rispondere «si» alle domande seguenti Se troppo densa rimuoviamo delle linee Info /network/line Values Net/transform/Remove/line with value/lower than (3)

35 m-slices in Pajek Net/Partitions/Valued Core/ Use max instead of sum Net/Partitions/Valued Core/ First threshold and Step/Input First theshold=0, Step=1 Ora Pajek ha creato una partizione con i numeri delle classi che corrispondono alla più alta m-slice a cui ogni vertice appartiene. Per rappresentare le m-slice: Draw/Draw Partition Per interagire Export/2D/SVG/line value/Nested Classes Aprendo la figura con un browser si possono deselezionare dei box e tutte le linee con valori fino a quello segnato saranno cancellate e così pure i vertici isolati. NB: le slice individuano sottoinsiemi di donne che hanno almeno Con unaltra donna un certo numero k di eventi in comune

36 esempio Nodi del value core-1 e non del value core-2 Nodi del value core-2 e non del value core-3 Nodi del value core-3 e non del value core-4 Nodi del value core-5 e non del value core-6 Nodi del value core-4 e non del value core

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38 Isole Nella rete bimodale (rows) vista prima calcoliamo isole di archi: In Pajek le isole si calcolano: Net/Partitions/Islands/Line Weigths Esercizio: Davis1.net. Calcolare le isole di linee di dimensione da 2 a 6 per entrambe le reti ottenute dalla 2-mode network. Le isole sono clusters di vertici connessi con linee aventi valori più alti delle linee che collegano i vertici con gli altri ovvero il valore delle linee allinterno dellisola è maggiore del valore delle linee tra isole. Si crea una partizione, una comunità.

39 esempio Nodi del value core-1 e non del value core-2 Nodi del value core-2 e non del value core-3 Nodi del value core-3 e non del value core-4 Nodi del value core-5 e non del value core-6 Nodi del value core-4 e non del value core ISOLA 2 isole ma 1 value-core (1-slice)

40 Draw partition-vector Draw partition

41 Correlazione/Influenza tra i nodi: Normalizzazione in Pajek Per normalizzare: Net/Tranform/2-mode 1-mode/ rows (include loops no multiple lines) Net/Transform/2-Mode to 1-Mode/Normalize 1-Mode (GEO o MINDIR) Info/Network/line Value Net/ Transform/Remove/line with value/Lower than (0.7) La normalizzazione con GEO crea degli archi pesati (non diretti) che ci dicono quanti interessi in comune hanno 2 donne. La normalizzazione con MINDIR crea una rete diretta che ci dice quanto una donna è influenzata dallaltra

42 GEO MinDir

43 Osservazioni: Le misure di centralità come il clustering e la betweenness, non hanno molto senso per Davis.net Può servire invece la misura di centralità basata sullout- degree dopo aver normalizzato la rete per vedere quali donne sono più influenti su un maggior numero di altre Misure di centralità

44 la misura di centralità basata sullout-degree dopo aver normalizzato la rete per vedere quale donna influenza il maggio numero di altre donne Draw-Vector

45 Esercizi (cap5): Considerare le seguenti reti 2-mode e misurare: la statistica di base, avanzata e la coesione (m-slice e isole) delle proiezioni 1. Scotland.net Corporate interlocks in Scotland (1904-5). Scotland.net: Pajek two-mode network with 244 vertices (136 multiple directors and 108 companies), 356 edges (directorate), no arcs, no loops. Industrial_categories.clu: classification of the 108 companies according to industry type (1 - oil & mining, 2 - railway, 3 - engineering & steel, 4 - electricity & chemicals, 5 - domestic products, 6 - banks, 7 - insurance, 8 - investment. Capital.vec: the total capital or deposits of the (108) companies (in 1,000 pound sterling). Scotland.paj: Pajek project file with the data described above.

46 2. Movies.net Movies.net: two-mode network with 102 vertices (40 composers and 62 producers), 192 valued edges (cooperation of producer and composer; line values represent the number of films cooperated on). Movies_top_composers.clu: identification of the five top composers (1 - top 5 composer, 0 - not a top 5 composer). This network contains the collaboration of 40 composers of film scores and the 62 producers who produced a minimum of five movies in Hollywood, This is a 2-mode network: a line between a composer and a producer indicates that the former created the soundtrack for the movie produced by the latter. The line values indicate the number of movies by one producer for which the composer created the music in the period The five top composers, each of whom earned 1.5% or more of the total income of Hollywood movie score composers in the 1960s and 1970s, are identified.

47 Alcuni studi sulle reti bipartite

48 Communities in italian corporate networks C. Piccardi, L.Calatroni, F. Bertoni Physica A 389 (2010)

49 Gli autori applicano la community analysis per individuare possibili partizioni tra direttori o consigli di amministrazione. Nodi dello stesso gruppo avranno proprietà in comune o ruoli simili Boards Directors

50 Una definizione quantiva di community è stata data da Newman and Girvan (2004) introducendo il concetto di modularity Q Un sottoinsieme Ch n (n° di nodi) è chiamato community se la densità dei link interni a Ch è maggiore della densità dei link che connettono i nodi Ch con il resto della rete La modularità Q misura il numero di link allinterno della comunità rispetto a quelli attesi se la rete fosse random (link medi per nodo per il numero di nodi). Q è un valore normalizzato. Q è dato per una fissata rete e una fissata partizione. L=numero di links ki=grado nodo i, aij=elemento matrice adiacenza, c=community

51 Community analysis: trovare la partizione che massimizza Q Q è un valore normalizzato e 1. Q è calcolato fissata una rete e una partizione Somma al variare delle comunità nella partizione Somma al variare dei link nella comunità

52 z Per vedere se il valore di Qmax ottenuto è significativo, si generano tante reti random (M) aventi la stessa sequenza di gradi. Per ognuna si calcola la massima modularità, i=1..M Calcoliamo la media ( ) e la varianza ( ) dei valori Quindi si testa lipotesi nulla che la rete è random calcolando

53 La misura della modularità può essere estesa a reti pesate:

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55 Italian corporate board network for those companies listed in italian Stock Market at the end of 2008 (http://consob.it)

56 Weigths in the board network: Were nij is the number of director shared by board i and j and ni the n° of directors of board i 0=No links between boards 1= the two boards are identical

57 Pirelli 12 communities nella giant component Community structure: Qmax=0.66, z=51.7 Se trascuriamo i pesi: Community structure: Qmax=0.54, z=12 Conclusione la community sctucture dei consigli si amministrazione rimane importante Proiezione sui boards

58 Proiezione sulle firms/directors Nodi:firms Links: esiste un link tra A e B se le decisioni di B possono essere influenzate da A ad esempio quando i direttori di A sono anche azionisti di B. La matrice delle connessioni si può supporre simmetrica 15 communities (giant component) Community structure: Qmax=0.82, z=29.2 Se trascuriamo i pesi: Community structure: Qmax=0.59, z=3.82 Conclusione la community structure delle firms è molto meno importante

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60 Quantificazione della similitudine tra le due proiezioni (partizioni) Esistono diversi indicatori per misurare quanto le due proiezioni diano le stesse informazioni Laspetto più interessante della community analysis è la capacità di mettere in evidenza forme più sottili di coalizione Per linterpretazione dei risultati si rimanda allarticolo

61 NO

62 Recommendation System «A Recommandation System consists of users and objects where each users has collected some objects… A resonable assumption is that the objects you have collected are what you like and a reconmmendation algorithm aims at predicting your personal opinions (to what extent you like or hate them) on those object that you have not yet collected» In pratica si misura la forza del link tra lutente i e j e poi si fa un ranking degli oggetti scelti da j e non ancora scelti da i e gli si consigliano. I pesi iniziali dei nodi rappresentano lammontare iniziale della risorsa (potere di raccomandazione, etc).

63 Propongono di pesare la rete dei nodi x,y,z che considera anche laltro gruppo di nodi Si crea una rete diretta di utenti che dice quanto le scelte di j possono influenzare quelle di i Utenti oggetti

64 La risorsa finale (potere di raccomandazione) collocata nei nodi top si può calcolare in modo compatto così: Lelemento ij della matrice rappresenta la frazione di risorsa che il nodo j (top) distribuisce al nodo i (top). E una matrice di adiacenza pesata Consideriamo i nodi: f(x i )>=0, risorsa iniziale di xi k(x i )= grado nodo xi. (aij)=matrice di adiacenza (mxn,mxn) da 0 e 1 Le risorse finali che fluiranno in x i saranno: dove w=(nxn)

65 Recommendation System NBI (Network-Based Inference) OggettiUtenti aij=1 se uj ha già scelto loggetto i, 0 altrimenti Proiezione della rete bipartita sugli oggetti G Consideriamo lutente i. le preferenze degli oggetti da lui scelti sono definite dalla funzione: (12)

66 Lavori

67 1.Presentare il data set 2.Illustrare le analisi già fatte in letteratura sul data set (references) 3. a. Rappresentare graficamente e matematicamente la rete, b. applicare la statistica di base c. applicare la statistica avanzata (centralità dei nodi, degree distribution) d. studiare la coesione (componenti connesse)

68 Soft specifico Cfr tra modi di raccogliere dati sociali no

69 Similarity in Slovenian parties Manca descrizione Hub-authorities no Paper/authors no

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