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1 Università degli Studi di Padova SCIENZE MM.FF.NN. Laurea in Matematica Laboratorio di Rilevamento e Geomatica ANALISI CON FUNZIONI SPLINE DI ACQUISIZIONI.

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1 1 Università degli Studi di Padova SCIENZE MM.FF.NN. Laurea in Matematica Laboratorio di Rilevamento e Geomatica ANALISI CON FUNZIONI SPLINE DI ACQUISIZIONI LINEARI CON LASER A SCANSIONE Relatori: Prof. Giuseppe Salemi Prof. Francesco Fassò Laureanda: TINA BABETTO A. A / 2005

2 2 Settore di interesse ARCHITETTONICO Settore ARCHITETTONICO: Rilievi effettuati con moderne apparecchiature laser scanning : I dati vengono acquisiti con uno scanner laser, capace di determinare velocemente e con un alto grado di precisione la geometria delloggetto. Lacquisizione avviene su una griglia di campionamento, per definizione discreta

3 3 Esempi di acquisizione

4 4 Problema globale Una volta acquisiti i dati vengono elaborati mediante software attualmente il mercato offre strumenti in grado di effettuare elaborazione globale dei dati Punto debole Non è possibile effettuare unanalisi del singolo dettaglio SOLUZIONE: analisi con interpolazione del rilievo linea per linea, punto per punto

5 5 Strumento scanner Cyrax 2500 Software Cyclone LASER A SCANSIONE Dimensione: 35,6 x 30,48 x 58,42 cm Angolo di ripresa: 40° x 40° Range di utilizzo medio: 1,5 – 50 m Range di utilizzo massimo: 80 –100 m Velocità di acquisizione: 1000 punti/secondo

6 6 Acquisizione: rappresenta un possibile profilo di una struttura architettonica Linea iniziale dellacquisizione

7 7 Acquisizione: In realtà:

8 8 Funzioni di interpolazione polinomiali SPLINE Strumenti matematici utilizzati: SPLINE Cubica Bézier Composite Bézier Ambiente di lavoro: Mathematica 4.1

9 9 Definizione: Sia a = x 0 < x 1 <…. < x n = b una suddivisione dellintervallo [a,b] e sia m N. Una funzione s m : [a,b] R è chiamata SPLINE di grado m rispetto a questa suddivisione se s C m-1 [a,b] e se la restrizione di s ad ogni sottointervallo [x i,x i+1 ] è un polinomio di grado al più m. Utilizzo: Nella grafica 3D sono utilizzate per lapprossimazione di curve. Funzioni di interpolazione SPLINE SPLINE CUBICA (m=3) s 3 = a 0i + a 1i x + a 2i x 2 + a 3i x 3

10 10 Definizione: i coefficienti b 0,b 1 …..,b n R 2 nella rappresentazione di un polinomio p P k nella base di Bernstein x [a,b], sono chiamati punti di controllo, o punti di BÉZIER, di p. COMPOSITE BÉZIER: serie di curve di Bézier di classe C 1 che interpola alternativamente nodi e punti di controllo Funzioni di interpolazione SPLINE

11 11 Acquisizione

12 12 Acquisizione

13 13 I morfotipi I modelli campionati sono 5: Punti allineati Box Curva Triangolo Picco Box

14 14 Applicazione Per ogni tipologia di spline si è eseguita linterpolazione : su ogni singolo morfotipo su composizioni di morfotipi diversi su composizioni di morfotipi diversi a passi di campionatura diversi su ripetizioni dello stesso morfotipo su sequenze con morfotipi distanziati (effetto rilassamento)

15 15 Codice in Mathematica 4.1

16 16 Singolo morfotipo Interpolazione CompositeBézier a confronto: Box con 2 passi di campionamento diversi

17 17 Esempi di interpolazioni su 2 sequenze di morfotipi BÉZIER : Triangolo + 2*Box COMPOSITE BÉZIER : Curva + Linea + Box + Picco + Triangolo

18 18 Campionatura diversa Interpolazione con passo di campionamento diverso per ogni morfotipo

19 19 Sequenza rilassata

20 20 Costruzione 3D Dallultima sequenza, ripetendo la funzione n volte…

21 21 … si ottiene una parete Costruzione 3D

22 22 Conclusioni La sperimentazione ha indicato alcune linee guida per lanalisi di singoli morfotipi derivanti da acquisizioni con laser a scansione. Inoltre, è stata studiata la sequenza di morfotipi elementari, variandone la composizione, la ripetizione e la complessità strutturale. E stato approntato un metodo alternativo di analisi delle linee di acquisizione applicabile a situazioni diverse. I risultati ottenuti in ambito architettonico-strutturale sono facilmente esportabili in altri ambiti (ad es. biostereometria).

23 23

24 24 Perturbazioni errore umano morfotipo affetto da errore errore di macchina

25 25 Perturbazioni gli effetti dellinterpolazione cambiano In caso di perturbazioni linterpolazione non approssima esattamente landamento cercato è necessario effettuare una depurazione dall errore (se possibile)


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