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Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 1 Corso di Fisica B – C.S. Chimica Si consideri un circuito contenente un condensatore C ed uninduttanza.

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1 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Corso di Fisica B – C.S. Chimica Si consideri un circuito contenente un condensatore C ed uninduttanza L connessi in serie. Lequazione del circuito può essere ricavata in due modi. Dal punto di vista della legge di Kirchhoff (delle maglie), la d.d.p. ai capi del condensatore vale V C = q / C mentre la d.d.p. ai capi dellinduttanza vale V L = - L di / dt. Non essendoci generatori, la legge di Kirchhoff si può scrivere: – V C – V L = 0 cioè cioè Dal punto di vista energetico, invece, Lenergia totale del circuito è costante e pari a U = U C + U L cioè, sostituendo: Derivando tale formula, si ottiene: esattamente come sopra. Unequazione di questo tipo è analoga a quella del moto armonico oscillante e può essere scritta come: la cui soluzione è e dove è chiamata frequenza caratteristica del circuito. La corrente vale invece Derivando e sostituendo, si ottiene per le energie: Per cui lenergia totale, che si conserva, si ridistribuisce ogni periodo nel condensatore e nellinduttanza.

2 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Carica, corrente, energia nel circuito LC (a)Condensatore completamente carico, i=0 (b)Condensatore in scarica, i aumenta (c)Condensatore completamente scarico, i=i max (d)Condensatore in carica, i diminuisce (e)Condensatore completamente carico ma con polarità opposta rispetto ad (a), i=0 (f)Condensatore in scarica, i aumenta ma nel verso opposto rispetto a (b) (g)Condensatore completamente scarico, i=i max (h)Condensatore in carica, i diminuisce

3 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Analogia elettricità - meccanica Il circuito oscillante LC ha una stretta analogia con loscillatore meccanico studiato in meccanica. Lequazione dellenergia delloscillatore meccanico può essere scritta come: che derivando si riduce a la cui soluzione è formalmente analoga a quella vista per la carica nel circuito LC, salvo una diversa definizione della pulsazione. Anche nelloscillatore meccanico, pertanto, avviene loscillazione dellenergia tra lenergia potenziale insita nel blocco e lenergia potenziale della molla.

4 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Oscillazioni smorzate in un circuito RLC Linserzione di una resistenza R in serie ad un circuito LC ha come conseguenza che lenergia elettromagnetica totale non è più costante, poiché vi è una perdita di energia per effetto Joule nella resistenza stessa. Questo si può vedere osservando in un oscilloscopio la curva della corrente in un circuito RLC serie. Ricordando che la potenza dissipata in una resistenza vale i 2 R, lequazione di conservazione dellenergia può essere scritta nella forma: o ancora, dopo qualche passaggio: la cui soluzione è scrivibile come: Tale espressione descrive un moto oscillatorio (cos) smorzato (exp). Lenergia elettromagnetica nel condensatore può essere scritta come: cioè lampiezza delle oscillazioni decresce esponenzialmente nel tempo. La frequenza delle oscillazioni smorzate è < minore di quella del caso senza resistenza.

5 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A La corrente alternata Si consideri una spira rotante con velocità angolare costante di sezione A immersa nel campo magnetico B. Langolo tra la direzione del campo magnetico e la normale alla spira (che è anche la direzione del momento magnetico ) varia nel tempo come: = t per cui il flusso del campo magnetico attraverso la spira vale: Pertanto, la f.e.m. originata dalla variazione temporale del flusso del campo magnetico è: Nel caso invece di una spira vi sia una bobina con N spire, la f.e.m. diventa: E se il circuito è connesso ad un utilizzatore con carico R, la corrente e la potenza possono essere espresse come:

6 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Circuito resistivo sotto f.e.m. alternata La legge di Kirchhoff dice che E – v R = 0 dove la tensione alternata forzante del circuito vale E = E m sin g t il che porta a scrivere ovviamente v R = E m sin g t che può essere scritto come v R = V R sin g t con V R = E m. La corrente che fluisce nel circuito, per definizione di resistenza, vale: i R = I R sin g t con V R = I R R Questa equazione stabilisce che, in un circuito puramente resistivo, la corrente ha la stessa fase della tensione applicata. Le grandezze variabili tensione v R e corrente i R possono essere rappresentate graficamente con il metodo dei fasori (fasore: vettore di fase rotante attorno allorigine). Langolo di rotazione rispetto allasse x fornisce unindicazione della fase ( g t). La lunghezza del fasore rappresenta lampiezza (V R o I R ), mentre la sua proiezione sullasse verticale rappresenta il valore della grandezza al tempo t. Il fatto che la corrente ha la stessa fase della tensione applicata è intuibile osservando che i due vettori tensione e corrente sono sovrapposti.

7 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Circuito capacitivo sotto f.e.m. alternata La legge di Kirchhoff dice che E – v C = 0 dove E = E m sin g t il che porta a scrivere ovviamente v C = V C sin g t con V C = E m. La carica sulle armature del condensatore, per definizione di capacità C, è: q C = C v C = C V C sin g t La corrente nel circuito è la derivata di q C, cioè: i C = dq C / dt = g C V C cos g t = V C / X C sin ( g t + 90°) con ed anche V C = X C I C dove X C è chiamata reattanza capacitiva del condensatore. Si noti che la reattanza capacitiva, grandezza che ha le dimensioni di una resistenza, dipende non soltanto da C ma anche da. Questa equazione stabilisce che, in un circuito puramente capacitivo, la corrente e la tensione sono sfasate di 90°. In particolare, la corrente è in anticipo di fase di un quarto di periodo. Questo fatto è visibile osservando che il fasore della corrente è spostato di 90° verso sinistra (in anticipo) rispetto al fasore della tensione.

8 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Circuito induttivo sotto f.e.m. alternata La legge di Kirchhoff dice che E – v L = 0 dove E = E m sin g t il che porta a scrivere ovviamente v L = V L sin g t con V L = E m. La tensione ai capi di uninduttanza è data dalla legge di Lenz: E combinando tali equazioni si ottiene: Introducendo la reattanza induttiva dellinduttanza: X L = g L si ha V L = X L I L e la corrente può essere espressa come: i L = V L / X L sin ( g t - 90°) Si noti che anche la reattanza induttiva ha le dimensioni di una resistenza e dipende non soltanto da L ma anche da. Questa equazione stabilisce che, in un circuito puramente induttivo, la corrente e la tensione sono sfasate di 90°. In particolare, la corrente è in ritardo di fase di un quarto di periodo. Questo fatto è visibile osservando che il fasore della corrente è spostato di 90° verso destra (in ritardo) rispetto al fasore della tensione.

9 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A e, sostituendo i valori delle ampiezze delle d.d.p., si ottiene Em 2 = (I R) 2 + (I X L - I X C ) 2 cioè: dove è chiamata impedenza. Per quanto riguarda langolo di sfasamento f, osservando i fasori si intuisce che: Circuito RLC serie sotto f.e.m. alternata Si consideri ora un circuito RLC serie forzato da una tensione alternata (sinusoidale) E = E m sin g t. Si ipotizzi che la corrente risultante possa essere messa nella forma i = I sin ( g t - ). Osservando i tre fasori, si nota come i fasori V C e V L giacciano sulla stessa direzione, ortogonale a quella di V R, per cui, dal punto di vista dei fasori, si ha: Em 2 = V R 2 + (V L - V C ) 2

10 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Sfasamenti e risonanza A seconda dei valori delle reattanze si hanno alcuni casi particolari. Se X L > X C il circuito è prevalentemente induttivo la corrente è in ritardo di fase rispetto alla tensione Se X C > X L il circuito è prevalentemente capacitivo la corrente è in anticipo di fase rispetto alla tensione Se X L = X C il circuito è detto in risonanza e =0. In queste condizioni è come se L e C non ci fossero ed inoltre si ha:

11 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A La potenza nei circuiti a corrente alternata Nota la corrente in un circuito RLC i = I sin ( g t - ), la potenza istantanea dissipata sulla resistenza può essere calcolata come: P = i 2 R = I 2 R sin 2 ( g t - ) Risulta tuttavia più utile avere unespressione della potenza media, cioè integrata mediando nel tempo tale equazione (almeno su un periodo). Si ha: dove la grandezza I qm è definita valore quadratico medio della corrente. Allo stesso modo sono definibili i valori quadratici medi delle altre grandezze, e si ha: Gli amperometri ed i voltmetri sono in genere tarati per misurare i valori quadratici medi. Ad esempio, il valore di 220 volt per la tensione di rete è un valore quadratico medio. Inoltre, si può ricavare la seguente relazione: La variabile cos è detta fattore di potenza. Dal punto di vista dellutilizzatore del circuito (la resistenza R), la potenza è massima se cos cioè se Z = R (circuito in condizioni di risonanza). Si noti che

12 Lezione n. 12Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A I trasformatori In un circuito puramente resistivo la potenza fornita dal generatore vale P = V I = E I e quella dissipata nella resistenza vale (valori q.m.) P = R I 2 Si vede come la potenza dissipata vari con il quadrato della corrente. Un circuito efficiente deve quindi trasportare un segnale elettrico a bassa corrente ed alta tensione. Gli strumenti che variano a parità di potenza tensione e corrente sono i trasformatori elettrici. Essi non hanno parti mobili ed operano grazie alla legge dellinduzione di Faraday. Un trasformatore consiste in due bobine con un diverso numero di spire N p e N s (di resistenza trascurabile) avvolte sullo stesso nucleo di Fe. Lavvolgimento connesso al generatore è detto primario, mentre laltro, connesso al circuito utilizzatore, è detto secondario. Se il tasto S è aperto, i due circuiti sono per ipotesi puramente induttivi, per cui nel primario la corrente è in ritardo rispetto a V p di 90°, e cos =1. Allinterno del nucleo di Fe la legge dellinduzione di Faraday prevede che: e quindi la relazione tra le due d.d.p. vale Se N p > N s il trasformatore è detto riduttore, mentre se N s > N p è detto elevatore. Connettendo il secondario al carico R, nel secondario circola una corrente alternata I s e su R viene dissipata la potenza P s = R I s 2 La corrente I s induce nel primario una d.d.p. che lo costringe a generare una corrente alternata I p per mantenere costante la tensione V p Essendo I p V p = I s V s si ha che la relazione tra le correnti è: da cui si ottiene e finalmente è quella vista dal primario.


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