Corso di Elettrotecnica (Allievi aerospaziali)

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1 Corso di Elettrotecnica (Allievi aerospaziali)
Reti Elettriche Parte II Revisione aggiornata al 14 aprile 2011 (

2 Corso di Elettrotecnica
Lezione del giorno 11 aprile 2011

3 Circuiti in regime lentamente variabile

4 Bipoli elementari lineari

5 Bipoli resistenza e induttanza
In regime stazionario equivale ad un corto circuito ideale

6 Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente

7 Flusso di autoinduzuine
La corrente i crea B(t) e il flusso di autoinduzione γ concatenato con la spira orientata γ. Se γ è immersa in un mezzo lineare: γ=f(i)=Li L è il coefficiente di autoinduzione [Henry].Se il verso di γ è concorde con il verso di i, per i>0 γ>0 e per i<0 γ<0 → L= γ/i>0

8 Esempi di realizzazione del bipolo induttanza
Nella spira attraversata da i(t) insorge la f.e.m. e(t): in cui φγ è il flusso d’autoinduzione Li. LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R:

9 Esempi di realizzazione del bipolo induttanza

10 Esempio di realizzazione del bipolo capacità
Dato il condensatore piano C la LKT fornisce: v-vC=Ri≈0 C v=vC v(t) q=cvC

11 Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale

12 Richiami sulle funzioni periodiche
Si dice periodica una funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli" regolari T. Si ha: Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale relazione.

13 Richiami sulle funzioni periodiche
La frequenza è il numero di cicli in un secondo: f=1/T [Hertz] La pulsazione è la quantità: ω=2πf=2π/T [Rad/sec] Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità: indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f: (valore quadratico medio)

14 Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace
Regime periodico Regime stazionario p=vi=Ri2 P=VI=RI2 Energia assorbita nell’intervallo T I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS

15 Circuiti in regime lentamente variabile
Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

16 Grandezze sinusoidali
AM ampiezza α fase Valore efficace: Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s

17 Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione geometrica nel piano complesso Rappresentazione algebrica z=x+jy dove j è l’unità immaginaria definita da j2=-1. x è la parte reale di z y la parte immaginaria z è indicato anche come (x ,y). P è l’immagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari. z è l’affissa complessa di P

18 Richiami sui numeri complessi
Complesso coniugato di z=x+jy: z*=x-jy Modulo di z: Argomento di z (anomalia del vettore OP) ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come z=[ρ, θ] Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso

19 Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione trigonometrica di z=x+jy: z=ρ(cosθ+jsin θ) Per la formula di Eulero ejθ=cosθ+jsinθ si ha la formulazione esponenziale complessa di z: z=[ρ, θ]= ρ ejθ

20 Operazioni sui numeri complessi
SOMMA

21 Prodotto di numeri complessi
Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

22 Divisione di numeri complessi
Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

23 I vettori rotanti La grandezza sinusoid.
è compiutamente identificata da A, α e ω, come la grandezza: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le Si ha:

24 I fasori Fissata ω, è compiutamente identificata da A e α, come il fasore definito da: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori nel campo complesso. α

25 Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali
b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dell’angolo φ

26 Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali
a(t) è sfasata in anticipo rispetto a b(t) dell’angolo │φ│

27 Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali
a(t) e b(t) sono in fase

28 Le operazioni sulle grandezze sinusoidali
Date dove: O

29 Applicazione dei fasori nello studio delle reti in regime sinusoidale
Date i1(t), i2(t) e i3(t) calcolare i(t).

30 Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante
Date: ed una costante reale k>0, α

31 Derivata temporale di una grandezza sinusoidale
Data α

32 Prodotto di un fasore per un numero complesso

33 Prodotto di grandezze sinusoidali

34 Bipolo resistenza in regime sinusoidale Dominio dei fasori
Dominio del tempo impedenza

35 Bipolo induttanza in regime sinusoidale Dominio dei fasori
Dominio del tempo impedenza Reattanza

36 Bipolo capacità in regime sinusoidale Dominio dei fasori
Dominio del tempo Impedenza Reattanza

37 Bipolo R-L in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT
Dominio dei fasori

38 Bipolo R-L in regime sinusoidale φ=arctg(ωL/R) Dominio del tempo
i(t) costituisce un integrale particolare dell’equazione differenziale

39 Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
L’integrale generale dell’equazione differenziale: è dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) (trascurabile per t>5T)

40 transitorio (v(t) sinusoidale)
Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω, per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms e dopo circa 16 ms il termine transitorio ke-t/T è trascurabile. Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ . La corrente i nell’induttanza è una variabile di stato, per cui i(0+)=i(0-). Se I0=[i(t)]t=0- imponendo i(0+)=I0 si ha: Se il circuito è inizialmente a riposo I0=0

41 Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)

42 Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT
Dominio dei fasori

43 Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo

44 transitorio (v(t) sinusoidale)
Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale) L’integrale generale dell’equazione differenziale è: dove vcp(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata RCλ+1=0 (T=RC costante di tempo)

45 transitorio (v(t) sinusoidale)
Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale) Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ . La tensione vC è una variabile di stato, per cui vC(0+)=vC (0-). Se V0=[vC(t)]t=0- imponendo vC(0+)=V0 si ha: La i è data da: Se la capacità è inizialmente scarica V0=0.

46 Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale)

47 Bipoli R-L e R-C in regime stazionario
v(t)=V (costante) v(t)=V (costante) vR=0 vC=V vR=V vL=0 i=0 i=V/R

48 Risposta del bipolo R-L ad un gradino di tensione
L’integrale generale dell’equazione è: T=L/R Imponendo i(0+)=i(0-)=0:

49 Risposta del bipolo R-C ad un gradino di tensione
L’integrale generale dell’equazione è: T=RC Imponendo vc(0+)=vc(0-)=0 si ha k=-V.

50 Bipoli R,L,C in regime sinusoidale
R=A B>0 B<0 R=A R=A

51 Ammettenza di un bipolo

52 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale

53 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
LKT LKT LKC LKC

54 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
Millmann Millmann

55 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Thévenin in regime stazionario Bipolo di Thévenin in regime sinusoidale

56 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Norton in regime stazionario Bipolo di Norton in regime sinusoidale

57 Impedenze in serie

58 Impedenze in parallelo

59 Bipolo R-L-C e risonanza Impedenza
L’impedenza del bipolo è: il bipolo è in risonanza se: ω0 pulsazione di risonanza.

60 Bipolo R-L-C e risonanza Corrente
Valore efficace della corrente Se Il valore massimo di I si ha per ω=ω0 ed è pari a V/R

61 Bipolo R-L-C e risonanza. Fase
Lo sfasamento φ: φ<0 per ω<ω0 il bipolo è equivalente a un bipolo R-C φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente al bipolo R φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente al bipolo R

62 Bipolo R-L-C e risonanza Fattore di merito
Per ω=ω0 si ha: ω=ω0 Q fattore di merito

63 Bipolo R-L-C e risonanza Selettività
La potenza massima assorbita dal bipolo si ha in ω=ω0: Pmax=RI2 In A e B la potenza P=Pmax/2. Δω è la larghezza di banda. Quanto più stretta è la banda tanto più selettivo è il bipolo. Al diminuire di R cresce Q=ω0L/R e Δω diminuisce.

64 Bipolo R-L-C e risonanza Influenza di R