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Tor Vergata M. Salerno Fasori 1 Grandezze sinusoidali Funzioni di tipo sinusoidale f(t) = F cos ( t + ) p.es. tensioni, correnti, potenze f(t) t F Ampiezza.

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1 Tor Vergata M. Salerno Fasori 1 Grandezze sinusoidali Funzioni di tipo sinusoidale f(t) = F cos ( t + ) p.es. tensioni, correnti, potenze f(t) t F Ampiezza l ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.) F - F variazione di ampiezza f(t) t t + Fase (o argomento) fase in radianti (più raramente in gradi) Pulsazione pulsazione in radianti al secondo (rad/s) t = 2 f t = 2 t / T = 2 f = 2 / T f : frequenza Hertz (Hz) KHz, MHz, GHz T : periodo variazione di frequenza f(t) t Fase (iniziale) in radianti (rad); raramente in gradi è la fase t + per t = 0 variazione di fase

2 Tor Vergata M. Salerno Fasori 2 Numeri Complessi (introduzione) Nella analisi dei circuiti elettrici (e in gran parte dellingegneria) le grandezze sinusoidali sono trattate con lalgebra dei numeri complessi Nozioni necessarie: rappresentazione di numeri complessi come vettori rappresentazione cartesiana algebra elementare (quattro operazioni) rappresentazione polare formula di Eulero Nellanalisi dei circuiti, il termine vettore è usato spesso come sinonimo di numero complesso. Ciò non è vero in altri campi della scienza e della tecnica

3 Tor Vergata M. Salerno Fasori 3 Im Re piano complesso Numeri Complessi (piano complesso) Unità immaginaria j = -1 ; j 2 = - 1 Numero complesso (forma cartesiana) Z = a + j b Notazione : a = Re[ Z ] ; Re[. ] parte reale b = Im[ Z ] ; Im[. ] parte immaginaria Z a bZ = a+jb Numero coniugato : Z* = a - jb Z*Z* -b Risulta : Z + Z* = a+jb + a-jb = 2a = 2 Re[ Z ] Notazione : Z (senza sottolineatura) = | Z | modulo di Z (lunghezza del vettore) | Z | = a 2 +b 2

4 Tor Vergata M. Salerno Fasori 4 Numeri Complessi (algebra) Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d) Sottrazione : (a + j b) - (c + j d) = (a-c) + j (b-d) Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac - bd) + j (ad + bc) Norma : Z Z* = (a + jb) (a - jb) = a 2 + b 2 = | Z | 2 = Z 2 Divisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(c-jd)/(c 2 +d 2 ) Im Re Somma Z 1 = -1 + j Z1 Z1 Z 2 = 1 -2 j Z2 Z2 Z s = Z 1 + Z 2 = - j Per sommare due o più vettori si disegnano in successione. Il vettore somma è il vettore congiungente lorigine del primo con il vertice dellultimo Im Re Z1 Z1 Z2 Z2 Zs Zs Im Re Somma algebrica Im Re Z1 Z1 Z2 Z2 Z3Z3 Z 1 – Z 2 + Z 3 Zs Zs

5 Tor Vergata M. Salerno Fasori 5 Numeri Complessi (forma polare) Numero complesso (forma polare) Z = ( cos + j sin ) Cartesiana Z = a + j b Cartesiana Polare a = cos a = cos b = sin b = sin Cartesiana Polare = | Z | = a 2 + b 2 = | Z | = a 2 + b 2 atg ( b / a ) per a > 0 atg ( b / a ) + per a < 0 = = Im Re Im Re Z 1 = 1 + j 1 1 /4 2 = 2 = atg (1) = /4 modulo modulo fase (argomento) fase (argomento) Im Re Im Re Z 1 = j 2 /4 = 2 = atg (1) + = = /4 +

6 Tor Vergata M. Salerno Fasori 6 Numeri Complessi (formula di Eulero) Esponenziale Definizione dellespressione e j Definizione dellespressione e j Nel campo dei numeri reali e = lim (1 + 1 / m ) m m e base dei logaritmi naturali Calcolo di e b ( b reale) e b = lim (1 + 1 / m ) mb m Ponendo m b = n ( m = n/b ) : e b = lim (1 + b / n ) n n Questa espressione è utilizzata per definire e j Questa espressione è utilizzata per definire e j e j = lim ( 1 + j / n ) n n Proprietà dellespressione lim ( 1+ j / n ) n n Si ponga, ad esempio, = 1,2 e si determini = 1,2 e si determini ( 1 + j 1,2 / n ) k con k = 0, 1, 2, …, n e n = 1000 Im Re 1 I numeri calcolati si dispongono con ottima approssimazione su un arco di cerchio di raggio 1. La lunghezza dellarco è pari a 1,2 (cioè il valore di ). Pertanto langolo è pari a (in radianti) Il numero (1 + j 1,2 / n ) n con n = 1000 corrisponde allestremo dellarco Si dimostra : Im Re 1 1 Modulo: | e j | = lim | 1+ j / n | n = 1 n Argomento Arg [ e j ] = = lim Arg [ (1+ j / n ) n ] = = lim Arg [ (1+ j / n ) n ] = n In forma polare e j = cos + j sin e j = cos + j sin Formula di Eulero Numero complesso (forma polare) Z = ( cos + j sin ) espressione trigonometrica = e j = e j espr. esponenziale

7 Tor Vergata M. Salerno Fasori 7 Dalla formula di Eulero e j = cos + j sin e j = cos + j sin e -j = cos - j sin e -j = cos - j sin cos = (e j + e -j )/2 cos = Re [ e j ] Espressione del coseno I numeri e j e e -j sono complessi coniugati Le due espressioni di cos sono assolutamente equivalenti La seconda espressione di cos si può ottenere dalla prima (la semisomma di due numeri complessi coniugati è sempre pari alla parte reale di uno dei due) oppure sommando membro a membro le espressioni di e j e di e - j f(t) = F cos ( t + ) = F Re [e j( t + ) ] = tenendo conto che F è reale = Re [ F e j e j t ] = F = F e j F = F e j fasore = Re [ F e j t ] = F* = F e -j = [ F e j t + F* e -j t ] 12

8 Tor Vergata M. Salerno Fasori 8 Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori f(t) = F cos ( t + ) funzione F = F e j F = F e j fasore Lampiezza F della funzione corrisponde allampiezza F (modulo) del fasore La fase (iniziale) della funzione corrisponde alla fase del fasore La pulsazione della funzione non è rappresentata dal fasore Si possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna con la propria ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota e uguale per tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali) = 2 f = 2 f assegnata Vi è una corrispondenza biunivoca fra funzioni e fasori Analisi dei circuiti con il metodo dei fasori Ipotesi Tutte le funzioni relative a tensioni e correnti del circuito sono sinusoidali (con ampiezze e fasi diverse) Tutte le pulsazioni (frequenze) sono uguali Metodo Trasformare tutte le funzioni note in fasori Risolvere il circuito considerando solo fasori (il calcolo è più semplice di quello effettuato direttamente nel tempo) Trasformare i fasori dinteresse nelle funzioni corrispondenti Notazione La lettera F ha vari significati: f (minuscolo) è la funzione del tempo f(t) F (maiuscolo) è lampiezza (modulo) F (maiuscolo e sottolineato) è il fasore ( ovviamente risulta F = | F | )

9 Tor Vergata M. Salerno Fasori 9 Trasformazione: Fasori (trasformazioni) funzione sinusoidale in fasore f(t) = F cos ( t + ) 1. Esprimere la funzione in forma standard F = F e j F = F e j 2. Identificare il fasore con ampiezza e fase Esempio f(t) = 4 cos ( t + ) F = 4 e j F = 4 (cos + j sin ) F = j 2 2 Im Re 4 Esempio Im Re f(t) = 3 sin 5 t = 3 cos ( 5 t – / 2 ) F = 3 e - j 3 = - 3 j

10 Tor Vergata M. Salerno Fasori 10 Fasori (trasformazioni) Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale f(t) = F cos ( t + ) 2. Identificare la funzione sinusoidale F = F e j F = F e j 1. Esprimere il fasore in forma polare Esempio Im Re F = -1 + j j 2 3 / 4 2= e j 3 / 4 f (t) = cos ( t + 3 / 4 ) 2 Poiché non è stato assegnato, non può essergli attribuito alcun valore Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale Metodo alternativo f (t) = Re [F e j t ] Applicare lespressione diretta Esempio Im Re j F = -1 + j f (t) = Re [ (-1 + j ) e j t ] = = Re [ (-1 + j ) (cos t + j sin t ) ] = basta calcolare i termini della parte reale del prodotto = - cos t - sin t Esempio Im Re j da F = -1 + j si è ottenuto f (t) = cos ( t + 3 / 4 ) 1° metodo 2 f (t) = - cos t - sin t 2° metodo le due espressioni sono equivalenti e si possono ricavare luna dallaltra con il calcolo trigonometrico

11 Tor Vergata M. Salerno Fasori 11 Im Re Si consideri un fasore F F Fasori (metodo grafico) Trasformazione grafica di fasori in funzioni f (t) = Re [F e j t ] R = F e j t 1. R = F e j t f (t) = Re [ R ] 2. f (t) = Re [ R ] vettore rotante Il vettore rotante R = F e j t ha le seguenti proprietà : c) il suo argomento cresce con il tempo a) | R | =| F | ( poiché |e j t | =1 ) b) è funzione del tempo ( F non lo è) R descrive un cerchio con velocità angolare f ( f giri al secondo) In un insieme di grandezze isofrequenziali tutti i vettori rotanti girano alla stessa velocità mantenendo le reciproche differenze di fase Il fasore F è pari al vettore rotante R per t = 0 La funzione sinusoidale è data dalla parte reale di R (la proiezione di R sullasse reale) f(t) t Im Re F F -F Re [F ] per t = 0, f(t) è decrescente

12 Tor Vergata M. Salerno Fasori 12 Ipotesi v(t), i(t) sinusoidali Bipoli in regime permanente + v(t) i(t) v(t) = V cos ( t + ) i(t) = I cos ( t + ) Si dice che il bipolo è in regime permanente Fasori di tensione e corrente: V = V e j V = V e j I = I e j I = I e j = Re[ V e j t ] = Re[ I e j t ] Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo bipolo nel dominio del tempo Indicando i fasori invece delle grandezze nel tempo si ottiene Il bipolo nel dominio dei fasori + V I bipolo nel dominio dei fasori Il bipolo nel dominio dei fasori è utilizzato solo a scopi di calcolo Nel bipolo reale le grandezze elettriche sono sempre funzioni reali del tempo

13 Tor Vergata M. Salerno Fasori 13 Potenza in regime permanente + V I bipolo nel dominio dei fasori Potenza (entrante) p(t) = v(t) i(t) In regime permanente p(t) = Re[ V e j t ] Re[ I e j t ] = (V e j t + V* e -j t ) ( I e j t + I* e –j t ) = 14 (V I e j2 t + V* I* e –j2 t + V I* + V* I ) = = Re [ V I e j2 t ] + Re [ V I* ] = Re [ V I e j2 t ] + Re [ V I* ]12 Landamento nel tempo della potenza in regime permanente consta di due termini: il primo dipende dal tempo ed è di tipo sinusoidale con pulsazione 2, il secondo è un termine costante

14 Tor Vergata M. Salerno Fasori 14 Potenza attiva + V I 12 p(t) = Re [ V I e j2 t ] + Re [ V I* ] 1 2 In contrapposizione p(t) è detta potenza istantanea P a = Re [ V I* ] 1 2 Si definisce potenza attiva P a = Re [ V I* ] 12 = Re [V e j I e -j ] 12 = V I cos ( – ) 12 Definiti i valori efficaci V eff = V 1 2 I eff = I 12 detto = – = – si ha P a = V eff I eff cos P a = V eff I eff cos I valori efficaci sono molto usati in campo tecnico. Essi permettono di eliminare il fattore 1 / 2 in tutte le espressioni della potenza in regime permanente. P. es., i valori di tensione di 127 V e 220 V, utilizzati nella distribuzione di energia elettrica, sono valori efficaci. Con i valori efficaci si ha v(t) = V eff cos ( t + ) 2 i(t) = I eff cos ( t + ) 2

15 Tor Vergata M. Salerno Fasori 15 t p(t) Andamento potenza istantanea p(t) = ½ Re[V I e j2 t ] + P a Potenza attiva + V I P a = Re [ V I* ] = V eff I eff cos P a = Re [ V I* ] = V eff I eff cos 12 Im Re V I PaPa /2 Potenza attiva in funzione di P a ( ) = P a (- ) funzione pari potenza attiva in Watt (W) La misura della potenza attiva, come valore medio della potenza istantanea, richiede particolari cautele per valori di frequenza f molto bassi. In questi casi il periodo T = 1/f risulta elevato, rendendo difficile la misura (o la determinazione) del valore medio. P. es., per f = 0.1 Hz, risulta T = 10 s. In questo caso la media deve essere effettuata su un intervallo pari a un multiplo esatto di 5 s, oppure su un intervallo molto maggiore di 10 s. PaPa Loscillazione ha periodo T/2 poiché la frequenza è doppia di quella di v(t) e i(t) T/2 Lampiezza delloscillazione è pari a ½VI = v eff i eff > | P a | Andamento potenza istantanea p(t) La potenza attiva P a è pari al valore medio di p(t) La media deve essere fatta su un intervallo pari a k T/2 (k intero) oppure La media deve essere fatta su un intervallo molto maggiore di T Per f = 0, le grandezze elettriche tensione e corrente, sono costanti. In questo caso si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua ( c.c. ) ed è erroneo considerare la potenza attiva. Infatti, in questo caso si ha = 0, V = V (reale), I = I (reale) p(t) = Re [ V I e j2 t ] + Re [ V I* ] = Re [ V I ] + Re [ V I ] = V I

16 Tor Vergata M. Salerno Fasori 16 Potenza complessa e reattiva + V I P a = Re [ V I* ] 12 Q = Im [ P c ] = Re [ P c ] potenza complessa P c = V I* 1 2 ove si è posto La potenza complessa è una grandezza vettoriale P c = P a + j Q Q = Im [ V I* ] 1 2 potenza reattiva Q = Im [ V I* ] 1 2 = Im [ V e j I e - j ] 1 2 = V I sin ( – ) 1 2 Q = V I sin 1 2 = V eff I eff sin Q = Im [ V I* ] = V eff I eff sin Q = Im [ V I* ] = V eff I eff sin 1 2 Potenza reattiva in funzione di t = 2 f t = 2 t / T Q /2 Q( ) = - Q(- ) funzione dispari potenza reattiva volt-ampère reattivi (VAR) Potenza apparente P app = V I 1 2 = V eff I eff La potenza apparente è utilizzata per caratterizzare quei dispositivi in cui interessano i moduli di tensione e corrente, ma non la loro differenza di fase potenza apparente volt-ampère (VA)

17 Tor Vergata M. Salerno Fasori 17 v(t) = R i(t) Resistore + R v(t) = R i(t) Nel dominio del tempo In regime permanente Re[ V e j t ] = R Re[ I e j t ] = Re[ R I e j t ] essendo R reale Nel dominio dei fasori V = R I V e j = R I e j V e j = R I e j V = R I = V = R I = In un resistore, il modulo della tensione è pari al modulo della corrente moltiplicato per R In un resistore, la fase della tensione è uguale alla fase della corrente Im Re V I Il vettore della tensione V e il vettore della corrente I sono in fase Se si considerano i vettori rotanti associati a V e I, anche questi rimangono in fase per ogni t, essendo la frequenza la stessa t v(t), i(t)

18 Tor Vergata M. Salerno Fasori 18 Resistore (potenza) + R V = R I Potenza attiva potenza attiva in Watt (W) 1 2 P a = Re [ V I* ] = Re [ R I I* ] = 12 = R I 2 = R I eff 2 = R I 2 = R I eff 212 = G V eff 2 = G V eff 2 = 0 cos = 1 = 0 cos = 1 Potenza reattiva Si ricordi che I I* = | I | 2 = I Q = Im [ V I* ] = Im [ R I I* ] = 0 12 Si ricordi che I I* è reale Si ricordi che = e quindi = – = 0 t p(t) Andamento della potenza istantanea p(t) su un resistore PaPa

19 Tor Vergata M. Salerno Fasori 19 v(t) = L d i(t) / d t Induttore + v(t) = L d i(t) / d t L Nel dominio del tempo In regime permanente Re[ V e j t ] = L Re[ I e j t ] = d d t d t = Re[L I e j t ] d d t d t L è reale e I è costante = Re[ j L I e j t ] V = j L I Nel dominio dei fasori V = j L I j L impedenza V = j L I V e j = j L I e j V e j = j L I e j j = e j V e j = L I e j ( + /2) V = L I ; = + / 2 = + / 2 V = L I = L reattanza In un induttore, il fasore della tensione V è pari al fasore della corrente I moltiplicato per limpedenza dellinduttore j L In un induttore, il modulo della tensione V è pari al modulo della corrente I moltiplicato per la reattanza dellinduttore L In un induttore, la fase della tensione è pari alla fase della corrente più Im Re V I In un induttore, il fasore della corrente I è in ritardo di fase di /2 (90°) rispetto al fasore della tensione V Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di V e dopo 90° quello di I t v(t), i(t) v i

20 Tor Vergata M. Salerno Fasori 20 Induttore (potenza) + L V = j L I Potenza reattiva potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR) 1 2 Q = Im [ V I* ] = Im [ j L I I* ] = 12 = L I 2 = L I eff 2 = L I 2 = L I eff 212 = /2 cos = 0 = /2 cos = 0 Potenza attiva 1 2 P a = Re [ V I* ] = Re [ j L I I* ] = 0 12 > 0> 0> 0> 0 La potenza reattiva assorbita da un induttore non è mai negativa Andamento della potenza istantanea p(t) su un induttore t p(t) P a = 0

21 Tor Vergata M. Salerno Fasori 21 i(t) = C d v(t) / d t Condensatore i(t) = C d v(t) / d t C + Nel dominio del tempo In regime permanente Re[ I e j t ] = C Re[ V e j t ] = d d t d t C è reale e V è costante = Re[C V e j t ] d d t d t = Re[ j C V e j t ] I = j C V Nel dominio dei fasori I = j C V j C ammettenza I = j C V I e j = j C V e j I e j = j C V e j I = C V ; = + / 2 = + / 2 I e j = C V e j ( + /2) j = e j I = C V = C suscettanza In un condensatore, il fasore della corrente I è pari al fasore della tensione V moltiplicato per lammettenza del condensatore j C In un condensatore, il modulo della corrente I è pari al modulo della tensione V moltiplicato per la suscettanza del condensatore C Im Re In un condensatore, la fase della corrente è pari alla fase della tensione più V I In un condensatore, il fasore della corrente I è in anticipo di fase di /2 (90°) rispetto al fasore della tensione V Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di I e dopo 90° quello di V t v(t), i(t) v i

22 Tor Vergata M. Salerno Fasori 22 Condensatore: potenza C I = j C V + Potenza reattiva potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR) = - C V 2 = - C V eff 2 = - C V 2 = - C V eff 212 = - /2 cos = 0 = - /2 cos = 0 Potenza attiva 1 2 P a = Re [ V I* ] = Re [- j C V V* ] = Q = Im [ V I* ] = Im [- j C V V* ] = 12 Si ricordi che I* = - j C V* < 0< 0< 0< 0 La potenza reattiva assorbita da un condensatore non è mai positiva Andamento della potenza istantanea p(t) su un condensatore t p(t) P a = 0

23 Tor Vergata M. Salerno Fasori 23 Impedenza Ammettenza Reattanza Suscettanza Induttore Condensatore Im [ I / V ] Im [ V / I ] Y = I / V Z = V / I definizione Dualità in regime permanente Le formule in regime permanente degli induttori e dei condensatori si possono ricavare in base al principio di dualità, eccetto quelle relative alla potenza reattiva ( Q = ½ Im [V I*] non è invariante rispetto allo scambio di V e I ) Esempio:V = j L I è duale rispetto a I = j C V j L j C L C 1 / j C 1 / j L - 1 / L - 1 / C A frequenza f = / 2 = 0, le tensioni e le correnti sono costanti e si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua (c.c.). In alcune applicazioni, si considera il caso di una frequenza molto elevata, che si può indicare come regime di frequenza infinita f = / 2 = I regimi in corrente continua (c.c.) e di frequenza infinita sono duali. Equivalenze corr. cont. = 0 freq. infinita = Z = j L corto circuito circuito aperto Z = 1 / j C circuito aperto corto circuito

24 Tor Vergata M. Salerno Fasori 24 Induttore reale RSRS L RPRP I V + VLVL + ILIL IRIR Im Re ILIL VLVL IRIR I RS IRS I V Induttore ideale per RSRS RPRP 0 Si assegni un valore arbitrario a I L I R = V L / R P I = I L + I R V = V L + R S I Si definisce fattore di merito dellinduttore Q L = tg per linduttore ideale V L = j L I L La scelta di un valore arbitrario per I L non è una limitazione. Im Re VLVL I V ILIL Il nuovo diagramma differisce dal precedente per un fattore di scala e una rotazione. I rapporti fra le ampiezze e le differenze delle fasi sono rimaste invariate (in particolare langolo

25 Tor Vergata M. Salerno Fasori 25 Condensatore reale C R Condensatore ideale per R Si assegni un valore arbitrario a V V + Im Re V I C = j C V ICIC ICIC I R = V / R IRIR IRIR I I = I C + I R I Si definisce fattore di merito del condensatore Q C = tg per il condensatore ideale

26 Tor Vergata M. Salerno Fasori 26 Connessioni elementari + V I In regime permanente si ha V = Z I Z impedenza I = Y V Y ammettenza Y =1 / Z Limpedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della corrente, permette di ottenere il fasore della tensione Lammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della tensione, permette di ottenere il fasore della corrente Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria. Connessioni elementari Serie Z1Z1 Z2Z2 + V1V1 + V2V2 I V 1 = Z 1 I ; V 2 = Z 2 I V 1 + V 2 = (Z 1 + Z 2 ) I Z = Z 1 + Z 2 Parallelo Y1Y1 Y2Y2 + V I1I1 I2I2 I 1 = Y 1 V ; I 2 = Y 2 V I 1 + I 2 = (Y 1 + Y 2 ) V Y = Y 1 + Y 2 1/Z = 1/ Z 1 + 1/ Z 2 Z = Z 1 Z 2 / (Z 1 + Z 2 ) Z = Z 1 + Z 2 1/Y = 1/ Y 1 + 1/ Y 2 Y = Y 1 Y 2 / (Y 1 + Y 2 ) impedenza in Ohm ( ) ammettenza in Mho ( ) Esempio RSRS L RPRP A B C Z CB = j L R P / (j L + R P ) Z AB = Z CB + R S = = j L R P / (j L + R P ) + R S

27 Tor Vergata M. Salerno Fasori 27 Potenza reattiva in funzione di Z Potenza (impedenza, ammettenza) + Z I V Q = Im [ V I* ] 12 V = Z I Potenza attiva in funzione di Z Q = Im [ Z I I* ] = = Im [ Z ] I 2 = Im [ Z ] I eff 2 = Im [ Z ] I 2 = Im [ Z ] I eff 2 P a = Re [ V I* ] 12 V = Z I P a = Re [ Z I I* ] = = Re [ Z ] I 2 = Re [ Z ] I eff 2 = Re [ Z ] I 2 = Re [ Z ] I eff 2 Y Potenza attiva in funzione di Y I = Y V P a = Re [ V I* ] 12 P a = Re [ Y* V V* ] = = Re [ Y ] V 2 = Re [ Y ] V eff 2 = Re [ Y ] V 2 = Re [ Y ] V eff 2 Si ricordi che I* = Y* V* Re[Y*] = Re[Y ] Im[Y*] = -Im[Y] Potenza reattiva in funzione di Y I = Y V Q = Im [ V I* ] 12 Q = Im [Y* V V* ] = = - Im [ Y ] V 2 = - Im [ Y ] V eff 2 = - Im [ Y ] V 2 = - Im [ Y ] V eff 2

28 Tor Vergata M. Salerno Fasori 28 Rifasamento Impianti di distribuzione dellenergia elettrica V g + RgRg Carico A Carico B Carico C R g tiene conto della resistenza interna del generatore reale e di quella della linea di alimentazione. I carichi sono generalmente schematizzabili con un resistore in serie a un induttore parassita Carico L R Im Re I V + I VRVR VLVL V P a = V eff I eff cos Q = V eff I eff sin cos La potenza utile erogata ai morsetti AB è la potenza attiva. Occorre fare in modo che V AB e I siano il più possibile in fase (cos = 1, al generatore). Ciò si ottiene con il rifasamento dei carichi. V AB B A I

29 Tor Vergata M. Salerno Fasori 29 Rifasamento V g + RgRg L R C + V R Si assegni un valore arbitrario alla tensione V R Im Re corrente Im Re tensione V R I I = V R / R V L + V L = j L I V L + V C V C = V R + V L V C I C I C = j C V C I I C IgIg I g = I + I C I g V Rg + V Rg = R g I g V Rg V g = V Rg + V C V g V g e I g non sono parallele cos < 1 : il circuito non è rifasato Si determini la capacità C in modo da rifasare il circuito Se V C // I g allora anche V g // I g Im Re corrente Im Re tensione V R V L V C I ortogonale a V C direzione di I C I C I g Risulta V C // I g V Rg V g ; V g // I g Si è ottenuto cos = 1 Il circuito è rifasato Direzione di I g : Direzione di I C : direzione di V C parallela a V C Il rifasamento rende minimo il modulo I g I IgIg minimo

30 Tor Vergata M. Salerno Fasori 30 Im Re I V R V L V C Rifasamento V g + RgRg IgIg V Rg + L R C I I C + V C + V R V L + Calcolo della capacità C Metodo grafico I C Si considerino solo i moduli delle grandezze I C = C V C C = I C / ( V C ) I = I C R 2 + L 2 / L V C = V R 2 + V L 2 ; V L = L I I /I C = V C /V L V C = I R 2 + L 2 = I R 2 + L 2 / LI V C = I C (R 2 + L 2 ) / L C = L / (R 2 + L 2 ) A B Per il calcolo di C sono state usate solo grandezze del bipolo a destra dei morsetti AB Calcolo della capacità C Metodo analitico Si consideri il bipolo visto dai morsetti AB L R C A B Z AB Il bipolo è rifasato quando limpedenza Z AB (o lammettenza Y AB ) è puramente reale : si calcoli Y AB = 1 / Z AB Y AB = j C + 1 / (R + j L) = j C + (R - j L) / (R 2 + L 2 ) Im [Y AB ] = C - L / (R 2 + L 2 ) = 0 per C = L / (R 2 + L 2 ) In questo caso si ha Y AB = R / (R 2 + L 2 ) ; Z AB = (R 2 + L 2 ) / R Il bipolo rifasato è equivalente a un resistore R e = (R 2 + L 2 ) / R


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