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Tor Vergata M. Salerno Laplace 1 Esempio: interruttore ideale di apertura i(t) t v(t) t Interruttore ideale interruttore di chiusura v(t) + i(t) t = t.

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1 Tor Vergata M. Salerno Laplace 1 Esempio: interruttore ideale di apertura i(t) t v(t) t Interruttore ideale interruttore di chiusura v(t) + i(t) t = t 0 per t > t 0 i(t) = 0 v(t) = 0 per t < t 0 interruttore di apertura v(t) + i(t) t = t 0 Per t > t 0, v(t) è inderminata (dipende dal circuito) Per t < t 0, i(t) è inderminata (dipende dal circuito) p(t) = v(t) i(t) = 0 Potenza dissipata per t > t 0 v(t) = 0 i(t) = 0 per t < t 0 Caso reale Nellintervallo (intervallo di apertura), v(t), i(t) e la potenza dissipata p(t) sono diverse da zero. Gli interruttori sono caratterizzati da: lintervallo (interruttori rapidi, extrarapidi, ecc.) la massima corrente e la massima tensione

2 Tor Vergata M. Salerno Laplace 2 Scarica del condensatore C R t = 0 v C (t) + i(t) v R (t) + Il circuito è formato da tre componenti il condensatore C il resistore R linterruttore, che si chiude per t = 0 Si supponga che v C (t) = V 0, per t < 0 V 0 condizione iniziale Per t < 0 i(t) = 0 v C (t) = V 0 v R (t) = 0 Per t > 0, interruttore chiuso : v C (t) = v R (t) Determinazione equazione risolvente i(t) = - C d v C (t) / dt Attenzione ai segni coordinati sul condensatore = - C d v R (t) / dt = - C d R i(t) / dt RC di(t) / dt + i(t) = 0 Equazione risolvente RC di(t) / dt + i(t) = 0 Risoluzione equazione risolvente Si scelga i(t) = A e t RC A e t + A e t = 0 Equazione caratteristica RC + 1 = 0 = - 1 / RC i(t) = A e t / RC Integrale generale Calcolo dellintegrale particolare ; i(t) = A e t / RC Si definiscono gli istanti t = 0 - (lim per t 0 da sinistra) t = 0 + (lim per t 0 da destra) Non essendo possibili discontinuità di tensione sul condensatore v C ( 0 + ) = v C ( 0 - ) = V 0 i( 0 + ) = A e t / RC | t=0 = A = v C ( 0 + ) / R = V 0 / R i(t) = (V 0 / R) e t / RC integrale particolare lintegrale particolare è stato calcolato utilizzando la condizione iniziale

3 Tor Vergata M. Salerno Laplace 3 Scarica del condensatore C R t = 0 v C (t) + i(t) v R (t) + t < 0 i(t) = 0, v C (t) = V 0, v R (t) = 0 t > 0 i(t) = (V 0 / R) e t / RC v C (t) = v R (t) = V 0 e t / RC = RC costante di tempo e t / costante di tempo in secondi ( s ) t v C (t) V0V0 Dal valore di dipende la velocità di decadimento della tensione e della corrente R = 10 M, C = 1 mF, = 10 4 s (più di 2 ore e 45 minuti) R = 10, C = 10 pF, = s = 100 ps t v C (t) V0V0 grandi valori di piccoli valori di t v R (t) V0V0 Conservazione dellenergia Per t < 0, lenergia E C immagazzinata dal condensatore è E C = ½ C V 0 2 Per t > 0, lenergia E R assorbita dal resistore è: E R = R i 2 (t) dt - = R (V 0 /R ) 2 e – t / RC dt 0 = [ - ½ C V 0 2 e – t / RC ] 0 = ½ C V 0 2 t i (t) i(t) = (V 0 / R) e t / RC | t > 0 V 0 /R E R = ½ C V 0 2 E C = E R Determinazione dellarea Q della forma donda di corrente i(t) Q Q = i(t) dt 0 = (V 0 /R ) e – t / RC dt 0 = [ - C V 0 e – t / RC ] 0 = C V 0 Si ha Q = C V 0 indipendente da R Q è la quantità totale di carica elettrica che transita nel circuito per t > 0 t i (t) i(t) = (V 0 / R) e t / RC | t > 0 al variare di R V 0 /R R minore R maggiore Larea della forma donda i(t) è invariante rispetto a R

4 Tor Vergata M. Salerno Laplace 4 Analisi nel dominio del tempo Metodo di analisi di un circuito contenente interruttori: a)determinare lequazione differenziale risolvente Lordine dellequazione differenziale risolvente è detto ordine del circuito (il circuito RC è un circuito del primo ordine). Lordine di un circuito non è mai maggiore della somma del numero dei condensatori e degli induttori presenti b) determinare lintegrale generale Lintegrale generale dipende da un numero di costanti arbitrarie pari allordine del circuito c)determinare lintegrale particolare Le costanti arbitrarie presenti nellespressione dellintegrale generale devono essere calcolate in funzione delle condizioni iniziali (scelte fra le tensioni iniziali dei condensatori e le correnti iniziali degli induttori) Il metodo è detto analisi nel dominio del tempo perché tutte le grandezze elettriche considerate sono funzioni del tempo e le equazioni differenziali utilizzano il tempo come variabile indipendente In presenza di interruttori è spesso necessario suddividere lasse dei tempi in più tratti contigui ed effettuare analisi indipendenti Nel caso della scarica del condensatore è presente un solo interruttore che si chiude per t = 0 C R t = 0 V0V0 + Lanalisi è effettuata considerando i seguenti intervalli sullasse dei tempi: Intervallo t < 0. In questo intervallo lanalisi è banale, essendo il circuito aperto Intervallo 0 - < t < 0 +. In questo intervallo lanalisi è banale, poiché la condizione iniziale V 0 non subisce variazioni alla chiusura dellinterruttore Intervallo t > 0. In questo intervallo lanalisi è effettuata per mezzo di una equazione differenziale ordinaria del primo ordine. I n circuiti più complessi le analisi per t < 0 e per 0 - < t < 0 + possono risultare non banali. Lanalisi nellintorno di t = 0 nasce dal fatto che, quando scattano gli interruttori, il circuito si modifica e le grandezze elettriche possono cambiare istantaneamente

5 Tor Vergata M. Salerno Laplace 5 Funzione gradino unitario definizione u -1 (t) = 0 per t < 0 0 per t < 0 1 per t > 0 u -1 (t) t 1 il gradino unitario è una funzione discontinua utile per analizzare circuiti contenenti interruttori, evitando di suddividere lasse dei tempi in più tratti separati la funzione u -1 ( t ) non è definita per t = 0 Notazione Per il gradino unitario è usato il simbolo u -1 (t) perché questa funzione fa parte di un insieme numerabile di enti matematici, indicati con il simbolo u k (t) (che verranno definiti in seguito) In altre trattazioni sono spesso usate notazioni differenti Schemi equivalenti che utilizzano il gradino unitario generatore di tensione attivato per t = 0 v g (t) + B A t= 0 v g (t) u -1 (t) + B A In molte applicazioni lo schema di sinistra può essere sostituito con il seguente v g (t) + B A t = 0 generatore di corrente attivato per t = 0 i g (t) B A t = 0 i g (t) u -1 (t) B A

6 Tor Vergata M. Salerno Laplace 6 Funzione gradino unitario Rappresentazione di funzioni discontinue mediante gradini unitari Gradino di ampiezza A, traslato allistante t 0 f(t) = A u -1 (t - t 0 ) t f (t ) A t0t0 f(t) = A u -1 (t - t 0 ) t g( t ) Prodotto di un gradino traslato per una funzione g(t) f(t) = g(t) u -1 (t - t 0 ) t0t0 t f (t) t0t0 f(t) = g(t) u -1 (t - t 0 ) La funzione g(t ) è attivata per t > t 0 t f (t ) Funzione di tipo sinusoidale con inizio per t = 0 f(t) = F cos ( t + ) f 0 (t) = f(t) u -1 ( t ) f 0 (t) = F cos ( t + ) u -1 ( t ) t f 0 (t ) Attenzione: in tutte le applicazioni è essenziale distinguere la funzione f(t) [ andamento sinusoidale per ogni t ] dalla funzione f 0 (t) [ = 0 per t < 0 ] t f (t ) t0t0 A La funzione f(t) si può esprimere nel modo seguente f(t) = A [1 - u -1 ( t - t 0 )] Infatti per t < t 0 u -1 ( t - t 0 ) = 0 ; f(t ) = A per t > t 0 u -1 ( t - t 0 ) = 1 ; f(t) = 0 t g(t ) Si può disattivare la funzione g(t) per t > t 0 t0t0 t f(t ) t0t0 La funzione f(t) ha la seguente espressione f(t) = g(t) [1 - u -1 ( t - t 0 )] t f (t ) A T La funzione f(t) rappresenta un impulso di ampiezza A e durata T Essendo presenti due discontinuità ( per t = 0 e per t = T ), sono necessari due gradini unitari f(t) = A [u -1 ( t ) - u -1 ( t - T )] Infatti per t T : u -1 ( t ) = 1; u -1 ( t - T ) = 1; f(t) = 0 t f (t ) T A B Si determini lequazione r(t) della retta r r r(t) = a t + b r(t) = a t + b | t = 0 = B r(t) = a t + b | t = T = A b = B ; a = (A - B) / T r(t) = (A – B) t / T+ B f(t) = r(t) [u -1 ( t ) - u -1 ( t - T )] Infatti per t T : u -1 ( t ) = 1; u -1 ( t - T ) = 1; f(t) = 0 f(t) = [(A – B) t / T+ B] [u -1 ( t ) - u -1 ( t - T )] r(t) = (A – B) t / T+ B

7 Tor Vergata M. Salerno Laplace 7 La funzione u -1 (t ) non può essere usata senza particolari accorgimenti nellanalisi dei circuiti elettrici, in quanto non è derivabile per t = 0. In tutti gli altri istanti, u -1 (t ) è derivabile con derivata nulla. Approssimanti Approssimante di u -1 (t ) u -1, (t ) derivabile per ogni t lim u -1, (t ) = u -1 (t ) 0 con Definizione Approssimante dellimpulso unitario u 0, (t ) = d t d u -1, (t ) Esempio: induttore i L (t) = u -1 (t) corrente v L (t) = L d i L (t)/dt tensione risulta: per t = 0, v L (t) = 0 per t = 0, v L (t) non calcolabile / Esempio di u -1, (t ) 0 per t < 0 0 per t < 0 1 per t > 1 per t > t / per 0 < t < t / per 0 < t < u -1, (t) = t u -1, ( t ) 1 decrescente t u -1, ( t ) 1 Approssimante dellimpulso unitario u 0, (t ) = d u -1, (t ) / dt u 0, (t) = 0 per t 0 per t 1 / per 0 < t < 1 / per 0 < t < t u 0, ( t ) 1/ Per ogni, larea A è uguale a 1 A Esempio di u -1, (t ) Approssimante dellimpulso unitario u 0, (t ) = d u -1, (t ) / dt t u -1, ( t ) t u 0, ( t ) 0 per t < 0 0 per t < 0 1 – e -t / per t > 1 – e -t / per t > u -1, (t) = 1 decrescente t u -1, ( t ) u 0, (t) = 0 per t < 0 0 per t < 0 (1 / )e -t / per t > 0 1 1/ Per ogni, larea A è uguale a 1 A C R t = 0 V0V0 + i(t) Nella scarica del condensatore, landamento della corrente i(t) è una approssimante dellimpulso i(t ) = 0 per t < 0 (V 0 /R )e - t /RC per t > 0 (V 0 /R ) e - t /RC = (C V 0 / ) e - t / con = RC Si tratta dellapprossimante dellimpulso unitario moltiplicata per C V 0

8 Tor Vergata M. Salerno Laplace 8 Impulso unitario Per il gradino u -1 (t ) = lim u -1, (t ) 0 Per limpulso u 0 (t ) = lim u 0, (t ) 0 u 0 (t ) impulso unitario o impulso di Dirac Proprietà fondamentale delle funzioni u 0, (t) - u 0, (t) d t = 1 per ogni e quindi lim 0 - u 0, (t) d t = 1 Questa proprietà non è soddisfatta dallimpulso unitario u 0 (t). Infatti : - u 0 (t) dt = lim 0 - u 0, (t) d t = 0 Questo risultato non è soddisfacente per le applicazioni - u 0 (t) dt = 1 Affinché risulti limpulso di Dirac è definito nellambito di una teoria matematica, detta teoria delle distribuzioni. Tale teoria è unestensione della teoria delle funzioni, in cui risultano modificate opportunamente le definizioni di derivata e di integrale Lintegrale di u 0 (t) è effettuato nel senso delle distribuzioni Definizione Nellambito della teoria delle distribuzioni, limpulso unitario u 0 (t) è definito dalla seguente relazione - T u 0 (t) dt = 0 per T < 0 0 per T < 0 1 per T > 0 Poiché lintegrale di u 0 (t) non varia per T 0, risulta: u 0 (t) = 0 per t < 0 u 0 (t) = 0 per t > 0 Al crescere di t, la variazione del valore dellintegrale avviene in un intorno infinitesimo dellorigine (integrale nel senso delle distribuzioni) t u 0 (t) impulso di Dirac Limpulso di Dirac è rappresentato come una funzione nulla, con una discontinuità nellorigine. La discontinuità è caratterizzata dal valore dellintegrale, che è uguale a 1 1 Tale valore non è laltezza dellimpulso

9 Tor Vergata M. Salerno Laplace 9 Impulso unitario Alcune proprietà dellimpulso unitario u 0 (t) Impulso di ampiezza A, traslato allistante t 0 h(t) = A u 0 (t - t 0 ) t h(t ) A h(t) = A u 0 (t - t 0 ) t0t0 Lampiezza A è il valore dellintegrale, nel senso delle distribuzioni, in un intorno di t 0 A u 0 (t - t 0 ) dt = A è un qualunque intervallo [anche infinitesimo] comprendente t 0 t h(t ) Prodotto di un impulso traslato per una funzione f(t) f(t) h(t) = f(t) u 0 (t - t 0 ) t0t0 h(t) è un impulso f(t) u 0 (t - t 0 ) dt = f(t 0 ) è un qualunque intervallo [anche infinitesimo] comprendente t 0 di ampiezza f (t 0 ) f(t 0 ) in particolare f(t) u 0 (t ) = f(0) u 0 (t ) f(t) u 0 (t - t 0 ) = f(t 0 ) u 0 (t - t 0 ) t h(t ) Prodotto di un impulso u 0 (t) per un gradino u -1 (t) u -1 (t ) h(t) = u -1 (t ) u 0 (t ) h(t) è un impulso Per determinare lampiezza non si può usare lespressione u -1 (t ) u 0 (t ) = u -1 (0) u 0 (t ) perché il gradino non è definito per t = 0 è un qualunque intervallo [anche infinitesimo] comprendente lorigine u -1 (t ) u 0 (t ) dt = u -1 (t ) d u -1 (t ) = a b = ½ [ u -1 2 (t ) ] = a b ½ ½ di ampiezza ½ t u -1 (t ) Estensione della definizione di gradino u -1 ( t ) = 0 per t < 0 1 per t > 0 ½ per t = 0 ½ in questo modo si ha: h(t) = u -1 (t ) u 0 (t ) = u -1 (0 ) u 0 (t ) = 1/2 u 0 (t ) h(t) è un impulso di ampiezza ½

10 Tor Vergata M. Salerno Laplace 10 Esempio V0V0 + C R t = 0 i(t) t V 0 /R i(t) = (V 0 / R) e t / RC u -1 (t) Q ; Q = CV 0 E C = ½ CV 0 2 assorbita da R Questa soluzione vale per ogni valore di R, ma non per R = 0 C t = 0 i(t) V0V0 + I Sono presenti due componenti ideali: il condensatore e linterruttore I Lanalisi del circuito è possibile solo nellambito della teoria delle distribuzioni, utilizzando il gradino u -1 (t) e limpulso u 0 (t) v(t) t V0V0 v(t) = V 0 [1 – u -1 (t)] i(t) = - C dv/dt = - C d V 0 [1 – u -1 (t)] /dt effettuando la derivata di u -1 (t) nel senso delle distribuzioni i(t) = C V 0 u 0 (t) t i (t) i(t) = C V 0 u 0 (t) Q = C V 0 Q E C = ½ CV 0 2 assorbita da I Energia assorbita dallinterruttore = V 0 [1 – u -1 (t)] CV 0 u 0 (t) dt = CV 0 2 [1 – ½ ] = ½ CV 0 2 E I = p(t) dt = v(t) i(t) dt = Questa soluzione, congrua con la precedente, vale solo nellambito della teoria delle distribuzioni. Se i(t) [ o v(t) ] è impulsiva, linterruttore ideale può assorbire energia

11 Tor Vergata M. Salerno Laplace 11 Distribuzioni successive Derivate successive dellimpulso unitario Limpulso unitario può essere derivato infinite volte, nel senso delle distribuzioni Notazione u k (t) = d t d u k-1 (t), k = 1, 2, … u 1 (t) Esempio: u 1 (t) doppietto unitario u 1 (t) = d u 0 (t) / dt Approssimanti u 1, (t) = d u 0, (t) / dt t u 0, (t) t u 1, (t) Al diminuire di il doppietto è assimilabile a due impulsi di area opposta nellintorno dellorigine Integrali successivi del gradino Il gradino unitario può essere integrato infinite volte, rimanendo nellambito delle funzioni Notazione, k = 1, 2, … u -k-1 (t) = u -k ( ) d - t Esempio: u -2 (t) rampa unitaria t u -2 (t) 1 1 ….. u -2 (t) u -1 (t) u 0 (t) u 1 (t) u 2 (t) ….. ….. rampa gradino impulso doppietto tripletto ….. derivazione integrazione funzioni ….. u -2 (t) u -1 (t) u 0 (t) u 1 (t) u 2 (t) ….. ….. rampa gradino impulso doppietto tripletto ….. distribuzioni ….. u -2 (t) u -1 (t) u 0 (t) u 1 (t) u 2 (t) ….. ….. rampa gradino impulso doppietto tripletto ….. nulle per t < 0 nulle per t = 0 /

12 Tor Vergata M. Salerno Laplace 12 Analisi nel dominio di Laplace Circuiti senza memoria Circuiti privi di condensatori, induttori, induttori accoppiati Circuiti contenenti condensatori, induttori, induttori accoppiati Circuiti con memoria Analisi nel dominio del tempo equazioni algebriche equazioni differenziali Lanalisi di circuiti con memoria è differente dallanalisi di circuiti senza memoria ed è molto complessa Analisi nel dominio di Laplace equazioni algebriche Lanalisi di circuiti con memoria è simile allanalisi di circuiti senza memoria ed è molto semplificata Metodo della trasformata di Laplace 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione

13 Tor Vergata M. Salerno Laplace 13 Trasformata di Laplace: definizione Trasformata di Laplace 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione f(t) e -s t 0 Tdt limT F(s) = Notazione F(s) = L [ f(t) ] F(s) L-trasformata di f(t) Nellanalisi dei circuiti, tutte le grandezze elettriche, tensioni e correnti, sono sostituite con le rispettive L-trasformate V(s) = L [ v(t) ] I(s) = L [ i(t) ] Notazione Con la lettera minuscola, p.es. v(t), è indicata la grandezza nel tempo, con la lettera maiuscola, p. es. V(s), la rispettiva trasformata La variabile di Laplace s non ha un immediato significato fisico e viene considerata come una variabile complessa f(t) : funzione di variabile reale F(s) : funzione di variabile complessa Dimensioni V(s) = lim v(t) e -s t dt 0 T T adimensionaletempo variabile s : sec -1 (s -1 )V(s) : volt. sec ( V s ) I(s) : ampère. sec ( A s ) analogamente Proprietà del limite per T Se il limite esiste ed è finito per s = s 0 allora esiste ed è finito per ogni s tale che Re[ s ] > Re[ s 0 ] Estremo inferiore di Re[ s 0 ] : ascissa di convergenza = Im[s] = Re[s] piano s semipiano di convergenza Se il limite non esiste o non è finito per alcun valore di s, f(t) non è L-trasformabile Landamento di f(t) per t < 0 non dà contributo allintegrale, perché i tempi negativi sono esclusi dallintegrazione (trasformata unilatera). Conviene considerare f(t) = 0 per t < 0 Calcolo dellintegrale nel senso delle distribuzioni contribuiscono allintegrale eventuali impulsi, in particolare per t = lestremo inferiore di integrazione è indicato con 0 - Antitrasformata : operatore inverso, per passare da F(s) a f(t) Esiste una formula integrale, poco utilizzata nellanalisi dei circuiti Notazione f(t) = L -1 [ F(s) ] Metodi operativi di antitrasformazione di Laplace saranno descritti in seguito

14 Tor Vergata M. Salerno Laplace 14 L [ u -1 (t) ] = s 1 Trasformate Trasformate 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione Trasformata di Laplace Trasformate elementari F(s) = lim f(t) e -s t dt 0 - T T Gradino f(t) = u -1 (t) F(s) = lim u -1 (t) e -s t dt 0 - T T = lim e -s t dt 0 T T = lim [ e -s t ] 0 T T s 1 = lim [ e -s T ] + T s 1 s 1 = s 1 per Re[ s ] > 0 ascissa di convergenza = 0 Esponenziale f(t) = e a t u -1 (t) a : reale o complesso F(s) = lim u -1 (t) e -s t e a t dt 0 - T T = lim u -1 (t) e - (s-a) t dt 0 T T = s - a 1 per Re[ s - a ] > 0 ;Re[ s ] > Re[ a ] ascissa di convergenza = Re [ a ] lintegrale è identico a quello relativo al gradino, eccetto la sostituzione di s con s-a L [ e at u -1 (t) ] = s-a Impulso f(t) = u 0 (t) F(s) = lim u 0 (t) e -s t dt 0 - T T = lim [ e -s t ] t=0 T = 1 per ogni valore di s ascissa di convergenza = - lintegrale è calcolato nel senso delle distribuzioni è essenziale che lestremo inferiore di integrazione sia 0 - L [ u 0 (t) ] = 1 Antitrasformate Antitrasformate L -1 [ ] = e at u -1 (t) s-a L -1 [ ] = u -1 (t) s 1 L -1 [ 1 ] = u 0 (t) Queste sono le uniche trasformate di cui sarà effettuato il calcolo dellintegrale Una ulteriore antitrasformata dinteresse è la seguente : L -1 [ ] = t n-1 e at u -1 (t) (s-a) n (n-1)! 1

15 Tor Vergata M. Salerno Laplace 15 Trasformata di Laplace: proprietà 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione Trasformata di Laplace Linearità L [ f 1 (t) ] = F 1 (s) ; L [ f 2 (t) ] = F 2 (s) Se L [ c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t) ] = c 1 F 1 (s) + c 2 F 2 (s) allora ove c 1 e c 2 sono due costanti reali o complesse La proprietà di linearità permette di applicare il metodo delle trasformata di Laplace a tutti i circuiti (e sistemi) lineari Sono circuiti lineari quelli contenenti componenti nei quali vi è una relazione lineare fra le grandezze elettriche. Tutti i componenti considerati in questo corso sono lineari Altri componenti (come il diodo) sono non lineari e allora il metodo della trasformata di Laplace non può essere applicatoDerivazione L [ f(t) ] = F(s) Se L [ d f(t) / dt ] = s F(s) – f (0 - ) allora ove f (0 - ) è il valore di f(t) per t = 0 - La proprietà di derivazione permette di sostituire operazioni differenziali nel dominio del tempo con operazioni algebriche nel dominio di s Se f(t) presenta discontinuità, la derivata e la trasformata di Laplace devono essere applicate nel senso delle distribuzioni Listante 0 - è considerato per tenere conto di eventuali discontinuità nellorigine. Nellambito delle funzioni si considera semplicemente f(0)Traslazione L [ f(t) ] = F(s) Se L [ f(t – T) ] = F(s) e -sT allora La proprietà di traslazione è molto utile per tenere conto di ritardi nella trasmissione di segnali elettrici (è poco usata nei circuiti elementari) Molte altre proprietà della trasformata di Laplace sono omesse perché non assolutamente essenziali alla trattazione ove f (t - T) è la f(t) traslata dellintervallo T

16 Tor Vergata M. Salerno Laplace 16 Proprietà di derivazione: esempi Verifica proprietà di derivazione f(t) = e t u -1 (t) F(s) = L [ f(t) ] = 1/ (s-1) f(0 - ) = 0 dalla proprietà di derivazione L [ df(t)/dt ] = sF(s) – f(0 - ) = s/(s-1) verifica df(t)/dt = e t u -1 (t) + e t u 0 (t) = e t u -1 (t) + u 0 (t) L [ df(t)/dt ] = 1/(s-1) + 1 = s/(s-1) dalla proprietà di linearità Trasformate delle distribuzioni successive u k (0 - ) = 0, k = 0, 1, 2, … u k (t) = d u k-1 (t) / dt, k = 1, 2, … L [ u 0 (t) ] = 1 L [ u k (t) ] = s L [ u k-1 (t) ] L [ u k (t) ] = s k

17 Tor Vergata M. Salerno Laplace 17 Proprietà di linearità: esempi Trasformata della funzione sinusoidale f(t) = F cos ( t + ) u -1 (t) nel campo complesso f(t) = ½ (F e j t + F* e -j t ) u -1 (t) ove F = Fe j è il fasore di f(t) L [ e + j t u -1 (t) ] = 1/(s j ) + dalle trasformate elementari dalla proprietà di linearità F(s) = L [ f(t) ] = ½ [F /(s - j ) + F*/(s + j ) ] Lespressione trovata può essere considerata soddisfacente in vari casi Tuttavia è possibile sviluppare ulteriormente i calcoli F(s) = ½ [F /(s - j ) + F*/(s + j ) ]; F = Fe j = F (cos + j sin ) F(s) = ½ F[(cos + j sin ) /(s - j ) + (cos - j sin ) /(s + j ) ] = = ½F[(cos + j sin )(s + j ) + (cos - j sin )(s - j ) ]/(s 2 + ) = = F (s cos - sin ) /(s 2 + ) F(s) = ½ [F /(s - j ) + F*/(s + j ) ] = F (s cos - sin ) /(s 2 + ) F(s) è una funzione razionale (rapporto fra polinomi) a coefficienti reali F(s) è detta razionale reale, perché assume valori reali per s reale F(s) è anche espressa come somma di due funzioni complesse coniugate, per s reale Sulla base di queste osservazioni, i calcoli precedenti possono essere semplificati f(t) = Re[ F e j t ] u -1 (t), con F = Fe j F(s) = Re[ F /(s - j ) ] ove loperatore Re[.] è applicato considerando s reale F(s) = F Re[(cos + j sin ) /(s - j ) ] = = F Re[(cos + j sin ) (s + j ) ] /(s 2 + ) (è sufficiente calcolare i termini reali del prodotto) F(s) = F (s cos - sin ) /(s 2 + ) Notazione La lettera F ha vari significati: f (minuscolo) è la funzione del tempo f(t) F (maiuscolo) è lampiezza (modulo) F (maiuscolo e sottolineato) è il fasore F(s) (maiuscolo) è la trasformata di Laplace

18 Tor Vergata M. Salerno Laplace 18 Proprietà di traslazione: esempi f(t) = A [ u -1 (t) - u -1 (t-T)] Trasformata della funzione t f(t) T A F(s) = A (1 - e -sT )/s dalle proprietà di traslazione e di linearità : t f(t) T2T3T4T5T A Limpulso di ampiezza A e durata T può essere replicato indefinitamente, ottenendo unonda quadra. Tale funzione è nulla per t < 0 f(t) = A [(-1) k u -1 (t – k T)] k=0 La forma donda è costituita dalla somma di infiniti gradini alternativamente positivi e negativi, di ampiezza A e traslati dellintervallo di tempo T luno rispetto allaltro Dalle proprietà di traslazione e linearità : F(s) = (A/s) [(-1) k e –k sT ] k=0 = 1 – x + x 2 – x 3 + x 4 - … 1 + x 1 = Si ricordi che s ( 1 + e – sT ) A =

19 Tor Vergata M. Salerno Laplace 19 Bipoli nel dominio di Laplace 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione Trasformata di Laplace Trasformate di Laplace di tensione e corrente Si definisce un istante iniziale, tipicamente t = 0 L [ v(t) ] = V(s) ; L [ i(t) ] = I(s) Allistante t = 0 - sono assegnate le condizioni iniziali tensione: v(t) in Volt (V) ; V(s) in Volt.sec (V.s) corrente: i(t) in Ampère (A) ; I(s) in Ampère.sec (A.s) Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo + v(t) i(t) bipolo nel dominio del tempo Indicando le trasformate invece delle grandezze nel tempo si ottiene il bipolo nel dominio di Laplace + V(s) I(s) bipolo nel dominio di Laplace Il bipolo nel dominio di Laplace è utilizzato solo a scopi di calcolo Nel bipolo reale le grandezze elettriche sono sempre funzioni del tempo

20 Tor Vergata M. Salerno Laplace 20 Nel dominio di Laplace Resistore + R v(t) = R i(t) Nel dominio del tempo v(t) = R i(t) L [ v(t) ] = L [ R i(t) ] per la linearità L [ v(t) ] = R L [i(t) ] V(s) = R I(s) V(s) = R I(s) V(s) = R I(s) + R

21 Tor Vergata M. Salerno Laplace 21 Induttore + v(t) = L d i(t) / d t L Nel dominio del tempo Nel dominio di Laplace v(t) = L d i(t) / d t per le proprietà di linearità e di derivazione L [ v(t) ] = L [L d i(t) / d t] L [ v(t) ] = L [L d i(t) / d t ] L [ v(t) ] = L [ s L [ i(t)] - i(0 - ) ] L [ v(t) ] = L [ s L [ i(t) ] - i(0 - ) ] V(s) = s L I(s) – L i(0 - ) i(0 - ) condizione iniziale Caso particolare condizione iniziale nulla: i(0 - ) = 0 V(s) = s L I(s) + sL s L impedenza caso generale : i(0 - ) = 0 / sL + L i(0 - ) I(s) V(s) + Li(0 - ) tensione impressa del generatore, con segno positivo a destra V(s), I(s) grandezze elettriche esterne Equivalenza: dominio del tempo : bipolo ab dominio di Laplace: bipolo AB completo A B b a

22 Tor Vergata M. Salerno Laplace 22 Induttore: schemi equivalenti sL + L i(0 - ) V(s) + I(s) A B Dominio di Laplace + i(0 - ) L b a i(t) v(t) Dominio del tempo vgvg + R igig R Equivalenza fra generatori v g / R = i g limpedenza sL svolge lo stesso ruolo della resistenza R V(s) + I(s) A B La corrente impressa dal generatore di corrente è pari a L i(0 - ) / sL = i(0 - ) / s i(0 - )/s Si ricordi che L -1 [ L i(0 - ) ] = L i(0 - )u 0 (t) L -1 [ i(0 - )/s ] = i(0 - ) u -1 (t) Queste espressioni permettono di interpretare nel dominio del tempo gli schemi equivalenti dellinduttore Dominio del tempo L + L i(0 - ) u 0 (t) i(t) A B i(0 - ) u -1 (t) v(t) + i(t) A B L In questi schemi equivalenti, gli induttori sono considerati con condizioni iniziali nulle

23 Tor Vergata M. Salerno Laplace 23 Condensatore i(t) = C d v(t) / d t Nel dominio del tempo i(t) = C d v(t) / d t C + Nel dominio di Laplace i(t) = C d v(t) / d t per le proprietà di linearità e di derivazione L [ i(t) ] = L [C d v(t) / d t] L [ i(t) ] = L [C d v(t) / d t ] L [ i(t) ] = C [ s L [ v(t)] - v(0 - ) ] L [ i(t) ] = C [ s L [ v(t) ] - v(0 - ) ] I(s) = s C V(s) – C v(0 - ) v(0 - ) condizione iniziale Caso particolare condizione iniziale nulla: v(0 - ) = 0 1/sC impedenza I(s) = s C V(s) 1/sC + s C ammettenza caso generale : v(0 - ) = 0 / V(s), I(s) grandezze elettriche esterne C v(0 - ) V(s) + I(s) 1/sC bipolo ab bipolo AB completo A B a b

24 Tor Vergata M. Salerno Laplace 24 Dominio di Laplace Dominio del tempo v(t) C + i(t) v(0 - ) + b a C v(0 - ) V(s) + I(s) 1/sC A B Condensatore: schemi equivalenti vgvg + R igig R Equivalenza fra generatori v g = R i g limpedenza 1/sC svolge lo stesso ruolo della resistenza R La tensione impressa dal generatore di tensione è pari a C v(0 - ) / sC = v(0 - ) / s 1/sC V(s) + I(s) A B + v(0 - )/s Si ricordi che L -1 [ C v(0 - ) ] = C v(0 - )u 0 (t) L -1 [ v(0 - )/s ] = v(0 - ) u -1 (t) Queste espressioni permettono di interpretare nel dominio del tempo gli schemi equivalenti del condensatore Dominio del tempo C v(0 - ) u 0 (t) v(t) + i(t) C A B C v(t) + i(t) A B + v(0 - ) u -1 (t) In questi schemi equivalenti, i condensatori sono considerati con condizioni iniziali nulle

25 Tor Vergata M. Salerno Laplace 25 Esempio: circuito RC C t = 0 R v0v0 + v 0 condizione iniziale circuito nel dominio di s 1/sC R v 0 /s + A B a b Il bipolo completo fra i morsetti AB è lequivalente del condensatore nel dominio del tempo, inclusa la condizione iniziale analisi nel dominio di s antitrasformazione I(s) i(t) I(s) (R + 1/sC) = v 0 /s I(s) (sRC + 1)/C = v 0 I(s) = v 0 C/(sRC + 1) I(s) = (v 0 /R)/(s + 1/RC) i(t) = L -1 [ I(s) ] = = (v 0 /R) e –t /RC u -1 (t) = L -1 [ (v 0 /R)/(s + 1/RC) ] =

26 Tor Vergata M. Salerno Laplace 26 Esempio: circuito RCC R C C1C1 t = 0 + v0v0 dominio di t R 1/sC 1/sC 1 C v 0 dominio di s condizioni iniziali A B a b il condensatore C equivale allintero bipolo a sinistra dei morsetti AB condensatore C : v 0 condensatore C 1 : 0 V(s) + analisi nel dominio di s v(t) + antitrasformazione V(s) (sC + s C 1 + 1/R) = C v 0 V(s) = C v 0 / (sC + s C 1 + 1/R) V(s) = v 0 C + C 1 C R(C + C 1 ) 1 s + 1 v(t) = v 0 e -t/R (C + C1) u -1 (t) C + C 1 C v(t) = L -1 [ V(s) ] da L -1 [1/(s+a)] = e -at u -1 (t) e dalla proprietà di linearità La costante di tempo è : = R (C + C 1 ). C + C 1 condensatore parallelo (condensatore visto dalla resistenza R dopo la chiusura dellinterruttore) C+C 1 C1C1 C v (t) v 0 C/(C+C 1 ) v(t) = v 0 e -t/R(C + C1) u -1 (t) C + C 1 C t v (t) v 0 C/(C+C 1 ) v0v0 v c (t) = v 0 e -t/R(C + C1 ) | t > 0 C + C 1 C v c (t) = v 0 | t < 0 t v c (t) C C 1 /(C+C 1 ) condensatore serie (condensatore visto dallinterruttore) C1C1 C C C 1 /(C+C 1 ) E P è pari allenergia immagazzinata dal condensatore serie, carico alla tensione iniziale v 0 E P è assorbita dallinterruttore, per t=0 E 1 è assorbita dal resistore, per t>0 Bilancio energetico t < 0 : E 0 = ½ C v o 2 t = 0 + : E 1 = ½ C [v o C/(C+C 1 )] ½ C 1 [v o C/(C+C 1 )] 2 = = ½ C v o 2 [C/(C+C 1 )] < E 0 Energia perduta E P = E 0 - E 1 = ½ C v o 2 [1 - C/(C+C 1 )] = = ½ v o 2 [C C 1 /(C+C 1 )]

27 Tor Vergata M. Salerno Laplace 27 Esempio: circuito RL dominio di s R + v 0 /s sL I(s) R t = 0 + v0v0 dominio di t L i(t) i(t) = 0 | t < 0 analisi nel dominio di s I(s) (sL + R) = v 0 /s I(s) = [v 0 / L]/[s (s + R/L)] Per antitrasformare I(s) si pone I(s) = A/s + B /(s + R/L) Risulta A (s + R/L)] + B s = v 0 / L A = v 0 / R ; B = - v 0 / R antitrasformazione i(t) = L -1 [ I(s) ] = = L -1 [( v 0 / R) / s - ( v 0 / R) / (s + R/L) ] Per la proprietà di linearità i(t) = (v 0 /R) (1 - e – t L/R ) u -1 (t) i (t) t v 0 /R i(t) = (v 0 /R) (1 - e – t L/R ) u -1 (t) Costante di tempo = R / L

28 Tor Vergata M. Salerno Laplace 28 Antitrasformazione 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione Trasformata di Laplace Metodo delle Trasformata di Laplace Per i componenti R, L, C, utilizzare i circuiti equivalenti Per i generatori, calcolare la trasformata delle grandezze impresse 1. Dal circuito nel dominio del tempo determinare il circuito nel dominio di Laplace 2. Risolvere il circuito nel dominio di Laplace Tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) sono funzioni di s 3. Antitrasformare le grandezze di interesse per ottenere le relative funzioni del tempo Le funzioni di s da antitrasformare sono funzioni razionali (rapporto di polinomi) nella variabile s F(s) = N(s) D(s)

29 Tor Vergata M. Salerno Laplace 29 s 0 polo di F(s) se F(s) funzione razionale reale nella variabile complessa s k=0 D(s) = a k s k = (s - p k ) n k=1 n N(s) = b k s k = (s - z k ) k=0 m k=1 m Funzioni razionali: notazioni F(s) = N(s) D(s) z k radici di N(s) ; zeri di F(s) F(s) funzione razionale propria : m = gr [N] < n = gr [D] F(s) funzione razionale impropria : m = gr [N] > n = gr [D] funzione razionale nella variabile complessa s polinomio a numeratore di grado : gr [N] = m polinomio a denominatore di grado : gr [D] = n F(s) reale per s reale : coefficienti a k e b k reali p k radici di D(s) ; poli di F(s) lim F(s) = s s 0 poli di F(s) p k radici di D(s) se gr [N] > gr [D]

30 Tor Vergata M. Salerno Laplace 30 F(s) = N(s) D(s) Ipotesi: Caso di funzioni razionali proprie funzione razionale reale propria, con poli p k semplici: radici di D(s) distinte F(s) = N(s) D(s) Sviluppo in frazioni parziali c k residuo di F(s) sul polo p k Calcolo dei residui k=1 n s - pks - pk ckck F(s) = (s – p h ) polo p h lim s p h k=1 n s - pks - pk ckck lim s p h (s – p h ) = k=1 n s - pks - pk ckck k=1 n lim s p h = 0 per k h = c h per k h { = c h (s – p k ) lim s p k F(s) c k = Nota: il termine (s - p k ) è un fattore del polinomio D(s) D(s) = (s - p k ) D k (s), ove D k (s) è pari a D(s) privato del fattore (s - p k ) c k = N (s) D k (s) s = p k = N (s) D k (s) s = p k (s – p k ) lim s p k F(s) c k = Antitrasformazione da L -1 [1/(s-a)] = e at u -1 (t) e dalla proprietà di linearità f(t) = L -1 [ F(s) ] = k=1 n k c k e p t u -1 (t)

31 Tor Vergata M. Salerno Laplace 31 Caso di funzioni razionali proprie F(s) = N(s) D(s) Ipotesi: funzione razionale reale propria, con poli multipli: radici di D(s) coincidenti F(s) = N(s) D(s) Sviluppo in frazioni parziali Lo sviluppo in frazioni parziali nel caso di poli multipli (noto anche come sviluppo di Hermite) è piuttosto complesso. Per lalgoritmo si rimanda al libro di testo Antitrasformata Si ricorda che: L -1 [ ] = t n-1 e at u -1 (t) (s-a) n (n-1)! 1 1 caso di un polo di ordine ncaso di un polo di ordine 2 L -1 [ ] = t e at u -1 (t) (s-a)

32 Tor Vergata M. Salerno Laplace 32 Esempio di antitrasformazione F(s) = s + 1 s 3 + 5s 2 + 6s = s(s 2 + 5s + 6) = = s(s + 2)(s + 3) = Im[s] = Re[s] piano s xxx poli s 3 + 5s 2 + 6s = Fattorizzazione del denominatore s 0 = 0; s 1 = -2; s 2 = -3 Poli di F(s) s + 1 s (s+2)(s+3) = s 2 + 5s + 6 = 0 Radici di s 1,2 = ½ ( – 4 6 ) = ½ (-5 + 1). Sviluppo in frazioni parziali F(s) = s + 1 s (s+2)(s+3) B s+2 A s C s+3 = + + A = s F(s) | s=0 = s + 1 (s+2)(s+3) s=0 = 1/6 B = (s+2) F(s) | s= -2 = s + 1 s(s+3) s= -2 = 1/2 s + 1 s(s+2) s= -3 C = (s+3) F(s) | s= -3 = = -2/3 1 2(s+2) 1 6s 2 3(s+3) = + - Antitrasformata f(t) = [ + e -2t - e -3t ] u -1 (t) andamento f(0 + ) = 1/6 + ½ - 2/3 = 0 f( ) = 1/6 f(t) max per -2(1/2) e –2t + 3(2/3) e –3t = 0 - e –2t + 2 e –3t = 0;e t = 2;t = ln 2 = 0.69 f(t) max = f(0.69) = 0.21 > 1/6 f(t) t /6

33 Tor Vergata M. Salerno Laplace 33 Esempio di antitrasformazione F(s) = s s 2 + 2s + 5 = (s + 1-2j)(s + 1+2j) s 2 + 2s + 5 = Fattorizzazione del denominatore s 2 + 2s + 5 = 0 s 1,2 = – 5 = j Radici di s 1 = -1+2j; s 2 = -1-2j Poli di F(s) s (s+1-2j)(s+1+2j) = = Im[s] = Re[s] piano s x x 2 poli -2 Sviluppo in frazioni parziali F(s) s (s+1-2j)(s+1+2j) = A s+1-2j = + B s+1+2j A = (s+1-2j)F(s) | s= -1+2j = s s+1+2j s= -1+2j = = ½ + ¼ j -1+2j 4j = B = (s+1+2j)F(s) | s= -1-2j = s s+1-2j s= -1-2j = = ½ - ¼ j -1-2j -4j = ½ + ¼ j s+1-2j = + ½ - ¼ j s+1+2j polo : -1 +2j ; residuo A = ½ + ¼ j polo : j ; residuo B = ½ - ¼ j B = A* In generale: per ogni funzione razionale reale (cioè a coefficienti reali), a poli complessi coniugati corrispondono residui complessi coniugati Antitrasformata f(t) = [ (½+ ¼ j)e (-1+2j)t (½ ¼ j)e (-1-2j)t ] u -1 (t) complessi coniugati per ogni t f(t) = 2 Re [ (½+ ¼ j)e (-1+2j)t ] u -1 (t) = = e -t Re [ (1+ ½ j)e 2jt ] u -1 (t) = 1+ ½ j = = 1.12 e 0.46 j = 1.12 e -t cos(2t ) u -1 (t) = 1.12 e -t Re [ e j(2t+0.46) ] u -1 (t) = Antitrasformata f(t) = 1.12 e -t cos(2t ) u -1 (t) Andamento f(t) t

34 Tor Vergata M. Salerno Laplace 34 Caso di funzioni razionali improprie F(s) = N(s) D(s) Ipotesi: funzione razionale reale impropria gr [N] > gr [D] Divisione fra polinomi F(s) = = Q(s) + N(s) D(s) R(s) D(s) Q(s) = q k s k k=0 gr[Q] : polinomio quoziente grado : gr [Q] = gr [N] - gr [D] R(s) : polinomio resto grado : gr [R] < gr [D] funzione razionale propria Antitrasformazione da L -1 [s k ] = u k (t) e dalla proprietà di linearità f(t) = L -1 [ F(s) ] = L -1 [ q k s k ] + L -1 [ ] = k=0 gr[Q] R(s) D(s) q k u k (t) + L -1 [ ] k=0 gr[Q] R(s) D(s) Le funzioni razionali improprie possono essere antitrasformate solo nellambito della teoria delle distribuzioni

35 Tor Vergata M. Salerno Laplace 35 Esempio di antitrasformazione F(s) = s + 1 s 2 + 3s + 5 s 1 = -1 ; s 2 = Poli di F(s) Divisione fra polinomi N(s) = s 2 + 3s + 5 D(s) = s + 1 s 2 + 3s + 5 s + 1 s s 2 + s 2s Q(s) = s + 2 R(s) = 3 F(s) = = Q(s) + N(s) D(s) R(s) D(s) = s s Antitrasformata f(t) = u 1 (t) + 2 u 0 (t) + 3 e -t u -1 (t) = s s + 1 3

36 Tor Vergata M. Salerno Laplace 36 Poli di V u (s) Analisi nel dominio di s sL + R 1/sC V/s dominio di s Esempio: circuito RLC dominio di t L + R C V u -1 (t) condizioni iniziali nulle V u (s) v u (t) + + V u (sC + 1/sL) + (V u - V/s)/R = 0 V u (sC + 1/sL + 1/R) = V/(sR) V u [s 2 + s/(RC) + 1/(LC)] = V/(RC) V u = RC V s 2 + s/(RC) + 1/(LC) 1 s 2 + s/(RC) + 1/(LC) = 0 Radici di = 1/(R 2 C 2 ) – 4 /(LC) Discriminante > 0 poli reali distinti = 0 poli reali coincidenti < 0 poli complessi coniugati V u = RC V s 2 + s/(RC) + 1/(LC) 1 Esempio : R= 1/3 ; L = ½ ; C =1 V u = 3V s s (s + 1) (s + 2) 3V = Poli reali distinti: -1; -2 s + 1 A = + s + 2 B A = = 3V s + 2 3V s = -1 s + 1 3V s = -2 B = = - 3V s + 1 3V = - s + 2 3V v u (t) = 3V (e -t – e -2t ) u -1 (t) v u (t) t R= 1/4 ; L = 1/4 ; C =1 V u = 4 V s s (s + 2) 2 4 V = Polo reale doppio: -2 v u (t) = 4 V t e -2t u -1 (t) v u (t) t R= 1/2 ; L = 1/2 ; C =1 V u = 2V s s (s + 1-j) (s + 1+j) 2V = s + 1-j A = + s + 1+j A* Poli complessi coniugati: -1+j ; -1-j A = = -j V s + 1+j 2V s = -1+j s + 1-j -jV = + s + 1+j jV v u (t) = 2 Re [-j V e (-1+j) t ] u -1 (t) = 2 Ve - t Re [-j e j t ] u -1 (t) = = 2 Ve - t Re [-j (cos t +j sin t) ] u -1 (t)= 2 Ve - t sin t u -1 (t) v u (t) = 2 Ve - t sin t u -1 (t) v u (t) t

37 Tor Vergata M. Salerno Laplace 37 Sviluppo in frazioni parziali Esempio: partitore dominio di t R + R1R1 CV condizioni iniziali nulle C1C1 t=0 V u (s)(sC+G) + [V u (s) – V/s](sC 1 +G 1 ) = 0 V u (s) [s(C+C 1 )+G +G 1 ] = (sC 1 +G 1 ) V/s Poli : s 0 = 0 ; s 1 = -(G+G 1 ) / (C+C 1 ) V u (s) = s(C+C 1 )+G +G 1 sC 1 +G 1 V s V u (s) = s [s+(G +G 1 ) / (C+C 1 )] sC 1 +G 1 C+C 1 V = + B s+(G +G 1 ) / (C+C 1 ) A s A = s+(G +G 1 ) / (C+C 1 ) sC 1 +G 1 C+C 1 V s = 0 G +G 1 G1G1 = V G+G 1 V = - - C 1 +G 1 C+C 1 G+G 1 G1G1 C+C 1 C1C1 = V - C+C 1 V B = sC 1 +G 1 s s = - G+G 1 C+C 1 dominio di s G + G1G1 V s G i = 1/R i ammettenze conduttanze sC 1 sC V u (s) Antitrasformata V u (s) = + B s+(G +G 1 ) / (C+C 1 ) A s G+G 1 G1G1 C+C 1 C1C1 B = V - con e G +G 1 G1G1 A = V v u (t) = V + e u -1 (t) G +G 1 G1G1 G1G1 C+C 1 C1C1 - -t (G +G 1 ) / (C+C 1 ) C+C 1 C1C1 v u (0 + ) = V partizione capacitiva G +G 1 G1G1 v u ( ) = V partizione resistiva G+G 1 G1G1 C+C 1 C1C1 = se G C 1 = G 1 C R 1 C 1 = R Cpartitore compensato Andamento v u (t) = V + e u -1 (t) G +G 1 G1G1 G1G1 C+C 1 C1C1 - -t (G +G 1 ) / (C+C 1 ) C+C 1 C1C1 v u (0 + ) = V partizione capacitiva G +G 1 G1G1 v u ( ) = V partizione resistiva v u (t) v u ( ) t v u (0 + ) > v u ( ) v u (0 + ) < v u ( ) t v u (t) v u ( ) v u (0 + ) = v u ( ) t v u (t) v u ( ) partitore compensato Applicazioni: Assegnati i due resistori e il condensatore C, parassita, la tensione v u (t) è distorta rispetto alla tensione del generatore (partitore non compensato). Ponendo C 1, tale che R 1 C 1 = R C, si ottiene v u (t) priva di distorsioni Dati i due condensatori, i resistori possono rappresentare le correnti di dispersione fra le armature. Appena applicata la tensione di alimentazione, la partizione dipende dai condensatori. Dopo il transitorio, dipende invece dai resistori di dispersione.

38 Tor Vergata M. Salerno Laplace 38 Dominio del tempoDominio di Laplace Funzioni di rete Generatori indipendenti (di tensione e di corrente) Condizioni iniziali (su induttori e condensatori) Generatori indipendenti (di tensione e di corrente) Funzione di eccitazione (tensione o corrente) Funzione di eccitazione (tensione o corrente) e(t) = L -1 [ E(s) ] In un circuito deve essere presente almeno una funzione di eccitazione diversa da zero Un circuito privo di generatori indipendenti e con condizioni iniziali tutte nulle rimane a riposo I generatori controllati non danno luogo a funzioni di eccitazione Risposta (tensione o corrente) Risposta (tensione o corrente) qualunque grandezza elettrica dinteresse del circuito u(t) = L -1 [ U(s) ] circuito nel dominio del tempo u(t) e(t) circuito nel dominio di Laplace U(s)E(s) e(t) = L -1 [ E(s) ] u(t) = L -1 [ U(s) ] E(s) F(s) = U(s) F(s) funzione di rete F(s) funzione di rete Si suppone che E(s) sia lunica eccitazione presente F(s) dipende dal circuito e dalla coppia eccitazione / risposta E(s) e U(s) sono trasformate di Laplace di e(t) e u(t), rispettivamente F(s) non è una trasformata di Laplace Classificazione delle funzioni di rete E(s) F(s) = U(s) V e (s)F(s) = V u (s) funzione di trasferimento in tensione V e (s) F(s) = V u (s) V e (s) V u (s) I e (s)F(s) = I u (s) funzione di trasferimento in corrente I e (s) F(s) = I u (s) I e (s) I u (s) V e (s)Y(s) = I u (s) ammettenza di trasferimento V e (s) Y(s) = I u (s) V e (s) I u (s) I e (s)Z(s) = V u (s) impedenza di trasferimento I e (s) Z(s) = V u (s) I e (s) V u (s) Se la tensione e la corrente si riferiscono alla stessa coppia di morsetti, le impedenze e le ammettenze sono dette di ingresso ingresso Esempio sL R R IeIe VuVu + sL impedenza di trasferimento sL I e = V u VuVu + (R+sL) I e = V u R+sL impedenza di ingresso VuVu + IeIe VeVe + sL/(R+sL) V e = V u sL/(R+sL) funzione di trasferimento in tensione

39 Tor Vergata M. Salerno Laplace 39 Risposta impulsiva Dominio del tempoDominio di Laplace circuito nel dominio del tempo u(t) e(t) U(s)E(s) E(s) F(s) = U(s) se E(s) = 1 F(s) = U(s) 1 F(s) e(t) = L -1 [ 1 ] = u 0 (t) u(t) = h(t) : risposta impulsiva h(t) u 0 (t) h(t) = L -1 [ F(s) ] la risposta impulsiva è lantitrasformata della funzione di rete prodotto di convoluzione Dominio del tempoDominio di Laplace circuito nel dominio del tempo u(t) e(t) U(s)E(s) E(s) F(s) = U(s) e(t) = L -1 [ E(s) ] h(t) = L -1 [ F(s) ] u(t) = L -1 [ U(s) ] relazione diretta fra e(t), h(t), u(t) e(t) h(t) = u(t) e( ) h(t- ) d = u(t) e(t- ) h( ) d = u(t) il prodotto di convoluzione è commutativo

40 Tor Vergata M. Salerno Laplace 40 Circuito in regime impulsivo u(t) e(t) e(t) h(t) = u(t) Risposta impulsiva La risposta impulsiva h(t) caratterizza il circuito nel dominio del tempo e può essere rilevata sperimentalmente Da h(t) si può determinare la funzione di rete F(s) : F(s) = L [ h(t) ] u(t) = h(t) per e(t) = u 0 (t) approssimante di u 0 (t) t e(t) e(t) forma donda generica = 0 per 0 < t < / u(t) = e( ) h(t- ) d = 0 - e( ) h(t- ) d = 0 = e( ) h(t) d = 0 h(t) e( ) d 0 = A h(t) Ipotesi: tale che h(t- ) h(t) per ogni t e per 0 < < La risposta u(t) è pari alla risposta impulsiva h(t), moltiplicata per larea A della forma donda dingresso [ A in Volt sec] A A = e( ) d 0

41 Tor Vergata M. Salerno Laplace 41 circuito stabile Stabilità Un circuito può dare luogo a più risposte impulsive in funzione della coppia eccitazione - risposta. Un circuito è stabile, se lo è rispetto a tutte le possibili risposte impulsive h(t) u 0 (t) e(t) h(t) = u(t) rispetto alla risposta impulsiva h(t) F(s) = L [ h(t) ] = Im[s] = Re[s] piano s poli t polo reale negativo semplice: s = -a fattore di D(s): (s+a) x -a andamento stabile F(s) = L [ h(t) ] t polo reale negativo multiplo: s = -a fattore di D(s): (s+a) n andamento stabile x F(s) = L [ h(t) ] t coppia di poli semplici complessi coniugati con parte reale negativa: s = -c + jd fattori di D(s): (s+c jd) + andamento stabile x x -c d -d F(s) = L [ h(t) ] t coppia di poli multipli complessi coniugati con parte reale negativa: s = -c + jd fattori di D(s): (s+c jd) n + andamento stabile x x regione di stabilità semipiano sinistro del piano s Re[s] < 0 = Im[s] = Re[s] piano s poli F(s) = L [ h(t) ] t polo reale semplice o multiplo con parte reale positiva: s = fattore di D(s): (s- ) n forma donda illimitata andamento instabile x F(s) = L [ h(t) ] t coppia di poli complessi coniugati, semplici o multipli, con parte reale positiva: s = + j fattori di D(s): (s- j ) n + forma donda illimitata andamento instabile x x = Im[s] = Re[s] piano s poli instabilitàstabilità F(s) = L [ h(t) ] t coppia di poli complessi coniugati semplici, sullasse immaginario: s = + j b fattore di D(s): (s 2 +b 2 ) forma donda limitata andamento al limite di stabilità x x b -b regione di instabilità semipiano destro del piano s Re[s] > 0 limite di stabilità asse immaginario del piano s Re[s] = 0 F(s) = L [ h(t) ] t coppia di poli multipli, complessi coniugati, sullasse immaginario: s = + j b fattore di D(s): (s 2 +b 2 ) n forma donda illimitata andamento instabile poli semplici lim h(t) = 0 t

42 Tor Vergata M. Salerno Laplace 42 u 0 (t) E Leccitazione, u 0 (t), fornisce lenergia E al circuito. E h(t) E non può né aumentare né diminuire. Le risposte impulsive h(t) rimangono tutte limitate, senza tendere a zero Stabilità dei circuiti Circuiti reattivi Componenti reattivi: induttori, condensatori, induttori accoppiati, trasformatori ideali stabile stabile poli per Re[s] < 0 Circuiti passivi Componenti reattivi + resistori Eh(t) E può diminuire. Le h(t) possono tendere a zero, o rimanere limitate Circuiti attivi Componenti reattivi + resistori, generatori controllati, nullori Eh(t) E può aumentare. Le h(t) possono tendere a zero, rimanere limitate o divergere poli per Re[s]>0 instabile poli per Re[s]=0 multipli al limite di stabilità al limite di stabilità poli per Re[s] = 0 semplici F(s) = L [ h(t) ]

43 Tor Vergata M. Salerno Laplace 43 = Im[s] = Re[s] piano s poli Risposta impulsiva h(t) = L -1 [ F(s) ] Stabilità: esempi + V e (s) sL + V u (s) 1/sC Circuito reattivo F(s) = = V e (s) V u (s) 1/sC sL + 1/sC Funzione di rete: funzione di trasferimento in tensione F(s) = = 1 s 2 LC s LC F(s) = 2 Re [ ] ; A s + j 0 A = = ½ (LC) -1/2 j 1/LC s - j 0 s=- j 0 h(t) = 2 Re [ A e -j t ] u -1 (t) 0 1 s 2 LC + 1 = x x = (LC) -1/2 Si ricordi che F(s) = + = 2 Re [ ] A s + j 0 A A* s - j 0 = (LC) -1/2 sin 0 t u -1 (t) 2 Re [ A e -j t ] 0 = 2 Re [ ½(LC) -1/2 j (cos 0 t - j sin 0 t) ] = (LC) -1/2 sin 0 t h(t) t andamento al limite di stabilità Circuito passivo RLRL RCRC Ipotesi: R L / L = 1/(CR C ) = D sL + R L = L(s+ R L /L) =L(s+D) = Lp sC + 1/R c = C(s+ 1/CR c )=C(s+D) =Cp p = s + D D reale e positivo F(p) = = 1 p 2 LC p LC F(p) = 2 Re [ ] ; A p + j 0 + VeVe + VuVu pL 1/pC Nella variabile p, il circuito è reattivo F(p) = 1/pC pL + 1/pC 1 p 2 LC + 1 = Lanalisi è identica a quella del circuito LC Il piano p è traslato a destra di D rispetto al piano s = Im[p] = Re[p] piano p poli = + D Risposta impulsiva h(t) = L -1 [ F(s) ] 1 p LC F(p) = = 1 p 2 LC + 1 x x = (LC) -1/2 A = = ½ (LC) -1/2 j 1/LC p - j 0 p=- j 0 F(p) = 2 Re [ ] ; A p + j 0 F(s+D) = 2 Re [ ] ; A s+D + j 0 = Im[p] = Re[p] piano s poli poli in s : -D + j 0 x x 0 0 -D h(t) = 2 Re [ A e (-D-j )t ] u -1 (t) 0 = 2 e -D t Re [ A e -j t ] u -1 (t) 0 = (LC) -1/2 e -D t sin 0 t u -1 (t) Lespressione è identica a quella del circuito LC, eccetto il fattore e -Dt. Pertanto lo spostamento a sinistra dei poli della quantità D corrisponde allo smorzamento della risposta impulsiva h(t) = (LC) -1/2 e -D t sin 0 t u -1 (t) h(t) t andamento stabile

44 Tor Vergata M. Salerno Laplace 44 + VuVu VeVe + sL 1/sC Stabilità: esempi Circuito attivo Funzione di rete: funzione di trasferimento in tensione I1I1 I1I1 I 1 = V e / sL V u = - (1/sC) I 1 = -1/(s 2 LC) Risposta impulsiva h(t) = L -1 [ F(s) ] = Im[p] = Re[p] piano s poli ; polo : s = 0, doppio x x h(t) = L -1 [ F(s) ] = L -1 [ -1/(s 2 LC) ] F(s) = V e (s) V u (s) = (-1/LC) u -2 (t) h(t) t rampa andamento instabile Il polo doppio allorigine (s = 0) dà luogo ad andamento instabile. Dal punto di vista della stabilità, lorigine del piano s ha le stesse proprietà degli altri punti dellasse immaginario Dopo lapplicazione dellimpulso, una corrente costante percorre linduttore e, proseguendo nel condensatore, lo carica indefinitamente. Lenergia corrispondente è fornita dal noratore.

45 Tor Vergata M. Salerno Laplace 45 Regime permanente U(s)E(s) E(s) F(s) = U(s) Ipotesi e(t) = L -1 [ E(s) ] = E cos( t + ) u -1 (t ) circuito stabile Si ricordi che: E(s) = L [ e(t) ] = L [ E cos( t + ) u -1 (t ) ] = E = E e j fasore di e(t) = L [ ½ [ E e j t + E* e - j t ] u -1 (t ) ] = ½ [ + ] E s - j E*E* s + j E(s) = ½ [ + ] E s - j E*E* s + j U(s) = ½ [ + ] F(s) E s - j E*E* s + j Poli di U(s) : + Poli di F(s) : per Re [ s ] < 0 Poli di E(s) : per s = + j Sviluppo in frazioni parziali U(s) = U p (s) + Ut Ut (s) sviluppo sui poli di E(s)sviluppo sui poli di F(s) u(t) = u p (t) + ut ut (t) andamento sinusoidale permanentetende a zero per la stabilità: transitorio Calcolo di U p (s) U p (s) = ½ [ + ] U s - j U*U* s + j ½ U = U(s)(s – j ) | s=j = = ½ F(s) [ + ] (s – j ) | s=j E s - j E*E* s + j = ½ F( j ) E U = F( j ) E

46 Tor Vergata M. Salerno Laplace 46 Regime permanente Laplace U(s)E(s) E(s) F(s) = U(s) UE E F(s) | s=j = U Regime permanente Circuito stabile: al crescere di t, tutte le risposte impulsive tendono a zero tutte le risposte transitorie tendono a zero tutte le grandezze elettriche del circuito sono in regime sinusoidale permanente Analisi in regime permanenteAnalisi nel dominio di Laplace Grandezze elettriche: L -trasformate di tensioni e correnti Grandezze elettriche: fasori di tensioni e correnti Funzioni di rete F(s) Funzioni di rete F(s), con s = j La sostituzione s = j può essere effettuata in qualunque punto del procedimento Circuito al limite di stabilità p.es. circuiti reattivi Se j è un polo di F(s), la suddivisione della risposta in permanente e transitorio non può essere effettuata F( j ) = / Al crescere di t, alcune risposte impulsive non tendono a zero, ma rimangono limitate Lanalisi in regime permanente può essere effettata, ma alcune risposte transitorie di tipo sinusoidale si sovrappongono alle sinusoidi del regime permanente Circuito instabile Al crescere di t, alcune risposte impulsive non tendono a zero e possono divergere Lanalisi in regime permanente può essere effettata formalmente, ma può perdere di validità, perché alcune risposte transitorie possono mascherare il regime permanente Lanalisi con il metodo dei fasori non permette di determinare i transitori, né di verificare la stabilità, o meno, del circuito

47 Tor Vergata M. Salerno Laplace 47 poli di I(s) = Im[p] = Re[p] piano s poli V(s) = ½ [ + ] ; V s - j V*V* s + j V = V e j Regime permanente: esempio (sL+R)I(s) = V(s) I(s) = ½ [ + ] V s - j V*V* s + j sL+R 1 F(s) = sL+R 1 funzione di rete: ammettenza dingresso circuito stabile s = + j poli della eccitazione x x s = -R/L polo della funzione di rete x -R/L Sviluppo in frazioni parziali di I(s) I(s) = ½ [ + ] + I s - j I*I* s + j s+R/L A ½ I = I(s)(s - j ) | s = j = j L+R ½ V A = I(s)(s + R/L ) | s = -R/L = = [ + ] V*V* -R/L + j V -R/L - j 1 2L permanente transitorio t = 0 + V cos( t+ ) dominio di t L i(t) i(t) = 0 | t < 0 R + V(s) dominio di s sL I(s) R I = ; j L+R V A = - Re [ ] j L+R V = - Re[I ] Re [ ] = j L+R V L +R (cos + j sin )(- j L+R) V Re [ ] = L +R R cos + L sin = V A = - Re [ I ] = 0 per R cos + L sin = 0 tan = - R / L I = V / ( j L+R) A = - V L +R R cos + L sin = - Re[I ] A = - Re[I ] = 0 per tan = - R / L i(t) = i p (t) + i t (t) Andamenti nel tempo i p (t) = Re [ I e j t ] u -1 (t) i t (t) = A e - (R/L) t u -1 (t) i p (0 + ) = Re [ I ] i t (0 + ) = A ; Allistante 0 + i(0 + ) = A + Re [ I ] = 0 t i(t) Re[I ] permanente A transitorio risposta completa Il circuito è rilevante in molte applicazioni, in quanto rappresenta linserzione di un carico induttivo (p. es. un trasformatore, un motore, ecc.) su un generatore sinusoidale (p. es. la tensione di alimentazione di rete) t = 0 + V cos( t+ ) dominio di t L i(t) i(t) = 0 | t < 0 R Nelle applicazioni tutti i parametri sono noti, eccetto langolo, che dipende dallistante di inserzione, in genere casuale. Risulta così non prevedibile landamento della risposta completa Il caso più favorevole si ha quando il transitorio è assente (A = 0 ; tan = - R / L) e la corrente massima è pari a | I |. Nel caso peggiore, il valore assoluto della corrente può raggiungere il valore di 2 | I |


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