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Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali Reti Elettriche – Parte I Revisione aggiornata al 18-3-2013 (www.elettrotecnica.unina.it)

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Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali Reti Elettriche – Parte I Revisione aggiornata al (www.elettrotecnica.unina.it)

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1 Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali Reti Elettriche – Parte I Revisione aggiornata al (www.elettrotecnica.unina.it)

2 Oggetto del corso Studio delle reti elettriche - reti in regime stazionario - reti in regime lentamente variabile ed in particolare sinusoidale Elementi di impianti elettrici - il trasformatore - elementi di sicurezza elettrica

3 Supporti didattici Giulio Fabricatore: Elettrotecnica ed applicazioni Liguori Editore Appunti integrativi su: - Trasformatore - Esercizi numerici Slides del corso

4 Tipologia delle reti elettriche considerate Reti di bipoli Definizione preliminare di bipolo: Oggetto elettrico facente capo a due morsetti terminali A e B, che sono attraversati dalla corrente i e a cui è applicata la tensione v. Si considera il funzionamento dei singoli bipoli a scatola chiusa, partendo dalle relazioni tra v ed i.

5 Richiami preliminari Corrente elettrica, tensione elettrica e forza elettromotrice

6 La corrente elettrica (di conduzione) Δq carica netta che, nellintervallo di tempo Δt, transita nel verso diretto dalla sez. A alla sez. B attraverso la sez. S.

7 Vettore densità di corrente (di conduzione) Il vettore densità di corrente di conduzione da A verso B attraverso la superficie S è definito da:

8 Corrente elettrica in un conduttore filiforme Definizione di Ampére. In 2 conduttori filiformi, rettilinei, paralleli e indefiniti posti in aria circola la corrente di un A, se tra di essi si esercita una forza pari a 2·10 -7 N per metro di lunghezza.

9 Misura della corrente (amperometro ideale) Lamperometro ha 2 morsetti,uno + ed uno - Misura della corrente da A verso B. Misura della corrente da B verso A.

10 Diversi tipi di corrente Corrente nei conduttori metallici, costituita da un flusso di elettroni (e=-1.6· coulomb) (1 coulomb=1 A * 1 sec) Corrente nei conduttori elettrolitici costituiti da un flusso di ioni positivi e negativi

11 La corrente nei semiconduttori Struttura cristallina del silicio Conduzione di tipo p (positiva) costituita da un flusso di buchi

12 La corrente di spostamento La corrente di spostamento j S attraverso una superficie S invariata nel tempo ed immersa in un mezzo lineare di costante dielettrica ε è data da: La quantità rappresenta il vettore densità di corrente di spostamento

13 Un esempio di corrente di spostamento v

14 La corrente totale La somma della corrente di conduzione i e della corrente di spostamento j S : i tot =i+j S è detta corrente totale. Il corrispondente vettore densità è solenoidale: Pertanto la somma delle correnti di conduzione i e di spostamento j S uscenti dalla (o entranti nella) superficie chiusa Σ è nulla.

15 La tensione elettrica Data una linea ϒ di estremi A e B si dice tensione da A a B lungo ϒ, la quantità che rappresenta il lavoro compiuto dal campo elettrico per spostare lunità di carica positiva da A a B lungo ϒ. Lunità di misura della tensione è il volt [V]. 1 volt=1 joule/coulomb. (1 coulomb =1 ampére·secondo). Se il campo elettrico è conservativo la tensione è

16 La tensione elettrica indipendente da γ. Il campo elettrico è dotato di potenziale: La d.d.p. tra A e B può essere formalmente indicata come

17 Misura della tensione elettrica (voltmetro ideale) Il voltmetro ha 2 morsetti,uno + ed uno - Misura della d.d.p. V AB Misura della d.d.p. V BA

18 Forza elettromotrice Si dice forza elettromotrice (f.e.m.) agente lungo una linea chiusa orientata γ la quantità scalare algebrica: Essa è diversa da zero solo se non è conservativo sulla linea γ o almeno su di una sua parte e quindi se γ è immersa in tutto o in parte in una regione dello spazio R sede di fenomeni fisici di trasformazione denergia.

19 Lesempio della pila (funzionamento a vuoto) Sia K T la forza totale agente sullunità di carica. dove è il campo elettrostatico creato dalla distribuzione di cariche sugli elettrodi e è il campo di natura

20 Lesempio della pila (funzionamento a vuoto) elettrochimica presente solo allinterno della soluz. elettrolitica,dove: Nellaria si ha:

21 F.e.m derivante dallinduzione elettromagnetica Solenoidalità del vettore induzione magnetica

22 F.e.m derivante dallinduzione elettromagnetica Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ. Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità: in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale a Sγ è orientata in maniera congruente allorientazione di γ.

23 F.e.m derivante dallinduzione elettromagnetica Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ Congruenza del verso della normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ

24 F.e.m derivante dallinduzione elettromagnetica Legge di Faraday Per effetto della variabilità nel tempo dellinduzione magnetica, nella linea chiusa orientata γ insorge una f.e.m. data da: in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f.e.m e.

25 Definizione di bipolo Si definisce bipolo un oggetto elettrico racchiuso da una superficie S, da cui fuoriescano due morsetti A e B; S sia scelta in maniera tale che: 1) i A =i B ; 2) sia conservativo su S e nelle sue immediate vicinanze; 3) vi sia assenza di forze di natura non elettrica. Il regime di funzionam. è stazionario o lentamente variabile

26 Pila ideale Esempi di bipoli A B

27 Esempi di bipoli: la capacità v A B i

28 Convenzioni dei segni in un bipolo

29 Potenza assorbita da un conduttore Il lavoro dL secondo la direzione della forza per spostare la carica positiva dq da A a B (lavoro assorbito) è: La potenza corrispond. è p ass =vi: tale espressione è esatta in regime staz. ed approssim. in regime lentamente variab. Convenz. utilizzatore

30 Tale potenza è erogata dal resto della rete a monte del conduttore e trasferita a questo che la assorbe. Se si considera il lavoro elementare dL da B ad A,si ha: dL=-vidt e p=-vi questa potenza,derivante da un lavoro secondo una direzione opposta alla forza, si dice erogata dal conduttore. Se si considera un qualsiasi bipolo e si adopera la convenzione dellutilizzatore si può dimostrare che continuano a valere le precedenti relazioni: P assorbita =vi P erogata =-vi Se v·i>0 si può dimostrare che una potenza positiva entra nella superficie limite del bipolo utilizzatore.

31 Potenza erogata o assorbita da un bipolo (convenzione del generatore) P erogata =-vi=viP assorbita =vi=-vi

32 Potenza assorbita o erogata da un bipolo Convenzione dellutilizzatore p assorbita =vi p erogata =-vi Convenzione del generatore p erogata =vi p assorbita =-vi

33 Misura della potenza La misura della potenza assorbita (o erogata) da un bipolo si fa con il wattmetro, che presenta 2 coppie di morsetti: una coppia amperometrica attraversata da i ed una voltmetrica, cui è applicata v. Ciascuna coppia ha un morsetto +.

34 I principio di Kirchhoff (Legge di Kirchhoff delle correnti -LKC) Per la definizione di bipolo: In generale: m numero lati confluenti nel nodo

35 II principio di Kirchhoff (Legge di Kirchhoff delle tensioni -LKT) Per la definizione di bipolo: In generale: m è il numero di lati della maglia

36 Reti in regime stazionario Analisi delle reti

37 Caratteristica statica di un bipolo Si dice caratteristica statica di un bipolo la relazione: V=f(I)) che lega la tensione V applicata ai morsetti A e B alla corrente I che lo attraversa in regime stazionario. Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica

38 Dipendenza della caratteristica dalle convenz. dei segni di V ed I

39

40 Classificazione dei bipoli: bipoli lineari e non lineari Si dice lineare un bipolo la cui caratteristica è lineare. Si dice non lineare nel caso contrario

41 Classificazione dei bipoli:bipoli inerti e bipoli non inerti Si dice inerte un bipolo la cui caratteristica la caratteristica passa per lorigine degli assi. Si dice non inerte nel caso contrario

42 Classificazione dei bipoli: bipoli passivi Si dice passivo un bipolo per il quale la potenza assorbita è maggiore o eguale a zero. Esso funziona sempre da utilizzatore. V·I0

43 Classificazione dei bipoli: bipoli attivi Si dice attivo un bipolo non passivo. In alcune regioni del piano V,I esso funziona da generatore in altre da utilizzatore. Convenzione utilizzatore V·I0V·IOV·I>0

44 Una rete elementare

45 Bipoli lineari ideali

46 Bipolo Resistenza G

47 Potenza assorbita dal bipolo Resistenza Convenzione utilizzatore P ass =VI=(RI)I=RI 2 ; P ass = V 2 /R=G V 2. Convenzione generatore P ass =-VI=-(-RI)I=RI 2 ; P ass = V 2 /R=G V 2.

48 Una diversa caratterizzazione del bipolo resistenza V n, P n 10 V, 20 W500 V, 50 kW

49 Equivalenza di bipoli Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica statica

50 Corrente nei conduttori metallici V=RI e=-1.6· coulomb

51 Resistenza reale di un conduttore La resistenza di un conduttore cilindrico di sezione S e lunghezza l è dato da: dove ρ è la resistività variabile con la temperatura T: ρ= ρ 0 (1+αT) ρ 0 resistività a 0 0 C

52 Generatore ideale di tensione V=E

53 Generatore ideale di corrente I=J

54 Corto circuito ideale V=0 Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo R=0 o dal bipolo generatore ideale di tensione ponendo E=0

55 Aperto ideale I=0 Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo G=0 o dal bipolo generatore ideale di corrente ponendo J=0

56 Serie e parallelo di bipoli A B A B

57 Resistenze in serie

58 Resistenze in parallelo Se n=2 Se

59 Generatori ideali di tensione in serie e in parallelo E=E 1 =E 2 I=I 1 +I 2

60 Equivalenza di bipoli

61

62 V=E I=J

63 Bipolo di Thévenin LKT Caratteristica statica

64 Bipolo di Norton LKC Caratteristica statica

65 Equivalenza del bipolo di Norton al bipolo di Thévenin Thévenin Norton Il bipolo di Norton è equivalente al bipolo di Thévenin se:

66 Generatore reale di tensione Pila reale sotto caricoCircuito equivalente A B

67 Generatore reale di tensione P A B O

68 Potenza utile erogata dal generatore reale di tensione Potenza utile Il massimo di P u al variare di R u si ha se:

69 Bilancio delle potenze e rendimento LKT

70 Caduta di tensione nel generatore reale di tensione Caduta di tensione

71 Parallelo di generatori reali di tensione I c =0 se E 1 =E 2

72 Una particolarizzazione della LKT LKT per una generica maglia a m lati Generico lato k-esimo

73 Un esempio

74 Formule del partitore di tensione Ripartizione della tensione V applicata a 2 resistenze in serie

75 Formule del partitore di corrente Ripartizione della corrente I tra due resistenze in parallelo

76 Trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo

77 Equivalenza di tripoli di resistenze

78 Condizioni di equivalenza tra tripoli di resistenze

79

80

81 Equazioni delle trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo Eliminando J dalle equazioni precedenti si ottiene il sistema:

82 Equazioni delle trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo Trasformazione triangolo-stella Trasformazione stella-triangolo

83 Un caso particolare

84 Analisi di una rete elettrica LKT per le maglie 1, 2, 3 1) 2) 3) LKC per il nodo A (o B)

85 Analisi di una rete elettrica, grafo, albero e coalbero Data una generica rete elettrica di bipoli lineari costituita da l lati e n nodi : Si dice grafo linsieme costituito da tutti i lati e nodi della rete. Si dice albero il sottoinsieme del grafo costituito da tutti i nodi e da n-1 lati che congiungono tali nodi senza formare maglie chiuse. Il coalbero è linsieme complementare dellalbero. Esso è costituito da l- (n-1) lati

86 Esempi di grafi, alberi e coalberi l=3 n=2

87 Esempi di grafi, alberi e coalberi l=10 n=6

88 Analisi di reti resistive con sorgenti di tensione Data la generica rete, con l lati ed n nodi: il calcolo delle correnti si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari nelle l incognite I k costituito da: l-(n-1) LKT n-1 LKC

89 Un esempio numerico E 1 =30 V E 2 =60 V Sistema risolventeForma matriciale I 1 =0 I 2 =1,5 A I 3 =1,5 A Risultato

90 Le potenze in gioco Potenza erogata da E 1 : P e1 =E 1 I 1 =0 W Potenza erogata da E 2 : P e2 =E 2 I 2 =90 W Potenze assorbite dalle resistenze: P R1 =R 1 I 1 2 =0 W P R2 =R 2 I 2 2 =45 W P R3 =R 2 I 3 2 =45 W P rtot =90 W P e1 + P e2 =P rtot

91 Una rete con sorgenti di tensione e di corrente E 1 =30 V J=2 A I 1 =-0,25 A I 2 =1,75 A

92 Le potenze in gioco Potenza erogata da E 1 : P e1 =E 1 I 1 =-7,5 W Potenza erogata da J: P eJ =V J J=150 W Potenze assorbite dalle resistenze: P R1 =R 1 I 1 2 =1,25 W P R2 =R 2 I 2 2 =61,25 W P R3 =R 2 I 3 2 =80 W P rtot =142,5 W V J =75 V P e1 + P eJ = P rtot

93 Analisi di reti con sorgenti di tensione e di corrente Data la generica rete, con sorgenti di tensione e di corrente, con n nodi ed l lati (l è definito non considerando i lati contenenti i generatori di corrente in cui la corrente è nota), il calcolo delle l correnti incognite I k si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da: l-(n-1) LKT n-1 LKC

94 Principio di conservazione delle potenze elettriche Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete. Siano P 1,.. P i,…P n gli n nodi della rete Tesi Somma parziale relativa al nodo P i Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete

95 Una formulaz. del principio di conservazione nelle reti lineari La somma delle potenze erogate dai generatori di tensione e di corrente è eguale alla somma delle potenze assorbite dalle resistenze

96 Un corollario dei principi di Kirchhoff Ipotesi Nel generico nodo P confluiscono solo bipoli passivi Tesi Tra i nodi contigui esiste almeno un nodo P a potenziale UU(P) e almeno uno a potenziale UU(P). Da questo corollario scaturisce il principio di non amplificazione delle tensioni. Se I 1, I 2 >0 si ha V 1,V 2 0 e U(P 1 )U(P) e U(P 2 )U(P) Se I 3, I 4 <0 si ha V 3,V 4 0 e U(P 3 ) U(P) e U(P 4 ) U(P)

97 Principio di non amplificazione delle tensioni Tale principio prevede che ai capi dellunico lato attivo di una rete in regime stazionario, in cui vi siano tutti lati passivi tranne uno, è applicata la tensione massima. Si consideri infatti linsieme di n elementi costituito dai potenziali degli n nodi della rete. Per il precedente corollario il potenziale dei nodi in cui confluiscono solo lati passivi non può essere né il massimo né il minimo di tale insieme. Conseguentemente i potenziali massimo e minimo devono essere relativi ai nodi posti agli estremi dellunico lato attivo. Si può dimostrare che in tale lato si ha anche la massima corrente (Principio di non amplificazione delle correnti)

98 Sovrapposizione degli effetti

99 Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico J=2 AE 1 =30 V I 1 =I 1 +I 1 =-0,25 AI 2 =I 2 +I 2 =1,75 A I 3 =I 3 +I 3 =2 A

100 Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico E 2 =60 VE 1 =30 V R eq =R 1 +R 2 //R 3 =30 I 1 = 1 A

101 Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico R eq =R 2 +R 1 //R 3 =30 I 1 =I 1 +I 1 =0 I 2 =I 2 +I 2 =1,5 A I 3 =I 3 +I 3 =1,5 A

102 Non applicabilità della sovrapposizione degli effetti al calcolo delle potenze Posto: la potenza P k assorbita dalla resistenza R k non è pari alla somma di P k e P k ; infatti:

103 Analisi di reti con sorgenti di tensione e di corrente Data la generica rete con n nodi ed l lati il calcolo delle l correnti incognite I k si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da: l-(n-1) LKT n-1 LKC

104 Metodo dei potenziali nodali Sostituendo le correnti nelle n-1 LKC: si ha il sistema di n-1 eq. nelle n incognite U pk : Se poniamo eguale a zero il potenziale di uno degli n nodi, si ottiene:

105 Metodo dei potenziali nodali, la formula di Millmann La LKC fornisce dove:

106 Formula di Millmann: un esempio numerico E 1 =30 VE 2 =60 V G 1 =G 2 =G 3 =G=0,05 -1 I 1 =(E 1 -U A )G 1 =0 I 3 =(-U A )G 3 =-1,5 A I 2 =(E 2 -U A )G 2 =1,5 A

107 Teorema di Thévenin: enunciato Se sisola un lato AB di una rete lineare, il bipolo a monte dei morsetti A,B è equivalente ad un bipolo di Thévenin, in cui V 0 è la tensione a vuoto tra A e B e R eq è la resistenza equivalente dello stesso bipolo reso passivo.

108 Teorema di Thévenin: dimostrazione

109

110 Teorema di Thévenin: una conseguenza

111 Un esempio numerico E 1 =30 VE 2 =60 V R eq =R 1 //R 2 =10 V

112 Teorema di Norton: enunciato Se sisola un lato AB di una rete lineare, il bipolo a monte dei morsetti A,B è equivalente ad un bipolo di Norton, in cui I cc è la corrente di corto circuito tra A e B e R eq è la resistenza equivalente dello stesso bipolo reso passivo.

113 Teorema di Norton: dimostrazione Caratteristica comune ai bipoli di Thévenin e Norton

114 Teorema di Norton: una conseguenza

115 Un esempio numerico E 1 =30 VE 2 =60 V R eq =R 1 //R 2 =10 I cc =E 1 /R 1 +E 2 /R 2 =4,5 A


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