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Lezione 4) LEquazione Iconale e la propagazione delle onde in mezzi disomogenei.

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Presentazione sul tema: "Lezione 4) LEquazione Iconale e la propagazione delle onde in mezzi disomogenei."— Transcript della presentazione:

1 Lezione 4) LEquazione Iconale e la propagazione delle onde in mezzi disomogenei

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3 Ricordiamo la soluzione generale dellequazione delle onde in tre dimensioni per mezzi omogenei : Nel caso la velocità non sia costante scriviamo lequazione delle onde utilizzando una velocità non costante : Cerchiamo una soluzione nella forma trovata per mezzi omogenei:

4 Fatta questa assunzione inseriamo la soluzione nella equazione di partenza e troviamo: Lequazione scritta sopra una volta sviluppata sarà una equazione complessa che si risolverà eguagliando tra loro la parte reale e la parte immaginaria dei due termini a sinistra e a destra del segno di uguaglianza. Per la parte reale si ottiene facilmente la seguente equazione :

5 Nel caso in cui il termine a destra del segno di uguaglianza sia trascurabile si ottiene il seguente risultato : Lequazione sopra scritta si chiame equazione iconale e rappresenta una soluzione approssimata dellequazione donda per mezzi non omogenei valida per alte frequenze. Lequazione iconale è applicabile se la variazione del grediente di A(x) è molto minore di A(x).

6 Data un fronte donda W(x) che viaggia nello spazio tridimensionale definendo una superficie S, e dato un raggio ortogonale al fronte donda che percorre una traiettoria ds, definiamo coseni direttori di ds gli angoli che esso forma con le tre direzioni dello spazio : I coseni direttori sono legati dalla relazione : In questa ipotesi, visto che il grediente di W(x) è ortogonale alla superficie S, e quindi si ottiene che :

7 Si può quindi riscrivere : La relazione ottenuta è lequazione iconale se poniamo :

8 Combinando le equazioni sopra presentate si ottengono le equazioni chiamate normali date dalle espressioni:

9 Cerchiamo di capire come le equazioni normali variano lungo il tragitto del raggio, e quindi calcoliamone le derivate rispetto a ds, per la prima coordinata si ha : Generalizzando in tre dimensioni si ottiene: Lequazione ottenuta ci dice che le variazioni della posizione del punto, cioè la traiettoria, dipendono dal grediente di velocità presente, e quindi dal grado di disomogeneità del mezzo attraversato dal raggio stesso.

10 Supponiamo di lavorare con una distribuzione di velocità che è soltanto funzione di una coordinata. Prendiamo per convenzione gli assi x1 e x2 ortogonali e giacenti sul piano orizzontale e lasse x3 ortogonale alla superficie e diretto verso il basso. In questo caso si ha : Le equazioni normali si riducono quindi a:

11 Le relazioni scritte ci dicono che le variazioni delle coordinate sul piano orizzontale sono costanti durante il cammino del raggio, e che quindi la proiezione del raggio sulla superficie è una retta. Ciò significa che il raggio compie la sua traiettoria su un piano ortogonale alla superficie, e che quindi se consideriamo una sorgente ed un ricevitore la traiettoria del raggio è contenuta in un piano ortogonale alla superficie e che contiene sia la sorgente che il ricevitore. Possiamo a questo punto ruotare il sistema di riferimento in modo da far coincidere la direzione x1 con la proiezione del raggio in superficie riducendo le equazioni normali alla forma :

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13 In ogni punto della traiettoria i coseni direttori del raggio sono dati, indicando con i langolo tra lasse x3 e la tangente al raggio, da : Da cui si ottiene : In questa relazione i è chiamato angolo di incidenza e p parametro del raggio che ci dà linverso della velocità in direzione orizzontale e che rimane costante su tutta la traiettoria. Lequazione sopra scritta rappresenta la legge di Snell sulla quale si basa ad esempio anche lottica geometrica.

14 Considerando il secondo termine delle equazioni normali si ottiene : La relazione scritta mostra che la curvatura del raggio è proporzionale al grediente di velocità, e quindi se la velocità aumenta con la profondità il raggio piega verso lalto. Da qui si deduce che in un modello di terra piatta un raggio generato in superficie con un angolo di partenza (angolo di take off) maggiore di 90° potrà uscire in superficie ad una certa distanza delta soltanto se la velocità aumenta con la profondità.

15 Nelle ipotesi fin qui fatte in ogni punto della traiettoria del raggio si ha : Volendo calcolare la distanza a cui emergerà un raggio emesso da una sorgente superficiale con un angolo inferiore a 90° basterà integrare la relazione precedente su tutto il percorso attraverso la seguente elazione :

16 Per quanto riguarda il tempo di viaggio (travel time) esso sarà dato dallintegrale sulla traiettoria del rapporto tra lo spazio percorso e la velocità : Ponendo g =1/c si ottiene per la distanza X e la travel time T :

17 Se calcoliamo ora la differenza di T - Xp otteniamo : La formula ottenuta fornisce la travel time per un modello di velocità dipendente soltanto dalla profondità.

18 Il caso di un modello di terra a strati piani e paralleli con velocità costante allinterno di ogni strato e crescente passando da strati superficiali a strati più profondi può essere ottenuto come generalizzazione dellequazione precedente, supponiamo quindi un modello a n strati ciascuno con velocità a e spessore th, lequazione precedente si trasforma in :

19 Ricaviamo la formula precedente in un modello a due strati con velocità e partendo dalla legge di Snell. Si ha : Il fronte donda percorre la distanza d nel tempo il fronte donda in superficie viaggia alla velocità apparente : Se la velocità nel secondo strato è maggiore il raggio si allontana dalla normale.

20 Quando langolo di rifrazione è uguale a 90° si ha : Langolo i c si chiamo angolo critico : La travel time per londa rifratta criticamente è :

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31 LAttenuazione delle onde sismiche

32 Le onde emesse da una sorgente puntiforme in un mezzo elastico omogeneo ed isotropo si propagano, per simmetria, su fronti donda sferici. A grandi distanze un fronte donda sferico si approssima con un piano tangente alla sfera. Allontanandosi dalla sorgente il fronte donda si espande e quindi lenergia trasportata dallonda si distribuisce su una superficie sempre più grande e quindi diminuisce la densità di energia (energia per unità di superficie). Visto che lenergia è legata al quadrato dellampiezza dellonda, e che la superficie di una sfera cresce con il quadrato del raggio, lampiezza dellonda di volume diminuisce con la distanza dalla sorgente. Tale fenomeno si chiama ATTENUAZIONE GEOMETRICA ed è sempre presente, anche in mezzi perfettamente elastici.

33 Nel caso di un solido perfettamente elastico la particella di terreno oscilla senza disperdere energia, quindi il suo moto può essere descritto dallequazione delloscillatore armonico : che ammette una soluzione oscillante del tipo :

34 Nel caso il mezzo non sia perfettamente elastico al suo interno si dissipa energia e nellequazione del moto si introduce un termine di smorzamento : che ammette una soluzione del tipo : Ponendo e = 1/ 2Q si ha per lampiezza delloscillazione :

35 Q si chiama fattore di qualità e rappresenta il decremento logaritmico dellampiezza delle oscillazioni tra due cicli successivi, infatti se si pone: si ottiene : Da cui si ottiene :

36 Si possono fare due ipotesi: Q indipendente dalla frequenza – In questo caso a parità di distanza viaggiata onde ad alta frequenza effettuano più cicli di vibrazione e quindi si attenuano di più. Q dipendente linearmente dalla frequenza – Leffetto del maggiore numero di cicli sullonda viene compensato dallaumento di Q e quindi dalla diminuzione dellattenuazione anelastica, in questo caso le frequenze si attenuano della stessa quantità. In realtà si osservano comportamenti intermedi e la dipendenza di Q dalla frequenza può essere espressa dalla seguente legge:

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