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superfici matematiche in 3D

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Presentazione sul tema: "superfici matematiche in 3D"— Transcript della presentazione:

1 superfici matematiche in 3D
Università degli Studi di Napoli “Federico II” E-Learning: superfici matematiche in 3D Nicla Palladino Dottorato di Ricerca in Matematica Applicata e Informatica XVI ciclo 10 Dicembre 2004 E-learning: superfici matematiche in 3D

2 Un Ambiente Virtuale di Apprendimento
La tesi traccia una “roadmap” per la trasposizione on line dei corsi di geometria. Prodotto finale: Un Ambiente Virtuale di Apprendimento (Un ambiente di supporto per l’apprendimento della geometria delle quadriche). E-learning: superfici matematiche in 3D

3 E-learning: superfici matematiche in 3D
La tesi è il risultato di un’attività di ricerca in un ambito che coinvolge il settore della computer grafica e quello dell’E-Learning. Capitolo Primo: La didattica con le nuove tecnologie Strumenti per la didattica sul web La geometria con i modelli di superfici I Learning Object Capitolo Secondo: L'E-Learning Un Learning Object per le quadriche La rappresentazione di oggetti 3D nel Web Semantico Capitolo Terzo: algoritmi di approssimazione 3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Verso l'integrazione e il riuso delle collezioni di modelli matematici… E-learning: superfici matematiche in 3D

4 E-learning: superfici matematiche in 3D
Punto di partenza: Le lezioni di Geometria di Luigi Campedelli Con gli strumenti dell’E-learning, si sono trasposte lezioni ispirate alla didattica del Prof. Luigi Campedelli ( ); Si è reintrodotto il metodo didattico elaborato da Luigi Campedelli ed Emma Castelnuovo; “….Sostituire, dove possibile, le dimostrazioni matematiche con le scoperte” Luigi Campedelli, Fantasia e logica nella matematica, Feltrinelli, 1966 E-learning: superfici matematiche in 3D

5 E-learning: superfici matematiche in 3D
Punto di partenza: i modelli matematici -Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del ‘900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo. -I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria, usando la percezione. -Con un modello matematico si rendevano auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate. -Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perché forniscono concretezza ai risultati e, come rappresentazioni 3d, sono accessibili alla simulazione. E-learning: superfici matematiche in 3D

6 progettato come ellissoide NURBS dall’architetto Norman Foster
Punto di partenza: i modelli matematici Quegli stessi modelli hanno influenzato l’architettura contemporanea: Swiss Re Tower, Londra, 2004, progettato come ellissoide NURBS dall’architetto Norman Foster Ellissoide, 1890 E-learning: superfici matematiche in 3D

7 Come renderle facilmente reperibili ?
PROBLEMA: Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …? Molte di queste collezioni –come accaduto per tanti materiali didattici- sono state trasformate in repository di Modelli 3D. Come renderle facilmente reperibili ? Come riusarle nel contesto dell’E-Learning ? Per trasporre on-line le lezioni di Geometria della scuole classiche con successo, è necessario risolvere questi problemi. The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate, but the means we use for threading through the consequent maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-rigged ships. Vannevar Bush, “As we may think”, 1945 E-learning: superfici matematiche in 3D

8 E-learning: superfici matematiche in 3D
L’E-Learning -Problema Ipercomplessità tecnologica reti di computer il virtuale come spazio antropologico esser “ci” diventa inessenziale de-territorializzazione -le conoscenze aumentano in modo esponenziale incompletezza delle didattiche tradizionali "il sistema non è tutto“ - decostruzione dei saperi l'apprendimento come costruzione personalizzata di conoscenze E-LEARNING Soluzione E-learning: superfici matematiche in 3D

9 E-learning: superfici matematiche in 3D
Un Ambiente Virtuale di Apprendimento -Presupposti: “La geometria euclidea è completa e decidibile” (Tarski, 1936) Ogni proprietà di un modello della geometria euclidea può essere dimostrata, I modelli delle superfici matematiche sono modelli della geometria euclidea. Quindi Le proprietà dei modelli matematici possono essere dimostrate, La scoperta di una proprietà è equivalente ad una sua dimostrazione. Grazie al teorema di Tarski la logica si sposta sul piano della percezione E-learning: superfici matematiche in 3D

10 E-learning: superfici matematiche in 3D
in matematica un modello è un oggetto che ha tutte le proprietà della teoria. Se la teoria è completa -come Tarski ha dimostrato per la geometria-vale anche il viceversa. La teoria dimostra tutte le proprietà del modello Tarski ha anche dimostrato che esiste -ma non si sa quale- un algoritmo che dimostra tutte le proprietà dei modelli della geometria euclidea completa vuol dire che ogni proprietà è dimostrabile. Decidibile vuol dire che c'è un metodo effettivo che prende in input una proposizione e in output i) dice che è vera o ii) dice che è falsa E-learning: superfici matematiche in 3D

11 E-learning: superfici matematiche in 3D
Scoperte e dimostrazioni matematiche Teorema: Se una superficie quadrica è non degenere e possiede punti reali, questi sono o tutti iperbolici o tutti ellittici. …Il piano per B che contiene s contiene anche la retta v. Analogamente succede per il piano contente r passante per B. Quindi per B passano due rette contenute in Q necessariamente tangenti… E-learning: superfici matematiche in 3D

12 E-learning: superfici matematiche in 3D
Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : rappresentazione del dominio di conoscenza Instructor : esperto nel dominio di conoscenza. Definisce l’Ontologia e costruisce le risorse didattiche. Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: filtra la conoscenza che permea l’ambiente esterno, popola l’ontologia con le risorse didattiche. Learning Management System: piattaforma per la didattica a distanza. Implementa l’ontologia preparata dall’instructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti; Studente: costruisce le proprie conoscenze con l’aiuto del tutor che gli fornisce i “Learning Object” ed un’interpretazione personalizzata dell’Ontologia costruita dall’Instructor. Ambiente Mediatore didattico Studente Learning Management System Ontologia Instructor E-learning: superfici matematiche in 3D

13 L’e-learning è la principale fonte di finanziamento per l’Università
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14 E-learning: superfici matematiche in 3D
E-learning vs didattica tradizionale -Nell’E-Learning svanisce la figura del docente che impartisce la lezione; -Nell’E-learning la lezione è una costruzione di conoscenze personalizzate; -E’ necessario un mediatore didattico, che puo’ essere umano -Tutor- o automatico -Intelligent Tutoring System. E-learning: superfici matematiche in 3D

15 E-learning: superfici matematiche in 3D
Learning Object Definizione1: Un Learning Object è un’entità -digitale o non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante l’apprendimento supportato dalla tecnologia. D.A.Wiley, “The Instructional Use of Learning Objects’’, pp , AIT Editions, 2002. E-learning: superfici matematiche in 3D

16 Learning Object Definizione2: Un Learning Object è la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica. I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi 1) asset: una risorsa elementare -per esempio, un file- 2) altri Learning Object più semplici Strutture “molecolari” dotate di diversi gradi di “granularità” E-learning: superfici matematiche in 3D

17 E-learning: superfici matematiche in 3D
Learning Object I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici. Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai Learning Object. I Learning Object sono gli strumenti che popolano le Ontologie; I Learning Object sono rappresentati con metadata; I metadata di un Learning Object sono una successione ordinata (array) di attributi; Esistono diversi standard per rappresentare i metadata; il più affermato è lo standard SCORM. E-learning: superfici matematiche in 3D

18 E-learning: superfici matematiche in 3D
Learning Object: Lo standard SCORM SCORM Sharable Content Object Reference Model Curato da Advanced Distributed Learning ADLNet, definisce un standard per I metadata, Il modello dati dei Learning Object –SCORM Content Aggregation Model, L’architettura Run-Time di un Learning Mangement System, Il formato di interscambio per l’impacchettamento dei corsi -“Manifest”. E-learning: superfici matematiche in 3D

19 E-learning: superfici matematiche in 3D
Learning Object: Lo standard SCORM Si preparano gli asset, Si associano i metadata SCORM ai Learning Object, Si pianifica la sequenza del materiale didattico, Si esporta il Manifest su un Learning Management System –LMS. Il Manifest del corso è in formato XML e quindi è indipendente dal costruttore della piattaforma. Per importarlo è sufficiente che la piattaforma sia conforme allo standard SCORM. E-learning: superfici matematiche in 3D

20 E-learning: superfici matematiche in 3D
Learning Object L‘E-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consente l’accessibilità, l'interoperabilità, la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare. E-learning: superfici matematiche in 3D

21 E-learning: superfici matematiche in 3D
Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) Prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare incapsulandone i componenti. Le conoscenze sono diventate complesse e rendono ugualmente complessi i materiali didattici; Per costruire strutture complesse, è necessario che i loro componenti siano “riutilizzabili”. E-learning: superfici matematiche in 3D

22 L’E-Learning in the large
Modelli di E-Learning Content Provider Learning Service Community L’E-Learning in the large E-learning: superfici matematiche in 3D

23 I fornitori di contenuto (Content provider)
Modelli di E-Learning L’E-Learning coinvolge tre tipologie di attori: I fornitori di contenuto (Content provider) Possono essere le università o le aziende che fanno formazione. C’è la tendenza ad organizzarsi in comunità virtuali distribuite. Esempi: MIT OCW Repository di learning object prodotti al MIT MURL -Multi University virtual Research Laboratory Repository multimediale di seminari e corsi on-line The Geometry Center E-learning: superfici matematiche in 3D

24 I fornitori di servizi di e-learning (Learning Service Provider-LSP)
Modelli di E-Learning I fornitori di servizi di e-learning (Learning Service Provider-LSP) I fornitori di servizi di e-learning possono essere le stesse Università, oppure le società specializzate in LSP. Distribuiscono servizi per l’E-Learning prodotti con le risorse fornite dai content provider. Esempi: Global Virtual University -Stanford, Oxford, Cambridge distributed virtual university GRID –Arendal servizi di e-learning per la climatologia globale Sfera servizi di E-Learning just in time per le società del gruppo Wind E-learning: superfici matematiche in 3D

25 Comunità di apprendimento
Modelli di E-Learning Comunità di apprendimento Sono l’estensione del core business delle università tradizionali new university = old university + learning community Esempi: OCW: estende il MIT ai paesi dell’america latina BathMath: comunità di docenti di matematica di UniNa Comunità di pratica (Community of Practice) sostituiscono la formazione professionale E-learning: superfici matematiche in 3D

26 Modelli di E-Learning Filtri di informazione information filter
Per eliminare i learning object “spuri”, è necessario dotare il sistema di un dispositivo di filtraggio, che permetta di accedere a learning object “buoni” Questi filtri sono chiamati Web Reccommender, e si dividono in due categorie: Filtri di informazione information filter Filtri collaborativi (collaborative filter) E-learning: superfici matematiche in 3D

27 E-learning: superfici matematiche in 3D
Modelli di E-Learning Content Provider Learning Service Community Collaborative Filter Content Provider Learning Service Community Information Filter I filtri informativi selezionano i LO in base ai loro contenuti. I filtri collaborativi selezionano i LO in base ai loro contenuti e alle caratteristiche comuni di un gruppo di utente. E-learning: superfici matematiche in 3D

28 Il giardino di Archimede
I filtri collaborativi BatMat Pisa Medialab CS Princeton Harvard CSCI CAVE Stanford MIT OCW TopologyAtlas Polito Mathworld MURL Il giardino di Archimede Chaos on the web Yale FractGeo B’ A’ S A e B sono entrambi interessati all’argomento T. Supponiamo che A e B abbiano esplorato lo stesso insieme di risorse S, con la differenza che A ha visto i learning object S  A’ e B ha visto i learning object S  B’ , con A’ e B’ learning object inizialmente non condivisi. Si comparano le pagine A’ , B’ e S’. Se sono simili , allora A = S  B’ B = S  A’ E-learning: superfici matematiche in 3D

29 E-learning: superfici matematiche in 3D
Problemi principali per il riutilizzo dei LO: Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca. Ricerca dell’informazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore); Estrazione dell’informazione: ad oggi, l’estrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione “manuale” e la lettura dei documenti; Manutenzione dell’informazione: aggiornare documenti è un’attività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi. E-learning: superfici matematiche in 3D

30 Prima parte della soluzione: il Web Semantico
- Nel World Wide Web l’informazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con metadati. - Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. - Gli attuali Metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto. T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998 Nel Web Semantico l’informazione diventa machine-processable. E-learning: superfici matematiche in 3D

31 Tutti i livelli sono codificati in XML.
Soluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è l’RDF (Resource Description Framework). - L’RDF è un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,… Tutti i livelli sono codificati in XML. L’URI è in corrispondenza biunivoca con la locazione della risorsa E-learning: superfici matematiche in 3D

32 E-learning: superfici matematiche in 3D
Soluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF - I metadati limitano la semantica, la sintassi e la struttura a quanto esprimibile con un array, - Una delle finalità di RDF è quella di estendere le semantiche per dati conservando la codifica nel formato XML, - L’RDF è costituito da due componenti: RDF Data Model, fornisce un insieme di termini -vocabolario- per descrivere le risorse RDF Schema, definisce un modello per descrivere le relazioni tra le risorse E-learning: superfici matematiche in 3D

33 E-learning: superfici matematiche in 3D
Soluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF FORMALMENTE: Un dominio di conoscenza è una coppia ordinata di insiemi D=(R,T) tali che R  T = . Chiamiamo RDF DATA Model di D l’insieme dei termini del dominio D. L’RDF Schema di D è un grafo G=(V,E) in cui V ed E sono sottoinsiemi, rispettivamente, delle classi e delle relazioni binarie. L’RDF di D è un grafo G’=(V’,E’) in cui V’ ed E’ sono, rispettivamente, un insieme di classi di elementi di D, detti istanze di classe, ed un insieme di relazioni esteso con la relazione di appartenenza di un’istanza alla classe. A. Di Simone F. Formato , N. Palladino Endowing Geographic Information System with a cognitive level Proc. Multimedia Databases and Image Communications (MDIC'04), Salerno, Italy June 2004. E-learning: superfici matematiche in 3D

34 E-learning: superfici matematiche in 3D
Soluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche: Quadrica Piano Improprio Intersezione C det(Quadrica) det=0 det>0 C immaginaria C reale non degenere C degenere C 2 rette reali C 1 retta immaginarie det<0 det0 Equazione tangenti Punti impropri Link alla teoria E-learning: superfici matematiche in 3D

35 Soluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF
Codifica dell’RDF in XML <?xml version="1.0" ?> <RDF> <Domain xmlns:xsd="http://www.w3.org/2001/XMLSchema" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" id="0" name="Tutorial Intelligente ToonTalk">  <Taxon id="0" name="Quadriche" level="0">   <Description>Quadriche</Description>   </Taxon> <Taxon id="0" name="Piano tangente" level="0"> <Taxon id="0" name="Quadrica" level="0">  <Description>Piano tangente</Description> ... Grazie all’RDF codificato in XML, un Tutor Intelligente può ritagliare il corso che gli interessa facendo il parsing del file xml.

36 E-learning: superfici matematiche in 3D
Seconda parte della soluzione: Per costruire l'ambiente di apprendimento si sono voluti riutilizzare i modelli della collezione già costruiti e disponibili nel Web (http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo). -alcuni modelli hanno dimensioni anche di 2.5 Mbyte -che succede se si vuole disporre di altri modelli? -che succede se l'interconnessione offre prestazioni limitate ? I tool del Web Semantico formalizzano la struttura del Learning Object, mentre, per poter riutilizzare i singoli componenti, una soluzione è l'integrazione del Web Semantico con l'approssimazione mediante NURBS. E-learning: superfici matematiche in 3D

37 E-learning: superfici matematiche in 3D
Seconda parte della soluzione: Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro flessibilità ed all’accuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D alla progettazione. Si definiscono funzioni di base B-Spline di grado hN sul vettore dei nodi U=(u0,…,up), le funzioni costruite mediante la formula ricorrente u,v  [0,1] con E-learning: superfici matematiche in 3D

38 E-learning: superfici matematiche in 3D
Soluzione(2)- Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Assegnati mn punti pi,jR3, dei pesi wijR, un vettore di nodi U=(u0,…,up), un vettore di nodi V=(v0,…,vq), un grado h ed un grado k, si definisce superficie NURBS una superficie la cui rappresentazione parametrica è data da dove u, v  [0,1] sono i parametri della rappresentazione, le Ni,h(u) e le Nj,k(v) sono le funzioni di base B-Spline. I pij sono detti punti di controllo. Sussiste una relazione che lega il grado, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi nelle due direzioni u e v: p=m+h+1 e q=n+k+1 E-learning: superfici matematiche in 3D

39 E-learning: superfici matematiche in 3D
Soluzione(2)- Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue: Assegnati mn punti Qij=(aij, bij, cij) R3, e mn pesi rij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS di gradi h e k, con punti di controllo opportuni pij=(xij, yij, zij) R3, pesi associati wij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Qij e la superficie NURBS S(u,v) determinata: per opportuni valori si e tj dei parametri. E-learning: superfici matematiche in 3D

40 E-learning: superfici matematiche in 3D
Punti appartenenti al modello da costruire Punti di controllo della superficie NURBS E-learning: superfici matematiche in 3D

41 E-learning: superfici matematiche in 3D
L’algoritmo Per risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline. Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R2 è con parametro u[0,1]; pi=(xi, yi)R2, i=0,…,n sono i punti di controllo; Ni,h(u) sono le funzioni di base B-Spline sul vettore dei nodi U=(u0,…,um). Una relazione lega il grado della curva B-Spline, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi: m=n+h+1. E-learning: superfici matematiche in 3D

42 E-learning: superfici matematiche in 3D
L’algoritmo Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni mn costituita dai punti Qij dati, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Qi,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti Pi,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati pi,j. E-learning: superfici matematiche in 3D

43 L’algoritmo Dato un insieme di n punti Qi=(ai,bi)R2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo pi=(xi,yi)R2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Qi e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u0,…,un+h+1) per opportuni valori tj del parametro. Ad ogni approssimazione, l’algoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineare NTNP=NTQ dove

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L’algoritmo Presi in input i gradi h e k per la superficie NURBS approssimante, e la matrice dei punti Qij del problema, i=0,…,m, j=0,…,n, l’algoritmo 1. Costruisce due opportune parametrizzazioni (s0,s1,…,sm), (t0,t1,…,tn); 2. Costruisce i vettori dei nodi U=(u0,u1,…,um+h) e V=(v0,v1,…,vn+k) ; 3. A partire dalle colonne della matrice Q=(Qij), dai parametri (s0,s1,…,sm), dai nodi U=(u0,u1,…,um+h), costruisce la matrice dei coefficienti N=(Nj,h(si)) i,j=0,…,m-1; E-learning: superfici matematiche in 3D

45 E-learning: superfici matematiche in 3D
L’algoritmo 4. Calcola il prodotto NTN (matrice simmetrica definita positiva); 5. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice NTN ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che NTN=LLT; 6. Calcola i prodotti NTa, NTb, NTc; 7. Risolve i tre sistemi finali LLTx=NTa, LLTy=NTb, LLTz=NTc mediante forward e back substitution. 8. Si ottengono così le coordinate dei punti provvisori pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1; E-learning: superfici matematiche in 3D

46 E-learning: superfici matematiche in 3D
L’algoritmo 9. Su ogni riga della matrice P=(pij) i=0,..,m-1,j=0,…,n-1, a partire dai parametri (t0,t1,…,tn), dai nodi V=(v0,v1,…,vn+k), effettua l’approssimazione mediante curve B-Spline, costruendo la matrice dei coefficienti M=(Mj,k(ti)) i,j=0,…,n-1; 10. Calcola il prodotto MTM (matrice simmetrica definita positiva); 11. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice MTM ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che MTM=LLT; 12. Calcola i prodotti MTx, MTy, MTz; 13. Risolve i tre sistemi finali LLTx=MTx, LLTy=MTy, LLTz=MTz mediante forward e back substitution; 14. Si ottengono così le coordinate dei punti di controllo pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1. E-learning: superfici matematiche in 3D

47 E-learning: superfici matematiche in 3D
Risultati dell’algoritmo Paraboloide parabolico File di input Gradi della NURBS 3 3 Dimensioni della griglia 5 5 Punti appartenenti al modello da costruire (-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8) Pesi Tutti uguali ad 1 E-learning: superfici matematiche in 3D

48 Paraboloide parabolico approssimato mediante superficie NURBS
Risultati dell’algoritmo Paraboloide parabolico approssimato mediante superficie NURBS E-learning: superfici matematiche in 3D

49 Risultati dell’algoritmo
Iperboloide iperbolico approssimato mediante superficie NURBS Sfera approssimata mediante superficie NURBS E-learning: superfici matematiche in 3D

50 E-learning: superfici matematiche in 3D
Unione delle due soluzioni Codifiche in xml delle superfici NURBS <?xml version = "1.0"?> <nurbs> <degree> 3</degree> <degree_u> 3</degree_u> <degree_v>3 </degree_v> <knot_spanning_u length_u= "9"> <knot_spanning_item_u>0</knot_spanning_item_u> <knot_spanning_item_u>0.5</knot_spanning_item_u> <knot_spanning_item_u>1</knot_spanning_item_u> </knot_spanning_u> . . . E-learning: superfici matematiche in 3D

51 E-learning: superfici matematiche in 3D
Unione delle due soluzioni - Le NURBS sono strumenti flessibili per la rappresentazione di oggetti 3D; - Il web semantico è uno strumento di rappresentazione sul web dei learning object; L'approccio combinato consente di implementare sul Web risorse di Geometria che risultano machine processable. E-learning: superfici matematiche in 3D

52 E-learning: superfici matematiche in 3D
Perché queste scelte? Le collezioni 3D di oggetti matematici nelle repository web possono essere riutilizzate costruendo una shell semantica intorno alla loro repository. Le risorse disponibili sono essenzialmente asset e learning object presenti sul web. “La proliferazione delle risorse sulla rete sta spostando l’attenzione dalla produzione al riutilizzo” Kahzdan, Shape Representation and Algorithms for 3d model retrivial E-learning: superfici matematiche in 3D

53 E-learning: superfici matematiche in 3D
3D Resource discovery con Shape Descriptor L’attributo più importante di un oggetto 3D è la sua forma. Un algoritmo di ricerca di oggetti 3D deve essere i) Corretto ii) Efficiente. Esistono diverse metriche di insiemi di R3 in grado di confrontare oggetti 3D. Nessuna di queste è efficiente per l’uso in algoritmi di 3D resource Discovery sul Web. SOLUZIONE (Kazdhan 2004): Invece di indicizzare l’intero oggetto 3D, si indicizza il suo shape descriptor E-learning: superfici matematiche in 3D

54 3D Resource discovery con Shape Descriptor
Intuitivamente, lo shape descriptor è un astrazione del modello 3D, che ne cattura le informazioni rilevanti in una struttura adatta alle comparazioni. Oggetti trovati dallo shape descriptor in una directory 3D 3D Shape descriptor di un ellissoide E-learning: superfici matematiche in 3D

55 E-learning: superfici matematiche in 3D
3D Resource discovery con Shape Descriptor Nello stadio di preprocessing si computa lo shape descriptor di ciascun modello del Database. Poi, in presenza di una query Q, viene dapprima calcolato lo shape descriptor Sh(Q) della query Q. Infine, Sh(Q) viene confrontato con lo shape descriptor di tutti i modelli del database e ne vengono estratti i matching migliori. E-learning: superfici matematiche in 3D

56 E-learning: superfici matematiche in 3D
Shape Descriptor e Web Semantico Definizione: Uno shape descriptor è un applicazione  di uno spazio metrico (S,d) in uno spazio di Banach S’ a dimensione finita. IDEA: Definire uno shape descriptor s, tale che due oggetti X e Y sono simili nella misura in cui lo sono s(X) e s(Y), Codificare s con una opportuna RDF del web semantico. In questo modo lo shape descriptor è memorizzato nel data base e usato nel linguaggio di query come una stringa XML. E-learning: superfici matematiche in 3D

57 E-learning: superfici matematiche in 3D
Resource Discovery - Problema: Cercare in una repository 3D Web un componente LO’ di un Learning object più complesso LO. - Soluzione: Per ciascuna quadrica Q nella repository di modelli matematici, consideriamo uno shape descriptor (Q) e la sua rappresentazione RDF(Q): Rappresentiamo LO’ come un insieme di punti S, Consideriamo la NURBS generata da S con l’algoritmo di approssimazione come lo shape descriptor (S), Calcoliamo la distanza tra (S) e lo shape descriptor (Q) della risorsa sul web S’. (Per esempio [Kazdhan 2004]), Se la distanza tra (S) e (Q) è piccola, allora i) se la rete è veloce –oppure Q è un file piccolo- riusiamo Q come parte di LO e RDF(Q) viene inclusa in RDF(LO), ii) altrimenti riusiamo l’approssimazione NURBS come LO’. E-learning: superfici matematiche in 3D

58 E-learning: superfici matematiche in 3D
Resource Discovery Resource broker Learning Object NURBS -based Shape descriptor RDF Mondo web NURBS -based Shape descriptor RDF RDF Componenti del Learning Object LO LO 3D repository RDF RDF RDF LO LO LO E-learning: superfici matematiche in 3D

59 Resource Discovery Supponiamo di voler associare una RDF al Learning Object 1) Si dichiara lo schema XML dell'RDF. <?xml version="1.0" encoding="ISO " ?> <xs:schema xmlns:xs="http://www.w3.org/2001/XMLSchema"> ...... </xs:schema> 2) Si mette questo file nel URL che è l'URI del "namespace" delle quadriche. 3) Per la superficie in questione, si crea il nuovo file RDF: <xs: xlns = quadriche uri = URL: <quadriche : equazione> x^2 + y^2 ....</quadriche:equazione> <quadriche: determinante>30 </quadriche:determinante> chiamato superficie_ xml

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Resource Discovery 4) Quando il broker prende il file “superficie_ xml", va a fare il parsing in base al template dichiarato che trova 5) Successivamente, calcola lo shape descriptor e poi calcola una distanza tra lo shape descriptor della superficie e lo shape descriptor della query, che è stata calcolata con una NURBS. Se la distanza è minore di una certa soglia, allora Se il file dell’iperboloide è piccolo o la rete è veloce allora l'iperboloide ellittico viene trasferito in un altro sito Viene considerata l’approssimazione NURBS e l’RDF dell’approssimazione NURBS viene aggiunta all’RDF del LO E-learning: superfici matematiche in 3D

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Risultati: Ho sviluppato un algoritmo per l’approssimazione mediante NURBS delle superfici quadriche, Ho incapsulato l’algoritmo in API di classi Java per renderlo riusabile nella Computer Grafica, Ho costruito un Learning Object 3D per la trasposizione delle lezioni di Luigi Campedelli con gli strumenti dell’e-learning, Ho proposto una shell semantica per l’integrazione delle collezioni di modelli matematici. E-learning: superfici matematiche in 3D

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Risultati: Teorema: Se una superficie quadrica è non degenere e possiede punti reali, questi sono o tutti iperbolici o tutti ellittici. La dimostrazione “ Visuale” si comprende navigando in questo ambiente 3D. E-learning: superfici matematiche in 3D

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Un Ambiente Virtuale di Apprendimento Strumenti utilizzati per lo sviluppo Mathematica MathGL3D VRML Mathematica è stato utilizzato per il calcolo dei modelli matematici a partire dall’equazione MathGL3D è stato utilizzato per il rendering 3D VRML è stato utilizzato per lo sviluppo del software applicativo Web e come formato di interscambio per i file 3D Maya 3D è stato utilizzato per la costruzione di una ambiente virtuale di apprendimento E-learning: superfici matematiche in 3D

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Risultati: Tutto è stato contestualizzato in un corso on line, per l’insegnamento della geometria delle superfici del secondo ordine, presente al sito E-learning: superfici matematiche in 3D

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Sviluppi futuri: Estensione di un LMS con una shell semantica -Integrazione delle collezioni di modelli 3D -Aule virtuali -4D modelling con superfici NURBS; Ambienti di apprendimento 3D “enattivi” -il tipo di punto della quadrica è classificato da un sensore; Approssimazione mediante NURBS di superfici generiche. E-learning: superfici matematiche in 3D

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<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <rdf : xmlns:rdf =“http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#” xmlns :xsd =“http://www.w3.org/2001/XMLSchema#” xmlns : quadriche = “http://www.dma.unina.it/quadriche-ns” > <rdf: Description> <quadrica: determinante> <quadrica: R_neg value= “-99” > </quadrica:determinante> <quadrica:equazione> 3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0 </quadrica:equazione> <quadrica: intersezione_piano_improprio> <quadrica: Conica_reale_non_degenere> <quadrica: discriminante> <quadrica: R+ value = “99”/> </quadrica: discriminante> </quadrica: Conica_reale_non_degenere </quadrica: intersezione_piano_improprio> </rdf: Description> E-learning: superfici matematiche in 3D


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