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E-learning: superfici matematiche in 3D1 E-Learning: superfici matematiche in 3D Nicla Palladino Dottorato di Ricerca in Matematica Applicata e Informatica.

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1 E-learning: superfici matematiche in 3D1 E-Learning: superfici matematiche in 3D Nicla Palladino Dottorato di Ricerca in Matematica Applicata e Informatica XVI ciclo Università degli Studi di Napoli Federico II 10 Dicembre 2004

2 E-learning: superfici matematiche in 3D2 La tesi traccia una roadmap per la trasposizione on line dei corsi di geometria. Prodotto finale: Un Ambiente Virtuale di Apprendimento (Un ambiente di supporto per lapprendimento della geometria delle quadriche).

3 E-learning: superfici matematiche in 3D3 Capitolo Secondo: L'E-Learning Un Learning Object per le quadriche La rappresentazione di oggetti 3D nel Web Semantico Capitolo Terzo: algoritmi di approssimazione 3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Verso l'integrazione e il riuso delle collezioni di modelli matematici… La tesi è il risultato di unattività di ricerca in un ambito che coinvolge il settore della computer grafica e quello dellE-Learning. Capitolo Primo: La didattica con le nuove tecnologie Strumenti per la didattica sul web La geometria con i modelli di superfici I Learning Object

4 E-learning: superfici matematiche in 3D4 Con gli strumenti dellE-learning, si sono trasposte lezioni ispirate alla didattica del Prof. Luigi Campedelli ( ); Si è reintrodotto il metodo didattico elaborato da Luigi Campedelli ed Emma Castelnuovo; ….Sostituire, dove possibile, le dimostrazioni matematiche con le scoperte Luigi Campedelli, Fantasia e logica nella matematica, Feltrinelli, 1966 Punto di partenza: Le lezioni di Geometria di Luigi Campedelli Punto di partenza: Le lezioni di Geometria di Luigi Campedelli

5 E-learning: superfici matematiche in 3D5 -Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del 900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo. -Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perché forniscono concretezza ai risultati e, come rappresentazioni 3d, sono accessibili alla simulazione. -Con un modello matematico si rendevano auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate. -I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria, usando la percezione. Punto di partenza: i modelli matematici

6 E-learning: superfici matematiche in 3D6 Punto di partenza: i modelli matematici Quegli stessi modelli hanno influenzato larchitettura contemporanea: Ellissoide, 1890 Swiss Re Tower, Londra, 2004, progettato come ellissoide NURBS dallarchitetto Norman Foster

7 E-learning: superfici matematiche in 3D7 Come riutilizzare quei vecchi modelli dellOttocento …? Molte di queste collezioni –come accaduto per tanti materiali didattici- sono state trasformate in repository di Modelli 3D. The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate, but the means we use for threading through the consequent maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-rigged ships. Vannevar Bush, As we may think, 1945 Come renderle facilmente reperibili ? Come riusarle nel contesto dellE-Learning ? PROBLEMA: Per trasporre on-line le lezioni di Geometria della scuole classiche con successo, è necessario risolvere questi problemi.

8 E-learning: superfici matematiche in 3D8 - decostruzione dei saperi - l'apprendimento come costruzione personalizzata di conoscenze - le conoscenze aumentano in modo esponenziale -incompletezza delle didattiche tradizionali -"il sistema non è tutto -Problema Ipercomplessità tecnologica - reti di computer -il virtuale come spazio antropologico esser ci diventa inessenziale de-territorializzazione LE-Learning E-LEARNING Soluzione

9 E-learning: superfici matematiche in 3D9 -Presupposti: La geometria euclidea è completa e decidibile (Tarski, 1936) Ogni proprietà di un modello della geometria euclidea può essere dimostrata, I modelli delle superfici matematiche sono modelli della geometria euclidea. Quindi Le proprietà dei modelli matematici possono essere dimostrate, La scoperta di una proprietà è equivalente ad una sua dimostrazione. Un Ambiente Virtuale di Apprendimento Grazie al teorema di Tarski la logica si sposta sul piano della percezione

10 E-learning: superfici matematiche in 3D10 in matematica un modello è un oggetto che ha tutte le proprietà della teoria. Se la teoria è completa -come Tarski ha dimostrato per la geometria- vale anche il viceversa. La teoria dimostra tutte le proprietà del modello Tarski ha anche dimostrato che esiste -ma non si sa quale- un algoritmo che dimostra tutte le proprietà dei modelli della geometria euclidea completa vuol dire che ogni proprietà è dimostrabile. Decidibile vuol dire che c'è un metodo effettivo che prende in input una proposizione e in output i) dice che è vera o ii) dice che è falsa

11 E-learning: superfici matematiche in 3D11 Scoperte e dimostrazioni matematiche Teorema: Se una superficie quadrica è non degenere e possiede punti reali, questi sono o tutti iperbolici o tutti ellittici. …Il piano per B che contiene s contiene anche la retta v. Analogamente succede per il piano contente r passante per B. Quindi per B passano due rette contenute in Q necessariamente tangenti…

12 E-learning: superfici matematiche in 3D12 Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : rappresentazione del dominio di conoscenza Instructor : esperto nel dominio di conoscenza. Definisce lOntologia e costruisce le risorse didattiche. Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: filtra la conoscenza che permea lambiente esterno, popola lontologia con le risorse didattiche. Learning Management System: piattaforma per la didattica a distanza. Implementa lontologia preparata dallinstructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti; Studente: costruisce le proprie conoscenze con laiuto del tutor che gli fornisce i Learning Object ed uninterpretazione personalizzata dellOntologia costruita dallInstructor. Ambiente Mediatore didattico Studente Learning Management System Ontologia Instructor

13 E-learning: superfici matematiche in 3D 13 Le-learning è la principale fonte di finanziamento per lUniversità

14 E-learning: superfici matematiche in 3D14 E-learning vs didattica tradizionale -NellE-Learning svanisce la figura del docente che impartisce la lezione; -NellE-learning la lezione è una costruzione di conoscenze personalizzate; -E necessario un mediatore didattico, che puo essere umano -Tutor- o automatico -Intelligent Tutoring System.

15 E-learning: superfici matematiche in 3D15 Definizione1: Un Learning Object è unentità -digitale o non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante lapprendimento supportato dalla tecnologia. D.A.Wiley, The Instructional Use of Learning Objects, pp , AIT Editions, Learning Object

16 E-learning: superfici matematiche in 3D16 Definizione2: Un Learning Object è la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica. Learning Object Strutture molecolari dotate di diversi gradi di granularità I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi 1) asset: una risorsa elementare -per esempio, un file- 2) altri Learning Object più semplici

17 E-learning: superfici matematiche in 3D17 Learning Object Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai Learning Object. I Learning Object sono gli strumenti che popolano le Ontologie; I Learning Object sono rappresentati con metadata; I metadata di un Learning Object sono una successione ordinata (array) di attributi; Esistono diversi standard per rappresentare i metadata; il più affermato è lo standard SCORM. I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici.

18 E-learning: superfici matematiche in 3D18 Curato da Advanced Distributed Learning ADLNet, definisce un standard per Learning Object: Lo standard SCORM SCORM Sharable Content Object Reference Model I metadata, Il modello dati dei Learning Object –SCORM Content Aggregation Model, Larchitettura Run-Time di un Learning Mangement System, Il formato di interscambio per limpacchettamento dei corsi -Manifest.

19 E-learning: superfici matematiche in 3D19 Learning Object: Lo standard SCORM Si preparano gli asset, Si associano i metadata SCORM ai Learning Object, Si pianifica la sequenza del materiale didattico, Si esporta il Manifest su un Learning Management System – LMS. Il Manifest del corso è in formato XML e quindi è indipendente dal costruttore della piattaforma. Per importarlo è sufficiente che la piattaforma sia conforme allo standard SCORM.

20 E-learning: superfici matematiche in 3D20 Learning Object LE-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consente laccessibilità, l'interoperabilità, la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare.

21 E-learning: superfici matematiche in 3D21 Le conoscenze sono diventate complesse e rendono ugualmente complessi i materiali didattici; Per costruire strutture complesse, è necessario che i loro componenti siano riutilizzabili. Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) Prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare incapsulandone i componenti.

22 E-learning: superfici matematiche in 3D22 Content Provider Learning Service Provider Learning Community LE-Learning in the large Modelli di E-Learning

23 E-learning: superfici matematiche in 3D23 LE-Learning coinvolge tre tipologie di attori: I fornitori di contenuto (Content provider) Possono essere le università o le aziende che fanno formazione. Cè la tendenza ad organizzarsi in comunità virtuali distribuite. Esempi: MIT OCW Repository di learning object prodotti al MIT MURL -Multi University virtual Research Laboratory -http://murl.microsoft.com/ -Repository multimediale di seminari e corsi on-line -The Geometry Center Modelli di E-Learning

24 E-learning: superfici matematiche in 3D24 Modelli di E-Learning I fornitori di servizi di e-learning (Learning Service Provider-LSP) I fornitori di servizi di e-learning p ossono essere le stesse Università, oppure le società specializzate in LSP. Distribuiscono servizi per lE- Learning prodotti con le risorse fornite dai content provider. Esempi: Global Virtual University -Stanford, Oxford, Cambridge distributed virtual university GRID –Arendal servizi di e-learning per la climatologia globale Sfera servizi di E-Learning just in time per le società del gruppo Wind

25 E-learning: superfici matematiche in 3D25 Sono lestensione del core business delle università tradizionali new university = old university + learning community Esempi: OCW: estende il MIT ai paesi dellamerica latina BathMath: comunità di docenti di matematica di UniNa Modelli di E-Learning Comunità di apprendimento Comunità di pratica (Community of Practice) sostituiscono la formazione professionale

26 E-learning: superfici matematiche in 3D26 Per eliminare i learning object spuri, è necessario dotare il sistema di un dispositivo di filtraggio, che permetta di accedere a learning object buoni Questi filtri sono chiamati Web Reccommender, e si dividono in due categorie: Filtri di informazione information filter Filtri collaborativi (collaborative filter) Modelli di E-Learning

27 E-learning: superfici matematiche in 3D27 Content Provider Learning Service Provider Learning Community Informatio n Filter I filtri informativi selezionano i LO in base ai loro contenuti. I filtri collaborativi selezionano i LO in base ai loro contenuti e alle caratteristiche comuni di un gruppo di utente. Content Provider Learning Service Provider Learning Community Collaborative Filter Modelli di E-Learning

28 E-learning: superfici matematiche in 3D28 I filtri collaborativi MIT OCW TopologyAtlas Polito Mathworld MURL Il giardino di Archimede BatMat Pisa Medialab CS Princeton Harvard CSCI CAVE Stanford S A B A e B sono entrambi interessati allargomento T. Supponiamo che A e B abbiano esplorato lo stesso insieme di risorse S, con la differenza che A ha visto i learning object S A e B ha visto i learning object S B, con A e B learning object inizialmente non condivisi. Si comparano le pagine A, B e S. Se sono simili, allora Chaos on the web Yale FractGeo A = S B B = S A

29 E-learning: superfici matematiche in 3D29 Problemi principali per il riutilizzo dei LO: Ricerca dellinformazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore); Estrazione dellinformazione: ad oggi, lestrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione manuale e la lettura dei documenti; Manutenzione dellinformazione: aggiornare documenti è unattività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi. Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca.

30 E-learning: superfici matematiche in 3D30 - Nel World Wide Web linformazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con metadati. Prima parte della soluzione: il Web Semantico - Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. - Gli attuali Metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto. T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998 Nel Web Semantico linformazione diventa machine-processable.

31 E-learning: superfici matematiche in 3D31 Soluzione(1)- Il Web Semantico: lRDF Tutti i livelli sono codificati in XML. La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è lRDF (Resource Description Framework). - LRDF è un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,… LURI è in corrispondenza biunivoca con la locazione della risorsa

32 E-learning: superfici matematiche in 3D32 - Una delle finalità di RDF è quella di estendere le semantiche per dati conservando la codifica nel formato XML, Soluzione(1)- Il Web Semantico: lRDF - I metadati limitano la semantica, la sintassi e la struttura a quanto esprimibile con un array, - LRDF è costituito da due componenti: RDF Data Model, fornisce un insieme di termini -vocabolario- per descrivere le risorse RDF Schema, definisce un modello per descrivere le relazioni tra le risorse

33 E-learning: superfici matematiche in 3D33 FORMALMENTE: Un dominio di conoscenza è una coppia ordinata di insiemi D=(R,T) tali che R T =. Chiamiamo RDF DATA Model di D linsieme dei termini del dominio D. LRDF Schema di D è un grafo G=(V,E) in cui V ed E sono sottoinsiemi, rispettivamente, delle classi e delle relazioni binarie. LRDF di D è un grafo G=(V,E) in cui V ed E sono, rispettivamente, un insieme di classi di elementi di D, detti istanze di classe, ed un insieme di relazioni esteso con la relazione di appartenenza di unistanza alla classe. Soluzione(1)- Il Web Semantico: lRDF A. Di Simone F. Formato, N. Palladino Endowing Geographic Information System with a cognitive level Proc. Multimedia Databases and Image Communications (MDIC'04), Salerno, Italy June 2004.

34 E-learning: superfici matematiche in 3D34 Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche: Quadrica Piano Improprio Intersezione C det(Quadrica) det=0 det>0 C immaginaria C reale non degenere C degenere C 2 rette reali C 1 retta C 2 rette immagina rie det<0 det 0 Equazione tangenti Punti impropri Link alla teoria Soluzione(1)- Il Web Semantico: lRDF

35 35 Codifica dellRDF in XML Soluzione(1)- Il Web Semantico: lRDF Quadriche Piano tangente... Grazie allRDF codificato in XML, un Tutor Intelligente può ritagliare il corso che gli interessa facendo il parsing del file xml.

36 E-learning: superfici matematiche in 3D36 I tool del Web Semantico formalizzano la struttura del Learning Object, mentre, per poter riutilizzare i singoli componenti, una soluzione è l'integrazione del Web Semantico con l'approssimazione mediante NURBS. Seconda parte della soluzione: Per costruire l'ambiente di apprendimento si sono voluti riutilizzare i modelli della collezione già costruiti e disponibili nel Web (http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo). -alcuni modelli hanno dimensioni anche di 2.5 Mbyte -che succede se si vuole disporre di altri modelli? -che succede se l'interconnessione offre prestazioni limitate ?

37 E-learning: superfici matematiche in 3D37 Seconda parte della soluzione: Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro flessibilità ed allaccuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D alla progettazione. u,v [0,1] con Si definiscono funzioni di base B-Spline di grado h N sul vettore dei nodi U=(u 0,…,u p ), le funzioni costruite mediante la formula ricorrente

38 E-learning: superfici matematiche in 3D38 dove u, v [0,1] sono i parametri della rappresentazione, le N i,h (u) e le N j,k (v) sono le funzioni di base B-Spline. I p ij sono detti punti di controllo. Sussiste una relazione che lega il grado, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi nelle due direzioni u e v: p=m+h+1 e q=n+k+1 Soluzione(2)- Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Assegnati m n punti p i,j R 3, dei pesi w ij R, un vettore di nodi U=(u 0,…,u p ), un vettore di nodi V=(v 0,…,v q ), un grado h ed un grado k, si definisce superficie NURBS una superficie la cui rappresentazione parametrica è data da

39 E-learning: superfici matematiche in 3D39 Soluzione(2)- Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue: di gradi h e k, con punti di controllo opportuni p ij =(x ij, y ij, z ij ) R 3, pesi associati w ij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u 0,…,u p ) e V=(v 0,…,v q ), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Q ij e la superficie NURBS S(u,v) determinata: per opportuni valori s i e t j dei parametri. Assegnati m n punti Q ij =(a ij, b ij, c ij ) R 3, e m n pesi r ij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS

40 E-learning: superfici matematiche in 3D40 Punti di controllo della superficie NURBS Punti appartenenti al modello da costruire

41 E-learning: superfici matematiche in 3D41 Lalgoritmo Per risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline. Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R 2 è con parametro u [0,1]; p i =(x i, y i ) R 2, i=0,…,n sono i punti di controllo; N i,h (u) sono le funzioni di base B-Spline sul vettore dei nodi U=(u 0,…,u m ). Una relazione lega il grado della curva B-Spline, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi: m=n+h+1.

42 E-learning: superfici matematiche in 3D42 Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni m n costituita dai punti Q ij dati, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Q i,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B- Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi P i,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B- Spline alle righe di punti P i,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B- Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati p i,j. Lalgoritmo

43 43 Lalgoritmo Ad ogni approssimazione, lalgoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineare N T NP=N T Q dove Dato un insieme di n punti Q i =(a i,b i ) R 2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo p i =(x i,y i ) R 2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Q i e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u 0,…,u n+h+1 ) per opportuni valori t j del parametro.

44 E-learning: superfici matematiche in 3D44 Lalgoritmo 1. Costruisce due opportune parametrizzazioni (s 0,s 1,…,s m ), (t 0,t 1,…,t n ); 2. Costruisce i vettori dei nodi U=(u 0,u 1,…,u m+h ) e V=(v 0,v 1,…,v n+k ) ; Presi in input i gradi h e k per la superficie NURBS approssimante, e la matrice dei punti Q ij del problema, i=0,…,m, j=0,…,n, lalgoritmo 3. A partire dalle colonne della matrice Q=(Q ij ), dai parametri (s 0,s 1,…,s m ), dai nodi U=(u 0,u 1,…,u m+h ), costruisce la matrice dei coefficienti N=(N j,h (s i )) i,j=0,…,m-1;

45 E-learning: superfici matematiche in 3D45 4. Calcola il prodotto N T N (matrice simmetrica definita positiva); 5. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice N T N ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che N T N=LL T ; 6. Calcola i prodotti N T a, N T b, N T c; 7. Risolve i tre sistemi finali LL T x=N T a, LL T y=N T b, LL T z=N T c mediante forward e back substitution. 8. Si ottengono così le coordinate dei punti provvisori p ij =(x ij,y ij,z ij ) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1; Lalgoritmo

46 E-learning: superfici matematiche in 3D46 Lalgoritmo 9. Su ogni riga della matrice P=(p ij ) i=0,..,m-1,j=0,…,n-1, a partire dai parametri (t 0,t 1,…,t n ), dai nodi V=(v 0,v 1,…,v n+k ), effettua lapprossimazione mediante curve B-Spline, costruendo la matrice dei coefficienti M=(M j,k (t i )) i,j=0,…,n-1; 10. Calcola il prodotto M T M (matrice simmetrica definita positiva); 11. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice M T M ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che M T M=LL T ; 12. Calcola i prodotti M T x, M T y, M T z; 13. Risolve i tre sistemi finali LL T x=M T x, LL T y=M T y, LL T z=M T z mediante forward e back substitution; 14. Si ottengono così le coordinate dei punti di controllo p ij =(x ij,y ij,z ij ) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1.

47 E-learning: superfici matematiche in 3D47 Risultati dellalgoritmo File di input Gradi della NURBS 3 Dimensioni della griglia 5 Punti appartenenti al modello da costruire (-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8) PesiTutti uguali ad 1 Paraboloide parabolico

48 E-learning: superfici matematiche in 3D48 Risultati dellalgoritmo Paraboloide parabolico approssimato mediante superficie NURBS

49 E-learning: superfici matematiche in 3D49 Risultati dellalgoritmo Iperboloide iperbolico approssimato mediante superficie NURBS Sfera approssimata mediante superficie NURBS

50 E-learning: superfici matematiche in 3D50 Unione delle due soluzioni Codifiche in xml delle superfici NURBS

51 E-learning: superfici matematiche in 3D51 - Le NURBS sono strumenti flessibili per la rappresentazione di oggetti 3D; - Il web semantico è uno strumento di rappresentazione sul web dei learning object; -L'approccio combinato consente di implementare sul Web risorse di Geometria che risultano machine processable. Unione delle due soluzioni

52 E-learning: superfici matematiche in 3D52 Perché queste scelte? Le collezioni 3D di oggetti matematici nelle repository web possono essere riutilizzate costruendo una shell semantica intorno alla loro repository. Le risorse disponibili sono essenzialmente asset e learning object presenti sul web. La proliferazione delle risorse sulla rete sta spostando lattenzione dalla produzione al riutilizzo Kahzdan, Shape Representation and Algorithms for 3d model retrivial

53 E-learning: superfici matematiche in 3D53 3D Resource discovery con Shape Descriptor Un algoritmo di ricerca di oggetti 3D deve essere i) Corretto ii) Efficiente. Esistono diverse metriche di insiemi di R 3 in grado di confrontare oggetti 3D. Nessuna di queste è efficiente per luso in algoritmi di 3D resource Discovery sul Web. SOLUZIONE (Kazdhan 2004): Invece di indicizzare lintero oggetto 3D, si indicizza il suo shape descriptor Lattributo più importante di un oggetto 3D è la sua forma.

54 E-learning: superfici matematiche in 3D54 3D Resource discovery con Shape Descriptor Intuitivamente, lo shape descriptor è un astrazione del modello 3D, che ne cattura le informazioni rilevanti in una struttura adatta alle comparazioni. 3D Shape descriptor di un ellissoide Oggetti trovati dallo shape descriptor in una directory 3D

55 E-learning: superfici matematiche in 3D55 3D Resource discovery con Shape Descriptor Nello stadio di preprocessing si computa lo shape descriptor di ciascun modello del Database. Poi, in presenza di una query Q, viene dapprima calcolato lo shape descriptor Sh(Q) della query Q. Infine, Sh(Q) viene confrontato con lo shape descriptor di tutti i modelli del database e ne vengono estratti i matching migliori.

56 E-learning: superfici matematiche in 3D56 Definizione: Uno shape descriptor è un applicazione di uno spazio metrico (S,d) in uno spazio di Banach S a dimensione finita. IDEA: 1)Definire uno shape descriptor s, tale che due oggetti X e Y sono simili nella misura in cui lo sono s(X) e s(Y), 2)Codificare s con una opportuna RDF del web semantico. In questo modo lo shape descriptor è memorizzato nel data base e usato nel linguaggio di query come una stringa XML. Shape Descriptor e Web Semantico

57 E-learning: superfici matematiche in 3D57 Resource Discovery - Problema: Cercare in una repository 3D Web un componente LO di un Learning object più complesso LO. - Soluzione: Per ciascuna quadrica Q nella repository di modelli matematici, consideriamo uno shape descriptor (Q) e la sua rappresentazione RDF(Q): 1) Rappresentiamo LO come un insieme di punti S, 2) Consideriamo la NURBS generata da S con lalgoritmo di approssimazione come lo shape descriptor (S), 3) Calcoliamo la distanza tra (S) e lo shape descriptor (Q) della risorsa sul web S. (Per esempio [Kazdhan 2004]), 4) Se la distanza tra (S) e (Q) è piccola, allora i) se la rete è veloce –oppure Q è un file piccolo- riusiamo Q come parte di LO e RDF(Q) viene inclusa in RDF(LO), ii) altrimenti riusiamo lapprossimazione NURBS come LO.

58 E-learning: superfici matematiche in 3D58 RDF LO RDF LO RDF LO RDF LO RDF LO NURBS -based Shape descriptor NURBS -based Shape descriptor Resource broker 3D repository Learning Object Resource Discovery Mondo web Componenti del Learning Object

59 59 Supponiamo di voler associare una RDF al Learning Object 1) Si dichiara lo schema XML dell'RDF ) Si mette questo file nel URL che è l'URI del "namespace" delle quadriche. 3) Per la superficie in questione, si crea il nuovo file RDF:

60 E-learning: superfici matematiche in 3D60 4) Quando il broker prende il file superficie_ xml", va a fare il parsing in base al template dichiarato che trova 5) Successivamente, calcola lo shape descriptor e poi calcola una distanza tra lo shape descriptor della superficie e lo shape descriptor della query, che è stata calcolata con una NURBS. Se la distanza è minore di una certa soglia, allora i)Se il file delliperboloide è piccolo o la rete è veloce allora l'iperboloide ellittico viene trasferito in un altro sito ii)Viene considerata lapprossimazione NURBS e lRDF dellapprossimazione NURBS viene aggiunta allRDF del LO Resource Discovery

61 E-learning: superfici matematiche in 3D61 Risultati: Ho sviluppato un algoritmo per lapprossimazione mediante NURBS delle superfici quadriche, Ho incapsulato lalgoritmo in API di classi Java per renderlo riusabile nella Computer Grafica, Ho costruito un Learning Object 3D per la trasposizione delle lezioni di Luigi Campedelli con gli strumenti delle-learning, Ho proposto una shell semantica per lintegrazione delle collezioni di modelli matematici.

62 E-learning: superfici matematiche in 3D62 Risultati: Teorema: Se una superficie quadrica è non degenere e possiede punti reali, questi sono o tutti iperbolici o tutti ellittici. La dimostrazione Visuale si comprende navigando in questo ambiente 3D.

63 E-learning: superfici matematiche in 3D63 Un Ambiente Virtuale di Apprendimento Strumenti utilizzati per lo sviluppo Mathematica MathGL3D VRML … Mathematica è stato utilizzato per il calcolo dei modelli matematici a partire dallequazione MathGL3D è stato utilizzato per il rendering 3D VRML è stato utilizzato per lo sviluppo del software applicativo Web e come formato di interscambio per i file 3D Maya 3D è stato utilizzato per la costruzione di una ambiente virtuale di apprendimento …

64 E-learning: superfici matematiche in 3D64 Tutto è stato contestualizzato in un corso on line, per linsegnamento della geometria delle superfici del secondo ordine, presente al sito Risultati:

65 E-learning: superfici matematiche in 3D65 Sviluppi futuri: Estensione di un LMS con una shell semantica -Integrazione delle collezioni di modelli 3D -Aule virtuali -4D modelling con superfici NURBS; Ambienti di apprendimento 3D enattivi -il tipo di punto della quadrica è classificato da un sensore; Approssimazione mediante NURBS di superfici generiche.

66 E-learning: superfici matematiche in 3D66 3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0


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