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Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 10 Metodi Euristici – Lalgoritmo Greedy ANTONIO SASSANO Università di RomaLa Sapienza Dipartimento di Informatica.

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1 Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 10 Metodi Euristici – Lalgoritmo Greedy ANTONIO SASSANO Università di RomaLa Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica Roma,

2 Problemi di OC con funzione obiettivo lineare min {c(F): F S Problema: Insieme delle soluzioni ammissibili S ={F 1, F 2, …,F m } c(F 1 )= c i Costo di una soluzione F 1 = somma dei costi elementari degli elementi di F 1 i F 1 Insieme base ={1,2,…,n} (eventi elementari) (es. progetto i attivato, nodo i scelto, connessione i stabilita) n F3F3 Soluzione Ammissibile = Opportuno sottoinsieme F 1 (es. sottoinsieme di progetti attivati che soddisfano il budget) F1F1 F2F2 Costi (Vantaggi) elementari { c i associati agli elementi di } c1c1 c2c2 cncn

3 PL01= Problemi di OC con funzione obiettivo lineare f(x)=c T x Problemi di PL01 Se rappresentiamo F con il suo vettore di incidenza x F abbiamo: Insieme base ={1,2,…,n} (eventi elementari) F Soluzione ammissibile F={1,2,3,9} S xF=xF= E quindi: S = {vettori di incidenza degli insiemi F S } S min c x: x S 0,1 n min {c(F): F S =

4 Soluzioni e Certificati x S soluzione ammissibile valore della soluzione c x = z c x * = z * valore ottimo Lower bound LB < z* = certificato di qualità per x : LB z z* Riduzione del gap : 1. Miglioramento del lower bound gap 2. Miglioramento (riduzione) di z Tecniche di ricerca nellinsieme delle soluzioni Tecniche euristiche ( trovare) - Algoritmo Avido (Greedy) - Ricerca Locale (Local Search) - Algoritmi Genetici

5 Algoritmo Avido (Greedy) Costo di una soluzione parziale T = c(T )= c i i T Insieme base ={1,2,…,n} (eventi elementari) Costruire una sequenza di soluzioni parziali T 0,T 1, T 2, T 3...: Insieme delle soluzioni ammissibili S ={F 1, F 2, …,F m } (F i ) T F i per qualche F i S T soluzione parziale c. arrestandosi quando: 1. la soluzione parziale corrente è una soluzione ammissibile; 2. ogni soluzione parziale ottenibile aggiungendo un nuovo elemento ha un valore maggiore della funzione obiettivo. b. aggiungendo, ad ogni passo, lelemento che produce la soluzione parziale con il minimo costo. Idea base a. a partire dallinsieme vuoto (soluzione parziale T 0 )

6 Esempio (Greedy) F1F1 F3F F2F2 F4F4 c = T 0 = {} c( T 0 )=0 T 1 = {4} c( T 1 )=-3 T 2 = {4,2}c( T 2 )=-2 T 3 = {4,2,5}c( T 3 )=-1 c({4,2} )>c({4,1} ) ma { 4,1} non è una soluzione parziale T 3 k non è una soluzione parziale per ogni k T 3 T3= F2T3= F2

7 Esempio: Albero Ricoprente - Insieme base = insieme degli archi A di un grafo G(N,A) - Soluzione ammissibile F i = insieme di archi di un albero ricoprente v1v1 v2v2 v0v0 v4v4 v3v3 v5v v2v2 v0v0 v1v1 v4v4 v3v3 v5v v5v5 v2v2 v0v0 v1v1 v4v4 v3v v2v2 v0v0 v1v1 v4v4 v3v3 v5v v1v1 v2v2 v0v0 v4v4 v3v3 v5v Soluzione parziale T = insieme di archi di un sottografo aciclico [linsieme degli archi di ogni sottografo (parziale) aciclico è contenuto negli insieme degli archi di un (particolare) albero ricoprente]

8 T:= c(T)= T soluzione greedy STOP SI T:=T k* NO T S Q* > c(T) e k*= arg min {c(T k ): k, T k soluzione parziale} Algoritmo Avido (Greedy) - Flow chart Q*= min {c(T k ): k, T k soluzione parziale} min {f(x): x } =

9 LAlgoritmo di Kruskal e un greedy - Ad ogni passo: a) aggiungi a T larco di costo minimo wy A-T con la proprietà che H(S{w,y},T{wy}) sia aciclico b) aggiungi ad S i nodi w ed y - Costruisci una sequenza di foreste H(S,T) con S N (soluzioni parziali!) - Inizia con S={} e T={}: (foresta in G(N,A)) v1v1 v2v2 v0v0 v4v4 v3v3 v5v v2v2 v0v0 v1v1 v4v4 v3v3 v5v v5v5 v2v2 v0v0 v1v1 v4v4 v3v v2v2 v0v0 v1v1 v4v4 v3v3 v5v v1v1 v2v2 v0v0 v4v4 v3v3 v5v Quando |T|=n-1: H(N,T) è lalbero di costo minimo (trova lottimo!!)


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