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Modello dati ALBERO Albero: Albero: insieme di punti chiamati NODI e linee chiamate EDGES EDGE: linea che unisce due nodi distinti Radice (root): in una.

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1 Modello dati ALBERO Albero: Albero: insieme di punti chiamati NODI e linee chiamate EDGES EDGE: linea che unisce due nodi distinti Radice (root): in una albero esiste un nodo distinto chiamato radice (disegnato in cima) Es. Albero con sette nodi n 1, n 2, n 3, n 4, n 5, n 6, n 7 la radice è n 1 la radice è n 1 n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n6n6 n7n7

2 Modello dati ALBERO n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n6n6 n7n7 Padre/figlio: ogni nodo c (tranne la radice) è connesso mediante una linea ad un nodo p, chiamato il padre di c; c è detto figlio di p. Es. n 1 padre di n 2, n 4, n 5 / n 2, n 4, n 5 figli di n 1 n 2 n 3 / n 3 figlio di n 2 n 5 n 6, n 7 / n 6, n 7 figli di n 5

3 Modello dati ALBERO n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n6n6 n7n7 Padre/figlio: ogni nodo c (tranne la radice) è connesso mediante una linea ad un nodo p, chiamato il padre di c; c è detto figlio di p. Es. n 1 padre di n 2, n 4, n 5 / n 2, n 4, n 5 figli di n 1 n 2 n 3 / n 3 figlio di n 2 n 5 n 6, n 7 / n 6, n 7 figli di n 5 Albero è connesso: per ogni nodo n (tranne la radice) se ci spostiamo da n al padre di n, poi dal padre di n al padre del padre di n, …, arriviamo alla radice. Es. n 3 padre di n 3 =n 2 padre di n 2 =n1=radice

4 Definizione ricorsiva di ALBERO c1c1 Base: un singolo nodo n è un albero (con radice n) Passo:Siano T 1,…,T k, (per qualche k>0) alberi con radici c 1,c 2,…,c k,rispettivamente, tali che ogni nodo compaia in uno solo degli alberi. Sia r un nuovo nodo (non in T 1,…,T k ). Costruiamo un nuovo albero T come segue 1.La radice di T è r 2.Aggiungi un edge da r ad ognuna dei nodi c 1,…,c k (che diventano figli di r in T) r T1T1 … ckck TkTk c1c1 T1T1 … ckck TkTk T=

5 Definizione ricorsiva di ALBERO Base: un singolo nodo n è un albero (con radice n) Passo:Siano T 1,…,T k, (per qualche k>0) alberi con radici c 1,c 2,…,c k,rispettivamente, tali che ogni nodo compaia in un solo albero. Sia r un nuovo nodo. Costruiamo il nuovo albero T 1.La radice di T è r 2.Aggiungi un edge da r ad ognuna dei nodi c 1,…,c k (figli di r in T) Es.n3n3 albero n2n2 n3n3 è albero

6 Definizione ricorsiva di ALBERO Base: un singolo nodo n è un albero (con radice n) Passo:Siano T 1,…,T k, (per qualche k>0) alberi con radici c 1,c 2,…,c k,rispettivamente, tali che ogni nodo compaia in un solo albero. Sia r un nuovo nodo. Costruiamo il nuovo albero T 1.La radice di T è r 2.Aggiungi un edge da r ad ognuna dei nodi c 1,…,c k (figli di r in T) Es.n3n3 n6n6 n7n7 albero n2n2 n3n3 alberi n5n5 n6n6 n7n7 è albero

7 Definizione ricorsiva di ALBERO n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n 6 n7n7 Base: un singolo nodo n è un albero (con radice n) Passo:Siano T 1,…,T k, (per qualche k>0) alberi con radici c 1,c 2,…,c k,rispettivamente, tali che ogni nodo compaia in un solo albero. Sia r un nuovo nodo. Costruiamo il nuovo albero T 1.La radice di T è r 2.Aggiungi un edge da r ad ognuna dei nodi c 1,…,c k (figli di r in T) Es.n3n3 n6n6 n7n7 albero n2n2 n3n3 alberi n5n5 n6n6 n7n7 è albero n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n6n6 n7n7 alberi è albero

8 Definizioni su ALBERI è Dato T con radice r m 1,…m k : è un cammino (di lunghezza k-1) in T se m 1 è padre di m 2, m 2 è padre di m 3,…, m k-1 padre di m k. un solo nodo è un cammino di lunghezza 0 (k=1). n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n 6 n7n7

9 Definizioni su ALBERI è Dato T con radice r m 1,…m k : è un cammino (di lunghezza k-1) in T se m 1 è padre di m 2, m 2 è padre di m 3,…, m k-1 padre di m k. un solo nodo è un cammino di lunghezza 0 (k=1). Predecessore: m è predecessore di m se esiste un cammino da m a m in T Discendente: m è discendente di m se m è predecessore di m. Fratelli: m e m so dicono fratelli se hanno lo stesso padre. n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n 6 n7n7

10 Definizioni su ALBERI è Sottoalbero con radice n: albero formato dal nodo n con tutti i suoi discendenti n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n 6 n7n7

11 Definizioni su ALBERI è Sottoalbero con radice n: albero formato dal nodo n con tutti i suoi discendenti Foglia: nodo che non ha figli Nodo interno: nodo che ha almeno un figlio n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n 6 n7n7

12 Definizioni su ALBERI è Altezza di un albero T: lunghezza del più lungo cammino dalla radice di T ad una foglia di T. Livello del nodo n: lunghezza del cammino dalla radice ad n. Fratelli: m e m so dicono fratelli se hanno lo stesso padre. n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n 6 n7n7

13 Definizioni su ALBERI è Alberi ordinati: possiamo assegnare un ordine da sinistra a destra ai figli di un nodo, inoltre se m ed n sono fratelli ed m è a destra di n allora ogni discendente di m è a destra di ogni discendente di n Quindi per ogni coppia di nodi vale la relazione essere a destra. n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 n5n5 n 6 n7n7

14 Struttura dati per ALBERI Dipende dalle operazioni che si devono effettuare Generalmente nodi = struct elemento puntatori Array di puntatori info p 0 … p b-1 Array di puntatori ai figli del nodo b= branching factor = max numero figli per nodo Se nodo ha < b figli allora alcuni puntatori sono NULL Typedef struct NODE *pNODE struct NODE{ int info array di b puntatori pNODE}

15 Struttura dati per ALBERI TRIE: Serve per memorizzare stringhe di caratteri. 1.Ogni nodo ha associata una lettera 2.La stringa rappresentata dal nodo è la sequenza di lettere sul cammino dalla radice al nodo 3.Un simbolo (+/-) dice se la stringa rappresentata dal nodo fa parte di quelle da memorizzare. Es. Vogliamo memorizzare {he, hers, his, she} (array di 26 elementi)

16 Struttura dati per ALBERI TRIE: Serve per memorizzare stringhe di caratteri. 1.Ogni nodo ha associata una lettera 2.La stringa rappresentata dal nodo è la sequenza di lettere sul cammino dalla radice al nodo 3.Un simbolo (+/-) dice se la stringa rappresentata dal nodo fa parte di quelle da memorizzare. Es. Vogliamo memorizzare {he, hers, his, she} (array di 26 elementi) -

17 Struttura dati per ALBERI TRIE: Serve per memorizzare stringhe di caratteri. 1.Ogni nodo ha associata una lettera 2.La stringa rapperesentata dal nodo è la sequenza di lettere sul cammino dalla radice al nodo 3.Un simbolo (+/-) dice se la stringa rappresentata dal nodo fa parte di quelle da memorizzare. Es. Vogliamo memorizzare {he, hers, his, she} (array di 26 elementi) - h - -

18 Struttura dati per ALBERI TRIE: Serve per memorizzare stringhe di caratteri. 1.Ogni nodo ha associata una lettera 2.La stringa rapperesentata dal nodo è la sequenza di lettere sul cammino dalla radice al nodo 3.Un simbolo (+/-) dice se la stringa rappresentata dal nodo fa parte di quelle da memorizzare. Es. Vogliamo memorizzare {he, hers, his, she} (array di 26 elementi) - h e+ - -

19 Struttura dati per ALBERI TRIE: Serve per memorizzare stringhe di caratteri. 1.Ogni nodo ha associata una lettera 2.La stringa rapperesentata dal nodo è la sequenza di lettere sul cammino dalla radice al nodo 3.Un simbolo (+/-) dice se la stringa rappresentata dal nodo fa parte di quelle da memorizzare. Es. Vogliamo memorizzare {he, hers, his, she} (array di 26 elementi) - h e r s

20 Struttura dati per ALBERI TRIE: Serve per memorizzare stringhe di caratteri. 1.Ogni nodo ha associata una lettera 2.La stringa rapperesentata dal nodo è la sequenza di lettere sul cammino dalla radice al nodo 3.Un simbolo (+/-) dice se la stringa rappresentata dal nodo fa parte di quelle da memorizzare. Es. Vogliamo memorizzare {he, hers, his, she} (array di 26 elementi) - h e r s i s

21 Struttura dati per ALBERI TRIE: Serve per memorizzare stringhe di caratteri. 1.Ogni nodo ha associata una lettera 2.La stringa rapperesentata dal nodo è la sequenza di lettere sul cammino dalla radice al nodo 3.Un simbolo (+/-) dice se la stringa rappresentata dal nodo fa parte di quelle da memorizzare. Es. Vogliamo memorizzare {he, hers, his, she} (array di 26 elementi) - hs h e r s i es

22 Struttura dati per ALBERI hs h e r s i es a b … h … s … z h - s - e + e i h i -h - r se r - s s + e +

23 ALBERI Sinistra-Destra ALBERI Sinistra-Destra Per evitare spreco di memoria: lista a puntatori per rappresentare i figli di un nodo Typedef struct NODE *pNODE struct NODE{ infotype info; pNODE leftchild, rightsibling} NODE infotype leftmostchild rightsibling

24 ALBERI Sinistra-Destra ALBERI Sinistra-Destra a b e cd f g NODE infotype leftmostchild rightsibling a / bc /d / e / /f / g / /

25 Struttura dati per ALBERI hs h e r s i es / h - s - / e + i -h - / r - / s + / / e + / /

26 Induzione Strutturale c1c1 Possiamo specializzare induzione per alberi in base alla definizione ricorsiva: Base un singolo nodo n è un albero (con radice n) Passo Siano T 1,…,T k, (per qualche k>0) alberi con radici c 1,c 2,…,c k, tali che ogni nodo compaia in un solo albero. Sia r un nuovo nodo. Costruiamo un nuovo albero T: 1.La radice di T è r 2.Aggiungi un edge da r ad ognuna dei nodi c 1,…,c k (che diventano figli di r in T) r T1T1 … ckck TkTk c1c1 T1T1 … ckck TkTk T=

27 Induzione Strutturale Vogliamo provare che laffermazione S(T) è vera per ogni albero T Base: S(T) è vera per ogni albero con un singolo nodo r

28 Induzione Strutturale Vogliamo provare che laffermazione S(T) è vera per ogni albero T Base: S(T) è vera per ogni albero con un singolo nodo Passo: Sia T con sottoalberi T 1 …,T k. Mostriamo che se S(T 1 ),…,S(T k ) sono tutte vere allora anche S(T) è vera c1c1 r T1T1 … ckck TkTk c1c1 T1T1 … ckck TkTk T= Ipotesi Induttiva su ogni sottoalbero

29 Induzione Strutturale Es. Definiamo V(T)= numero di nodi di T deg(x)= numero di figli di x Vogliamo provare laffermazione S(T):

30 Induzione Strutturale Es. Definiamo V(T)=numero di nodi di T e grado del nodo x =deg(x)= numero di figli di x Vogliamo provare laffermazione S(T): BASE: Se T ha 1 nodo x, allora x non ha figli e deg(x)=0 V(T)=1=1+deg(x)

31 Induzione Strutturale S(T): PASSO: Indichiamo con k il numero di figli della radice e con sottoalberi T 1,…,T k. Siano S(T 1 ),…,S(T k ) vere, cioè r c1c1 T1T1 … ckck TkTk T=

32 Induzione Strutturale S(T): PASSO: Indichiamo con k il numero di figli della radice e con sottoalberi T 1,…,T k. Siano S(T 1 ),…,S(T k ) vere, cioè Proviamo S(T) r c1c1 T1T1 … ckck TkTk T=

33 Induzione Strutturale Induzione strutturale induzione completa specializzata per alberi S(T): proprieta P è vera S(n): proprietà P è vera per per T ogni albero con n nodi Base. Albero con 1 nodo affermazione vera n=1 Passo. I.I. per ogni sottoalbero I.I. per ogni m

34 Induzione Strutturale Es. Consideriamo alberi con rappresentazione sinistra-destra Vogliamo provare laffermazione S(T): il numero di puntatori NULL in T è V(T)+1 BASE: Se T ha 1 nodo x, allora x non ha figli ne fratelli V(T)=1, #NULL=2=V(T)+1

35 Induzione Strutturale S(T): #NULL in T è V(T)+1 PASSO: Indichiamo con k il numero di figli della radice e con sottoalberi T 1,…,T k. Siano S(T 1 ),…,S(T k ) vere, cioè #NULL in T i è V(T i )+1, per ogni i=1,…,k. r c1c1 T1T1 … ckck TkTk T=

36 Induzione Strutturale S(T): #NULL in T è V(T)+1 PASSO: Indichiamo con k il numero di figli della radice e con sottoalberi T 1,…,T k. Siano S(T 1 ),…,S(T k ) vere, cioè #NULL in T i è V(T i )+1, per ogni i=1,…,k. r c1c1 T1T1 … ckck TkTk T= # NULL in T = =1 +( #NULL in T 1 -1)+…+( #NULL in T k-1 -1)+( #NULL in T k ) =1+(V(T 1 )+1-1)) +…+ (V(T k-1 )+1-1)+V(T k )+1 =1 + V(T 1 )+…+V(T k-1 )+V(T k )+1 =V(T) +1 I puntatori NULL in T sono: rightsibling di r, e quelli di ogni sottoalbero, tranne il rightsibling di c 1,…,c k-1

37 Ricorsione su alberi Schema generale funzione P(T) P(T) { Azione A 0 P(T 1 ); Azione A 1 ; P(T 2 ); … Azione A k-1 ; P(T k ); Azione A k } r c1c1 T1T1 … ckck TkTk T=

38 Visite di alberi Visita Preorder: si devono listare i nodi dellalbero in modo tale che 1.ogni nodo precede nella lista tutti i suoi discendenti 2.la lista rispetta le relazione sinistra-destra a b e cd f g (a,b,e,c,d,f,e)

39 Visite di alberi Visita Preorder: si devono listare i nodi dellalbero in modo tale che 1.ogni nodo precede nella lista tutti i suoi discendenti 2.la lista rispetta le relazione sinistra-destra void preorder (pNode n) { pNODE c; /* figlio di n*/ printf(%c\n, n->nodelabel); c=n->leftmostchild; while (c != NULL) { preorder(c); c=c->rightsibling; } r c1c1 T1T1 …ckck TkTk T= typedef struct NODE *pNODE struct NODE { char nodelabel; pNODE leftmostchild, rigthsibling; }

40 Visite di alberi void preorder (pNode n) { pNODE c; /* figlio di n*/ printf(%c\n, n->nodelabel); c=n->leftmostchild; while (c != NULL) { preorder(c); c=c->rightsibling;} } CORRETTEZZA S(T): preorder(T) stampa la lista preorder di T BASE. Se T ha un solo nodo, lo stampa e si ferma PASSO. I.I.: preorder(T i ) da L i = lista preorder di T i, per ogni i=1,…,k. Quindi preorder(T) da L=(r, L 1,…,L k )=lista preorder di T r c1c1 T1T1 …ckck TkTk T=

41 Visite di alberi R.T.: O(n), dove n è il numero di nodi di T T(1)=O(1) T(n)= O(1) + O(n 1 )+…+O(n k ) = O(n) dove n=1+n 1 +…+n k Visite di alberi void preorder (pNode n) { pNODE c; /* figlio di n*/ printf(%c\n, n->nodelabel); c=n->leftmostchild; while (c != NULL) { preorder(c); c=c->rightsibling;} } r c1c1 T1T1 …ckck TkTk T=

42 Visite di alberi Visita Postorder: si devono listare i nodi dellalbero in modo tale che 1.ogni nodo segue nella lista tutti i suoi discendenti 2.la lista rispetta le relazione sinistra-destra a b e cd f g (e,b,c,f,g,d,a)

43 Visite di alberi Visita Postorder: si devono listare i nodi dellalbero in modo tale che 1.ogni nodo segue nella lista tutti i suoi discendenti 2.la lista rispetta le relazione sinistra-destra void postorder (pNode n) { pNODE c; /* figlio di n*/ c=n->leftmostchild; while (c != NULL) {postorder(c); c=c>rightsibling; } printf(%c\n, n->nodelabel); } r c1c1 T1T1 …ckck TkTk T=

44 Visite di alberi void postorder (pNode n) { pNODE c; /* figlio di n*/ c=n->leftmostchild; while (c != NULL) {postorder(c); c=c>rightsibling; } printf(%c\n, n->nodelabel); } CORRETTEZZA S(T): postorder(T) stampa la lista postorder di T BASE. Se T ha un solo nodo, lo stampa e si ferma PASSO. I.I.: postorder(T i ) da M i = lista postorder del sottoalbero, per ogni i=1,…,k. postorder(T) da M=(M 1,…,M k,r)=lista postorder di T R.T. O(n), dove n è il numero di nodi di T r c1c1 T1T1 …ckck TkTk T=

45 Computo dell Altezza di un albero Altezza di un nodo n= max distanza di n da una foglia sua discendente Altezza albero= altezza radice Altezza di una foglia = 0 Altezza di un nodo interno n = 1 + (altezza sottoalbero radicato in n) = 1 + max altezza figli di n a b e cd f g Altezza di a = 1 + max { altezza di b, altezza di c, altezza di d } = 1 + max { 1,0,1} = = 2

46 Computo altezza Vogliamo una funzione che per ogni nodo calcola laltezza del nodo e la scrive nel campo heigth. typedef struct NODE *pNODE struct NODE { char nodelabel; int height; pNODE leftmostchild, rigthsibling; } Altezza di un nodo interno n = 1 + max altezza figli di n IDEA: per ogni nodo calcola (ricorsivamente) laltezza di ogni suo sottoalbero e calcola il max

47 Visite di alberi r c1c1 T1T1 …ckck TkTk T= void computeHt (pNode n) { pNODE c; n->height=0; c=n->leftmostchild; while (c != NULL) {computeHt(c); if (c->height >= n->height) n->height= 1+c->height; c=c>rightsibling; } IDEA: per ogni nodo calcola (ricorsivamente) laltezza di ogni suo sottoalbero e calcola il max

48 Computo altezza void computeHt (pNode n) { pNODE c; n->height=0; c=n->leftmostchild; while (c != NULL) {computeHt(c); if (c->height >= n->height) n->height= 1+c->height; c=c>rightsibling; } } CORRETTEZZA S(T): computeHt(n) calcola correttamente altezza nodo n BASE. Se T ha un solo nodo, pone height=0 e si ferma

49 Computo altezza void computeHt (pNode n) { pNODE c; n->height=0; c=n->leftmostchild; while (c != NULL) {computeHt(c); if (c->height >= n->height) n->height= 1+c->height; c=c>rightsibling; } } CORRETTEZZA S(T): computeHt(n) calcola correttamente altezza nodo n BASE. Se T ha un solo nodo, pone height=0 e si ferma PASSO. I.I.: computeHt(n i ) calcola correttamente laltezza del figlio n i di n, per ogni i=1,…,k. n->heigth= max{1+ n 1 ->height, …, 1+ n k ->height} = max{1+ altezza T 1,, …, 1+ altezza T k } (per I.I) = 1 + max altezza sottoalberi

50 Alberi Binari Ogni nodo ha < 2 figli: figlio destro, figlio sinistro a b e d f g c

51 Alberi Binari Definizione ricorsiva BASE. Albero vuoto è albero binario PASSO. Dati 2 alberi binari T 1,T 2 ed un nuovo nodo r T= r è un albero binario con sottoalbero di sinistra T 1 sottoalbero di destra T 2 T1T1 T2T2

52 Alberi Binari Struttura dati Typedef struct NODE *TREE struct NODE{ etype nodelabel; TREE leftchild, rightchild; } Bastano due puntatori per nodo: figlio destro, figlio sinistro

53 Ricorsione su Alberi Binari FUNZIONE (T TREE) { Azione A 0 FUNZIONE(T 1 ) Azione A 1 ; FUNZIONE(T 2 ) Azione A 2 ; }

54 Visita Inorder Visita Inorder: si devono visitare i nodi dellalbero in modo tale che 1.ogni nodo segue nella lista tutti i nodi del sottoalbero di sinistra 2.precede nella lista tutti i nodi del sottoalbero di destra r c1c1 T1T1 c2c2 T2T2 T= Lista Inorder di T = (lista inorder T 1, r, lista inorder T 2 )

55 Visita Inorder Visita Inorder: si devono visitare i nodi dellalbero in modo tale che 1.ogni nodo segue nella lista tutti i nodi del sottoalbero di sinistra 2.precede nella lista tutti i nodi del sottoalbero di destra a b e d f g c Lista Inorder: (e,b,a,f,d,g,c)

56 Visita Inorder Visita Inorder: si devono visitare i nodi dellalbero in modo tale che 1.ogni nodo segue nella lista tutti i nodi del sottoalbero di sinistra 2.precede nella lista tutti i nodi del sottoalbero di destra void inorder(TREE T) { if (T!=NULL) { inorder(T->leftchild); printf(%c\n, T->nodelabel); inorder(T->rightchild); } r c1c1 T1T1 c2c2 T2T2 T=

57 Visita Inorder void inorder(TREE T) { if (T!=NULL) { inorder(T->leftchild); printf(%c\n, T->nodelabel); inorder(T->rightchild); } a b e d f g c Inorder: e,b,a,f,d,g,c


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