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Crittografia e numeri primi IV incontro lunedì 29 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche.

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Presentazione sul tema: "Crittografia e numeri primi IV incontro lunedì 29 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche."— Transcript della presentazione:

1 Crittografia e numeri primi IV incontro lunedì 29 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

2 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Elimino gli spazi : Questomessaggiononèpiùsegreto. Questomessaggiononepiusegreto Per il nostro esempio possiamo pensare di eliminare accenti e punteggiatura, Altrimenti dovremmo inserire altri caratteri… Costruzione del messaggio cifrato 1:

3 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Dvido il testo in blocchi di tre lettere : Que sto mes sag gio non epi use gre to Aggiungo un carattere finale per fare in modo che tutti i blocchi abbiano lo stesso numero di lettere (di solito si aggiungono tante x quanti sono i caratteri mancanti, noi possiamo aggiungere le z) Costruzione del messaggio cifrato 2: Questomessaggiononepiusegreto Que sto mes sag gio non epi use gre toz

4 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Costruzione del messaggio cifrato 3: Que sto mes sag gio non epi use gre toz Traduco il messaggio utilizzando la tabella : Que sto mes sag gio non 141804 161712 100416 160006 060812 111211 epi use gre toz 041308 181604 061504 171220

5 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Costruzione del messaggio cifrato 4: 141804 161712 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220 Applico la funzione (Codice Cesare): f : Z 1000000 Z 1000000 | [m] [m]+ [k] k=909090

6 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Costruzione del messaggio cifrato 5: 141804 141804 + 909090 = 1050894 050894 161712 161712 + 909090 = 1070802 070802 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220

7 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Costruzione del messaggio cifrato 6: 141804 161712 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220 050894 070802 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310

8 Testo da decifrare: Decifratura del messaggio cifrato 7: 050894 070802 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310 f -1 : Z 1000000 Z 1000000 | [m] [m]+ [k] k=1000000-k= =1000000-909090=090910 Determino la funzione inversa di decifratura

9 Testo da decifrare: Decifratura del messaggio cifrato 8: 050894 050894 + 090910 = 141804 070802 070802 + 090910 = 161712 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310 Una volta convertito il messaggio numerico utilizzo nuovamente la tabella dei caratteri per tradurre

10 Questo messaggio non è più segreto. Costruzione del messaggio cifrato 9: 141804 161712 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220 Se invece avessi voluto utilizzare una funzione affine: f : Z 1000000 Z 1000000 | [m] [a] [m]+ [b] Devo verificare che MCD([a],[n])=1 Devo calcolare [a] -1 Lavoriamo con numeri più semplici (costruiamo per esempio blocchi da due caratteri): n=1191, [a]=[46]

11 Utilizzando il metodo delle divisioni successive, calcola MCD (1191, 46) abrestoa=b*quoziente+resto 1191461191=46*+ =*+ =*+ =*+

12 abrestoa=b*quoziente+resto 119146411191=46*25+41 4641546=41*1+5 51 =5*8+1 5105=1*5+0 MCD (1191, 46) = 1

13 MCD Ricostruisci ora lidentità di Bézout: == == == == == == == ==

14 MCD 1 =41 – 5*8=41 – (46 – 41*1)*8 ==41 – 46*8 + 41*8 =41*9 – 46*8=(1191 – 46*25)*9 – 46*8 ==1191*9 – 46*225 – 46*8 =1191*9 – 46*233= In conclusione si può riscrivere : 1=*+* MCD=s*a+t*b Quindi linverso di 46, modulo 1191, è _______

15 Ricostruisci ora lidentità di Bézout: MCD 1 =41 – 5*8=41 – (46 – 41*1)*8 ==41 – 46*8 + 41*8 =41*9 – 46*8=(1191 – 46*25)*9 – 46*8 ==1191*9 – 46*225 – 46*8 =1191*9 – 46*233= In conclusione si può riscrivere : 1=9*1191+– 233*46 MCD=s*a+t*b Quindi linverso di 46, modulo 1191, è [– 233 ] = [958]

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17 Quanti sono gli elementi invertibili di Z 5 ? Quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p [a] [p] modulo 5?

18 Se n è primo, quanti sono gli elementi invertibili di Z n ? Se n è primo, quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p [a] [p] modulo n?

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20 Fai lelenco dei numeri a con 0 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai lelenco dei numeri a con 0 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

21 Quanti sono i numeri a con 0 < a < 15 tali che MCD (a, 15) = 1 (quanti sono cioè gli invertibili in Z 15 )? ________________ Fai lelenco degli a con 0 1 e MCD (a, 5) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

22 Fai lelenco dei numeri a con 0 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai lelenco dei numeri a con 0 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

23 Quanti sono i numeri a con 0 < a < 21 tali che MCD (a, 21) = 1 (quanti sono cioè gli invertibili in Z 21 )? ________________ Fai lelenco degli a con 0 1 e MCD (a, 7) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

24 Sia n il prodotto di due primi distinti: n = p q Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono divisibili per p? ________________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono divisibili per q? ________________

25 Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che NON sono coprimi con n? _____________________________ Quanti sono gli elementi invertibili in Z n ?

26 Elevamento a potenza

27 Potenze in Z 5

28 xx^2x^3x^4x^5x^6x^7x^8x^9x^10 00000000000 11111111111 22431243124 33421342134 44141414141 Osservazioni: 1.gli esponenti pari non producono una funzione biunivoca 2.ci sono colonne particolari [1] 3.le potenze si ripetono con ciclicità – alcune funzioni coincidono…

29 Perché [m] 2 non funziona? [1] 2 =[1] [n-1] 2 = (n-1) 2 =n 2 -2n+1

30 Potenze in Z 5 [x] 11 =[x] 4*2+3 =[x] 4*2 [x] 3 = =([x] 4 ) 2 [x] 3 = =[1] 2 [x] 3 =[x] 3

31 Potenze in Z 7 xx2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 0000000000000000 1111111111111111 2241241241241241 3326451326451326 4421421421421421 5546231546231546 6616161616161616

32 Potenze Modulo 10 xx2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 x 10 00000000000 11111111111 22486248624 33971397139 44646464646 55555555555 66666666666 77931793179 88426842684 99191919191

33 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 0000000000 1111111111 24851097361 3954139541 4593145931 5349153491 6379 58421 7523 46981 8964 32571 9435194351 121101 1 1 1 Potenze in Z 11

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35 xx^2x^3x^4x^5x^6x^7x^8x^9x^10x^11x^12x^13x^14x^15x^16x^17x^18x^19x^20 000000000000000000000 111111111111111111111 224816111248161112481611124 339618121539618121539618121539 441614 14 14 14 14 14 554201617154201617154201617154 66156 6 6 6 6 6 6 6 6 777777777777777777777 881818181818181818181 9918159181591815918159181591815918 10 16134191101613419110161341911016 11 16842111168421111684211116 12 18693151218693151218693151218 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 15 16 41 41 41 41 41 41 4 17 16204511716204511716204511716 18 9151891518915189151891518915189 19 4131610119413161011941316101194 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Potenze modulo 21

36 Decifratura con Potenze in Z 5 Quale potrebbe essere la funzione di decifratura? xx^2x^3x^4x^5x^6x^7x^8x^9x^10 00000000000 11111111111 22431243124 33421342134 44141414141

37 Decifratura con Potenze in Z 5 x0123 00000 10123 20202 30321

38 xx^2x^3x^4x^5x^6x^7x^8x^9x^10 00000000000 11111111111 22431243124 33421342134 44141414141 Decifratura con Potenze in Z 5

39 Teorema di Fermat


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