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Crittografia e numeri primi IV incontro lunedì 29 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche.

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Presentazione sul tema: "Crittografia e numeri primi IV incontro lunedì 29 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche."— Transcript della presentazione:

1 Crittografia e numeri primi IV incontro lunedì 29 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

2 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Elimino gli spazi : Questomessaggiononèpiùsegreto. Questomessaggiononepiusegreto Per il nostro esempio possiamo pensare di eliminare accenti e punteggiatura, Altrimenti dovremmo inserire altri caratteri… Costruzione del messaggio cifrato 1:

3 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Dvido il testo in blocchi di tre lettere : Que sto mes sag gio non epi use gre to Aggiungo un carattere finale per fare in modo che tutti i blocchi abbiano lo stesso numero di lettere (di solito si aggiungono tante x quanti sono i caratteri mancanti, noi possiamo aggiungere le z) Costruzione del messaggio cifrato 2: Questomessaggiononepiusegreto Que sto mes sag gio non epi use gre toz

4 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Costruzione del messaggio cifrato 3: Que sto mes sag gio non epi use gre toz Traduco il messaggio utilizzando la tabella : Que sto mes sag gio non epi use gre toz

5 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Costruzione del messaggio cifrato 4: Applico la funzione (Codice Cesare): f : Z Z | [m] [m]+ [k] k=909090

6 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Costruzione del messaggio cifrato 5: = =

7 Questo messaggio non è più segreto. Testo da cifrare: Costruzione del messaggio cifrato 6:

8 Testo da decifrare: Decifratura del messaggio cifrato 7: f -1 : Z Z | [m] [m]+ [k] k= k= = = Determino la funzione inversa di decifratura

9 Testo da decifrare: Decifratura del messaggio cifrato 8: = = Una volta convertito il messaggio numerico utilizzo nuovamente la tabella dei caratteri per tradurre

10 Questo messaggio non è più segreto. Costruzione del messaggio cifrato 9: Se invece avessi voluto utilizzare una funzione affine: f : Z Z | [m] [a] [m]+ [b] Devo verificare che MCD([a],[n])=1 Devo calcolare [a] -1 Lavoriamo con numeri più semplici (costruiamo per esempio blocchi da due caratteri): n=1191, [a]=[46]

11 Utilizzando il metodo delle divisioni successive, calcola MCD (1191, 46) abrestoa=b*quoziente+resto =46*+ =*+ =*+ =*+

12 abrestoa=b*quoziente+resto =46* =41* =5* =1*5+0 MCD (1191, 46) = 1

13 MCD Ricostruisci ora lidentità di Bézout: == == == == == == == ==

14 MCD 1 =41 – 5*8=41 – (46 – 41*1)*8 ==41 – 46*8 + 41*8 =41*9 – 46*8=(1191 – 46*25)*9 – 46*8 ==1191*9 – 46*225 – 46*8 =1191*9 – 46*233= In conclusione si può riscrivere : 1=*+* MCD=s*a+t*b Quindi linverso di 46, modulo 1191, è _______

15 Ricostruisci ora lidentità di Bézout: MCD 1 =41 – 5*8=41 – (46 – 41*1)*8 ==41 – 46*8 + 41*8 =41*9 – 46*8=(1191 – 46*25)*9 – 46*8 ==1191*9 – 46*225 – 46*8 =1191*9 – 46*233= In conclusione si può riscrivere : 1=9*1191+– 233*46 MCD=s*a+t*b Quindi linverso di 46, modulo 1191, è [– 233 ] = [958]

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17 Quanti sono gli elementi invertibili di Z 5 ? Quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p [a] [p] modulo 5?

18 Se n è primo, quanti sono gli elementi invertibili di Z n ? Se n è primo, quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p [a] [p] modulo n?

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20 Fai lelenco dei numeri a con 0 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai lelenco dei numeri a con 0 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

21 Quanti sono i numeri a con 0 < a < 15 tali che MCD (a, 15) = 1 (quanti sono cioè gli invertibili in Z 15 )? ________________ Fai lelenco degli a con 0 1 e MCD (a, 5) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

22 Fai lelenco dei numeri a con 0 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai lelenco dei numeri a con 0 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

23 Quanti sono i numeri a con 0 < a < 21 tali che MCD (a, 21) = 1 (quanti sono cioè gli invertibili in Z 21 )? ________________ Fai lelenco degli a con 0 1 e MCD (a, 7) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

24 Sia n il prodotto di due primi distinti: n = p q Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono divisibili per p? ________________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono divisibili per q? ________________

25 Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che NON sono coprimi con n? _____________________________ Quanti sono gli elementi invertibili in Z n ?

26 Elevamento a potenza

27 Potenze in Z 5

28 xx^2x^3x^4x^5x^6x^7x^8x^9x^ Osservazioni: 1.gli esponenti pari non producono una funzione biunivoca 2.ci sono colonne particolari [1] 3.le potenze si ripetono con ciclicità – alcune funzioni coincidono…

29 Perché [m] 2 non funziona? [1] 2 =[1] [n-1] 2 = (n-1) 2 =n 2 -2n+1

30 Potenze in Z 5 [x] 11 =[x] 4*2+3 =[x] 4*2 [x] 3 = =([x] 4 ) 2 [x] 3 = =[1] 2 [x] 3 =[x] 3

31 Potenze in Z 7 xx2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x

32 Potenze Modulo 10 xx2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 x

33 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x Potenze in Z 11

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35 xx^2x^3x^4x^5x^6x^7x^8x^9x^10x^11x^12x^13x^14x^15x^16x^17x^18x^19x^ Potenze modulo 21

36 Decifratura con Potenze in Z 5 Quale potrebbe essere la funzione di decifratura? xx^2x^3x^4x^5x^6x^7x^8x^9x^

37 Decifratura con Potenze in Z 5 x

38 xx^2x^3x^4x^5x^6x^7x^8x^9x^ Decifratura con Potenze in Z 5

39 Teorema di Fermat


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