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Lezione n° 19: 12-13 Maggio 2008 Problema dellalbero dei cammini minimi Anno accademico 2007/2008 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa.

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1 Lezione n° 19: 12-13 Maggio 2008 Problema dellalbero dei cammini minimi Anno accademico 2007/2008 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno

2 Il problema dei cammini minini 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 G=(N,A) 5 7 1 21 15 sorgente 11 28 9 40 10 21 c ij = costo dellarco (i,j) x ij = variabili decisionali x ij = 1 se x ij p 0 se x ij p destinazione p

3 Modello matematico 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21

4 Modello matematico 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21

5 Modello matematico 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21

6 Il problema dei cammini minini (varianti) Uno ad uno Uno a tutti Tutti a tutti

7 Il problema dei cammini minini 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 5 7 1 21 15 sorgente 11 28 9 40 10 21 T G=(N,A)

8 Etichette dei nodi 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 G=(N,A) 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21 d1d1 d2d2 d9d9 d5d5 d6d6 d7d7 d8d8 d3d3 d4d4

9 Algoritmo prototipo Passo 1: Inizializzazione. d s =0, P s =NULL, d k =, P k =s k N\{s}, Q={s}; Passo 2: Estrai un vertice x da Q (Q= Q \{x}) ed aggiorna quando possibile le etichette dei vertici in FS(x): y FS(x) se d x + c xy < d y allora d y = d x + c xy, P y = x e se y Q inseriscilo in Q (Q= Q {y}) (test di ottimalità)

10 Aggioramento delle etichette 5 9 4 2 7 34 15 42 67 18 21 y FS(x) se d x + c xy < d y allora d y = d x + c xy e P y = x x=4, y=5 d 4 + c 45 < d 5 ? d 5 = d 4 + c 45 e P 5 = 4 x=4, y=2 d 4 + c 42 < d 2 ? ………………… x=4, y=9 d 4 + c 49 < d 9 ? d 9 = d 4 + c 49 e P 9 = 4 36 55

11 Algoritmo prototipo Passo 1: Inizializzazione. d s =0, P s =NULL, d k =, P k =s k N\{s}, Q={s}; Passo 2: Estrai un vertice x da Q (Q= Q \{x}) ed aggiorna quando possibile le etichette dei vertici in FS(x): y FS(x) se d x + c xy < d y allora d y = d x + c xy, P y = x e se y Q inseriscilo in Q (Q= Q {y}) (test di ottimalità) Passo 3: Fino a quando Q ripeti il passo 2 ;

12 Gli algoritmi per lSPT si distinguono per: – La politica di estrazione del nodo da Q (label setting e label correcting) – La struttura dati utilizzata per implementare Q Differenti implementazioni

13 Dijkstra (G,s) Inizializzazione; ( d s =0, P s =NULL, d k =, P k =s k N\{s}, Q={s}) while ( Q ){ x = Extract_min(Q); Test_ottimalità(x,y);con y FS(x); } Algoritmo di Dijkstra (label setting)

14 7 9 512 Lalgoritmo di Dijkstra (label setting) 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 G=(N,A) 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21 0 Q 7 9 2 7 0

15 2 47 9 5 9 7 Lalgoritmo di Dijkstra (label setting) 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 G=(N,A) 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21 0 Q 47 42 22 9 747 3 42 4 22 9 5 9 3 42 4 22

16 6 4 78 47 9 7 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 G=(N,A) 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21 0 Q 42 22 9 9 3 42 4 22 5 47 78 9 3 42 22 6 47 78 Lalgoritmo di Dijkstra (label setting)

17 4 8 78 47 9 7 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 G=(N,A) 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21 0 Q 42 22 33 43 50 9 42 22 6 47 78 3 7 43 33 50 7 3 42 8 33 43 Lalgoritmo di Dijkstra (label setting)

18 47 9 7 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 G=(N,A) 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21 0 Q 42 22 33 43 50 34 9 6 47 50 7 3 42 8 33 43 34 Lalgoritmo di Dijkstra (label setting)

19 34 47 9 7 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 G=(N,A) 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21 0 Q 22 33 43 50 9 6 47 50 7 3 43 44 Lalgoritmo di Dijkstra (label setting)

20 43 44 34 9 7 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 G=(N,A) 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21 0 Q 22 33 50 9 6 7 43 48 Lalgoritmo di Dijkstra (label setting)

21 Il problema dei cammini minini 1 5 6 4 7 2 3 8 9 69 44 7 1 35 5 7 1 21 15 11 28 9 40 10 21 T

22 Albero dei Cammini minimi albero di copertura minimo 1 2 3 5 7 6 0 5 7 4 10 11 15 SPT=22

23 Albero dei Cammini minimi albero di copertura minimo 1 2 3 5 7 6 0 5 7 4 10 11 15 1 2 3 5 7 6 4 10 11 MST=21SPT=22


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