Diamo I numeri …. Ottobre 2007 Giuliana Catanese

Partiamo dai primi numeri che impariamo a studiare a scuola e a usare nella vita, i numeri naturali, quelli che Kronhecker diceva "Dio fece i numeri naturali; tutto il resto è opera dell'uomo" . Gli studiosi di filosofia della matematica non sono d’accordo con l’origine dei Naturali (N), alcuni pensano che tutta la matematica, e perciò anch’essi, sia una costruzione dell’uomo, altri che i numeri naturali siano un’idea innata dell’uomo e questa per esempio era la posizione anche di Pitagora.

I numeri naturali Il concetto di numero naturale è un concetto astratto e si è formato a fatica nel corso dei secoli Nella lingua thimsshian, popolazione della costiera pacifica del Canada, si usano ben 7 vocaboli distinti per indicare i numeri, uno per - le misure - per contare gli oggetti piatti e gli animali - per contare gli oggetti rotondi e il tempo - per contare gli oggetti lunghi e gli alberi - per contare le canoe - per contare gli uomini - per il resto Ma anche nella lingua giapponese i numeri hanno talvolta nomi diversi e desinenze diverse a seconda dei contesti in cui vengono utilizzati

Rappresentazione dei N Quanti modi abbiamo per scrivere un numero naturale, ad es. sette? IIIIIII; seven, VII, ,…. La realtà del numero è la stessa cambia la rappresentazione Per rendere più agevoli i calcoli è comodo avere un adeguato sistema di numerazione. Noi usiamo un sistema decimale, posizionale, ma ugualmente bene potrebbero andare altri

Lo zero e il sistema posizionale Nel sistema di numerazione greco e romano c’era la necessità, per fare i calcoli pratici, di usare l’abaco. La notazione Indù fu introdotta in Arabia nel 770 d.C.e poi in Europa dopo il X sec, da parte degli arabi Nel sistema posizionale ogni cifra ha un valore diverso a seconda la posizione che occupa. Fondamentale in esso è lo zero, introdotto forse, per la prima volta, dagli indiani. La cultura greca aveva sempre avuto infatti il terrore del vuoto e del nulla e non aveva mai introdotto un simbolo per rappresentarlo

Scrittura di un numero in base diversa da 10 Per esempio il 7 in base 2 diventa 1112 in base 3 diventa 213 in base 5 diventa 125

Un esercizio sul valore della posizione Si prenda un numero qualsiasi di 4 cifre, si scriva prima la cifra delle migliaia, poi il numero formato dalla cifra delle migliaia e delle centinaia, poi quello formato da migliaia centinaia e decine e si addizionino fra loro, si moltiplichi il risultato per 9 a questo numero si aggiungano le cifre del numero di partenza 2453 2 24 245 245+24+2=271 2439 2439+2+4+5+3=???

Proprio il numero di partenza Qual è il risultato? Proprio il numero di partenza 2453

giustificazione Qualsiasi numero di 4 cifre può essere scritto a*1000+b*100+c*10+d a+ (a*10+b)+(a*100+b*10+c)= a*111+b*11+c Moltiplichiamo per 9,avremo a*999+b*99+c*9 Addizioniamo la somma delle cifre del numero di partenza e avremo a*999+b*99+c*9+a+b+c+d

Le tabelline Servono le tabelline? Certo sono alla base di ogni calcolo * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

Osservando la tabellina della moltiplicazione, possiamo scoprire alcune proprietà interessanti come la commutativa, l’esistenza dell’elemento neutro, lo strano comportamento dello zero … Attenzione il fatto che la moltiplicazione sia commutativa non è poi così banale pensate alla sottrazione alla divisione. Anzi il fatto che valgano certe proprietà per le operazioni fondamentali sarà ciò che ci consentirà più avanti di chiamare numeri anche cose strane, molto, molto strane… ma questo è argomento di prossime puntate.

Esercizio per casa Se avete piacere e curiosità, provate a costruire la tabellina o dell’addizione o della moltiplicazione in qualche base diversa da 10. Potrebbe anche essere 12, ma attenzione che allora avremmo bisogno di due cifre in più, potrebbero essere T(ten) e E(eleven)

In base 5 1 2 3 4 11 13 14 22 31

Altra tecnica di moltiplicazione Poniamo attenzione che le nostre tecniche di calcolo per eseguire le operazioni non sono le sole possibili. Vediamo un po’ come certe tribù etiopi che sanno solo moltiplicare e dividere per 2 eseguono una moltiplicazione ad es 25 *31 25 31 dimezzo il 1° senza tener conto del resto, e raddoppio il 2° 12 62 e così via 6 124 3 248 1 496

A questo punto cancello le righe che, a sinistra, presentano un numero pari, e sommo i numeri rimanenti delle colonne di destra 31+248+496 = 775 provare per credere… Oltre a verificarlo su altri numeri, volete per la prossima volta tentare di darne una giustificazione?

Giustificazione Dietro c’è in pratica la scrittura di un numero in base 2 e la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma 25= 1*24+1*23+0*22+0*21+1*20 Dunque 25*31=(1*24+1*23+0*22+0*21+1*20)*31 =(1*16+1*8+0*4+0*2+1*1)*31 =( 16+ 8 + + 1)*31 = 496 +248 + 31

I numeri naturali sono infiniti I numeri naturali si possono ordinare uno di seguito all’altro in modo molto intuitivo e la successione non ha termine. I numeri naturali sono il primo esempio di infinito in matematica. Ricordiamo il gioco di bambini dimmi un numero grandissimo e io ti dirò un numero ancora più grande. Vedi Spirito pag16 :Zavattini

Se vogliamo, come è ragionevole, che ogni numero abbia il successivo siamo costretti ad ammettere l’infinità dei numeri … Tutte le volte che un insieme ha la stessa ‘numerosità’ dei i numeri naturali diremo che è numerabile. Potremmo pensare che tutti gli infiniti sono uguali, invece … Invece,per esempio, i numeri naturali pari sono tanti quanti tutti i numeri naturali …

0 1 2 3 4 5 6 7 8 … | | | | | | | | | 0 2 4 6 8 10 12 14 16 … ma anche questa è un’altra storia…..

Notiamo che invece i numeri della calcolatrice non sono infiniti,neppure quelli del più potente calcolatore e infatti possono venir fuori anche cose strane sommando numeri che vanno fuori range. Quelli della calcolatrice sono numeri diversi da quelli della matematica, ma per i calcoli usuali possiamo operativamente usare quelli della calcolatrice e vanno benissimo.

Continuiamo a parlare di numeri naturali, che pur studiati per secoli, nascondono ancora tante domande, per il momento, senza risposta. Alcuni di questi problemi sono di importanza fondamentale per intere branche della matematica, altri sembrano pure curiosità, ma potrebbero un domani rendere possibile la soluzioni di problemi pratici ,ora non sospettati.

Una curiosa proprietà La somma di numeri dispari successivi è sempre uguale ad un quadrato perfetto 1+3+5+7=16 Con un simbolismo forse un po’ più raffinato dobbiamo dimostrare che 1+3+5+….+(2n-1)= n2 ne daremo una giustificazione geometrica

1 3 7 5

Numeri perfetti Sono quelli che sono uguali alla somma dei loro divisori. es. 6 = 1 + 2 +3 28=1 + 2 + 4 + 7 +14 I numeri pari perfetti sono stati studiati da Eulero (sec.XVII). I numeri perfetti, da 1 a 100.000 sono soltanto 4 … Problema aperto invece è se esistano o no numeri dispari perfetti

Numeri figurati Gli antichi greci non avevano un buon rapporto con l’aritmetica,mentre erano dei gran maestri con la geometria. Questo fatto li spinse a sviluppare una serie di osservazioni sulle proprietà dei numeri naturali a partire dalle regolarità delle figure corrispondenti a quei numeri

Numeri triangolari Sono quelli composti da unità che si possono disporre in modo da formare triangoli Sono infiniti, disegniamo soltanto i primi che sono i seguenti ... 1, 3, 6, 10, 15, 21….

Osservando le configurazioni dei primi quattro, si può scoprire una interessante regolarità Il secondo si ha dal primo aggiungendo 2 Il terzo dal secondo aggiungendo 3 Il quarto aggiungendo 4 ovvero l’ n-esimo numero si ottiene come somma di n con il triangolare precedente Tn = n+ Tn-1

C’è un’altra stranezza il sesto numero triangolare, coincide con la somma dei primi 6 numeri naturali …. 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ma anche questa è un’altra storia …..

I numeri primi Sono i numeri naturali, maggiori di 1, divisibili solo per se stessi e per 1. Anche i numeri primi sono infiniti e sono numerabili La dimostrazione che i numeri primi sono infiniti fu data per la prima volta da Euclide Procede per assurdo,ovvero si tenta di dimostrare che il teorema è falso, cioè nel nostro caso si suppone che esista un numero finito, anche se grandissimo, di numeri primi

dimostrazione Per esempio siano p1 ,p2,p3,………. pn-1,pn. Ogni altro numero dovrà essere divisibile per uno o più di essi. Considero adesso il numero A= p1*p2 *p3*………..pn-1*pn+1 Esso è certamente maggiore di tutti i primi considerati, ma non è divisibile per nessuno di essi Dunque l’ipotesi iniziale che esista solo un numero finito di primi porta ad una contraddizione,dunque essa è assurda e deve essere vera la sua contraria, ovvero che sono infiniti.

Molti sono stati i tentativi per scrivere tutti i numeri primi minori di un certo numero assegnato Il più antico è certamente il crivello di Eratostene

Eratostene di Cirene Eratostene di Cirene (Έρατοσθένης) (Cirene 276 a.C. – Alessandria d’Egitto, 194 a.C.) è stato un matematico, astronomo, geografo e poeta greco. Fu probabilmente l'intellettuale più versatile della sua epoca. Bibliotecario della Biblioteca di Alessandria, è oggi ricordato soprattutto per aver misurato per primo con grande precisione le dimensioni della Terra. Calcolò la misura della circonferenza massima in 39.400 Km contro i 40.000 reali !!!!

Per misurare la lunghezza del meridiano terrestre ebbe come riferimento due città: Alessandria e Siene, l’odierna Assuan. Partendo dall’ipotesi che fossero sullo stesso meridiano (in realtà sono separate da 3° di longitudine), misurò dapprima la distanza tra le due città, ponendo concettualmente i raggi solari paralleli tra loro: questa situazione è possibile in alcuni giorni dell’anno; il giorno del solstizio d’estate infatti a Siene il sole è allo zenit e i raggi risultano verticali, mentre ad Alessandria formano un certo angolo α. Questo angolo corrisponde all’angolo posto ipoteticamente al centro della Terra tra le rette che congiungono le due città. Il suo valore era di 1/50 di giro (ancora i gradi sessagesimali non erano stati ufficialmente introdotti) che equivaleva a 250.000 stadi, quindi 39.400 Km contro i 40.000 reali.

Crivello di Eratostene Il procedimento è il seguente: si scrivono tutti i naturali a partire da 2 fino n in un elenco detto setaccio. Poi si cancellano tutti i multipli del primo numero del setaccio (escluso lui stesso). Si prosegue così fino ad arrivare in fondo. I numeri che restano sono i numeri primi minori od uguali a n. È come se si utilizzassero dei setacci a maglie via via più larghe: il primo lascia passare solo i multipli di 2, il secondo solo i multipli di 3, e così via

Pensate che ci vorrà molto tempo per utilizzarlo per i primi minori di 100? Ipotizzate e poi provate In realtà ce li troviamo già pronti dopo aver eliminato i multipli di 7. Perché? Possiamo generalizzare la cosa?

dimostrazione Nel caso n = 50, ad esempio, il procedimento di setacciatura si conclude con il numero 7 perché 7 è il massimo intero il cui quadrato non supera 50 . Si può provare che il procedimento di setacciatura per ricercare i primi fino ad un certo numero n cessa sempre quando si supera la radice quadrata di n. Infatti ogni numero a del setaccio iniziale, contenente tutti i numeri naturali non superiori ad un dato n, cade dal setaccio che corrisponde al più piccolo dei suoi divisori primi. Se indichiamo con p il più piccolo divisore primo di a si ha: a= p*r ≥ con r>p . Se ne deduce che a= p*r ≥p*p = p2 da cui p è sempre minore o uguale alla radice quadrata di a.

Una espressione che dà luogo a molti numeri primi è F(n) = n2 –n +41 Il guaio è che fino a 40 funziona ,ma per n=41 dà 412 che non è primo… Vedete perciò perché i matematici hanno il vizio di dimostrare tutto e di non fidarsi delle apparenze…

C’è un’altra stranezza il sesto numero triangolare, coincide con la somma dei primi 6 numeri naturali …. 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ma anche questa è un’altra storia …..

Congettura di Goldbach Nel sec.XVII Golbach ipotizzò che ogni numero pari maggiore di 2 si potesse scrivere come somma di due numeri primi 18= 11+7 =13 +5 Nel 1931 un matematico russo sconosciuto dimostrò che ogni numero intero positivo può essere rappresentato come la somma di non più di 300.000 primi. Più recentemente un altro russo è riuscito a ridurre il numero a 4, ma ancora c’è da lavorare…

Congettura delle coppie di primi gemelli Dall’osservazione che i numeri primi si presentano a coppie p e p+2 , come 3 e 5, 11 e 13, 29 e 31, Si ritiene che tali coppie siano infinite, ma ancora nessuno è riuscito a dimostrarlo

Giochino di magia scegliere due numeri a caso non eccessivamente elevati poi sommarli, a questa somma aggiungere poi il maggiore e cosi via, sommando sempre alla nuova somma, il valore della precedente per 7 volte Fare il rapporto degli ultimi due numeri

Il valore del rapporto è 0,618…

Numeri di Fibonacci La successione di Fibonacci è una sequenza di numeri naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, e chiedendo che ogni successivo sia la somma dei due precedenti

La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XIII sec Leonardo Fibonacci, l’autore del Liber Abbaci (1202). Fibonacci li trovò, mentre cercava una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli. Assumendo che: la prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese e che le nuove coppie nate si comportino in modo analogo…

La prima serie di numeri di Fibonacci è: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8, 13 , 21,… Tante sono le particolarità di questi numeri : quella da noi usata è che il rapporto tra due termini successivi si avvicina molto rapidamente al numero decimale 0,618..: 1:2=0,500 2:3=0,667 3:5=0,6 5:8=0,625 8:13 = 0,615 ... 34:55=0,618

Il suo reciproco è noto con il nome di numero Aureo, e viene definito come il rapporto della sezione aurea, o proporzione aurea e si indica con φ (iniziale di Fidia) la sezione aurea di un segmento è quella sua parte che è media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente A B C AC : AB = AB : BC Tale rapporto è stato considerato, sin dalla sua scoperta, come rappresentazione della legge universale dell'armonia.

φ è anche l'unico numero non naturale il cui reciproco e quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale. φ = 1, 618033989… φ2 = 2, 618033989… 1/φ= 0, 618033989… infatti 1/φ = φ -1

Spirale logaritmica Si costruisce una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti la sequenza "converge" verso un punto di fuga che non raggiungerà mai, denominato dal matematico C.A.Pickover L’occhio di Dio,

nautilus

La spirale logaritmica della lumaca (chiocciola) risponde principalmente ad esigenze di crescita all’interno della stessa.. Infatti la lumaca esce dall’uovo con già la chiocciola e questa è una parte non separabile del gasteropode senza provocarne lesioni e probabilmente la morte.  Crescendo la lumaca costruisce strati superiori sul bordo della chiocciola che va ad occupare con la nuova massa corporea. La spirale logaritmica ha la proprietà di allargarsi man mano che ci si allontana dal centro e di conseguenza il volume aumenta.

Il rettangolo aureo ha questo rapporto fra il lato corto e quello lungo . Il Partenone è un esempio dell’uso in Architettura del rettangolo aureo

Gli andamenti del mercato azionario, l'accrescimento biologico di alcune specie, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi in alcuni tipi di fiori quali il girasole, spesso presentano schemi riconducibili a quello dei numeri di Fibonacci.

La sequenza di Fibonacci è abbondantemente rappresentata anche in musica, ad esempio nelle fughe di Johann Sebastian Bach, nelle sonate di Mozart, nella Quinta Sinfonia di Beethoven, nella Sonata in la D 959 di Schubert; nella Sagra della Primavera di Strawinski. nella Cathedrale Engloutie di Debussy.

Anche la musica Rock, ed in special modo il così detto rock progressivo, si è confrontata con la relazione esistente fra musica e matematica, soprattutto per ciò che riguarda gli aspetti mistico-esoterici della sezione aurea. L’esempio più emblematico per quanto riguarda questo genere musicale, è la musica dei Genesis, i quali hanno usato assiduamente la serie di Fibonacci per i loro brani: uno di essi, più significativo in questo senso, è Firth of Fifth, tutto basato su numeri aurei, nel quale, ad esempio ci sono assolo di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc.

E per concludere giochi con i numeri che diventano arte:

di Alighiero Boetti

Il volo dei numeri di Mario Merz un'installazione luminosa sulla Mole Antonelliana, rappresenta la successione di Fibonacci

Bibliografia Spirito Grammatica dei numeri Editori riuniti Courrant-Robbins Che cos’è la matematica Boringhieri Higgins Divertirsi con la matematica Dedalo Honsell L’algoritmo del parcheggio Mondadori Glenn-Johnson Divertimenti matematici Zanichelli http://www.magiadeinumeri.it/Fibonacci.htm