Giuseppina TrifilettiLiberEtà Udine, 18 ottobre 2007

DOVE SI NASCONDE LERRORE? Se a > b (o a < b), b), non può essere a = b quindi

Se c è un numero positivo allora a>b, es: 7=5+2, Se c è un numero negativo allora a<b, es: 7=9+(-2) Dato che non si può fare il passaggio dalla riga 5) alla riga 6) perché si divide per 0

Un numero diverso da 0 diviso per zero non dà nessun numero Esempio 8:0 = nessun numero, Invece 0:0 = qualunque numero In ambedue i casi non otteniamo uno ed un solo risultato, come deve invece accadere per avere come risultato un numero e non sono numeri reali (vedi nota) Per concludere E la divisione per 0 non si può fare NOTA: i numeri reali R sono tutti i numeri decimali, quelli che usiamo di solito - decimali limitati (come 3 e 4,5 e 7 e 2,3 … e infiniti altri), decimali illimitati periodici (come 1/3= 0,333333… e infiniti altri), e decimali illimitati e non periodici, che approssimiamo (come 2=1,41… e =3,14… e infiniti altri)

Lerrore quindi sta nella divisione per 0, che si fa dal passaggio 5) al passaggio 6). Dato che a = b+c si ha che a-b-c = 0. ESEMPIO: a=7 e b=5 e c=2, 7=5+2, 7-5-2=0 In 6) si ottiene 7*0=5*0 che è unuguaglianza vera, ma se divido per 0 ottengo 7 = 5 che è falsa. Non si può dividere per zero

Brevemente 5=7 è unuguaglianza falsa Se moltiplico a destra e a sinistra per un qualunque numero ottengo ancora unuguaglianza falsa. Es: 5x3=7x315=21 Se moltiplico a destra e a sinistra per 0 ottengo 5x0=7x0 0=0 E cioè unuguaglianza vera Che succede se moltiplico per 0?

PESANDO E RIPESANDO BG CB GPC P Se una bottiglia B e un bicchiere G. fanno equilibrio a una caraffa C, e anche la stessa bottiglia B fa equilibrio a un bicchiere G più un piatto P, e 2 caraffe C bilanciano tre piatti P, si domanda G B QUANTI BICCHIERI G FARANNO EQUILIBRIO A UNA BOTTIGLIA B?

DATI DEL PROBLEMA I) B + G = C II) B = G + P III) 2C = 3P richiesta 1B = ?G

1) I dato2) II dato 3) Applico a 2) il I principio: aggiungo un bicchiere da ambedue le parti. 4) Proprietà transitiva, tra 1) e 3), dell = B G+P= B+G C= 2G+P= 1) B+GC=2) B+G=e dato che 2G+P C= SOLUZIONE

5) Applico il II principio: raddoppio da ambedue le parti 6) III dato 7) proprietà transitiva dell = tra 5) e 6) 8) Applico il I principio: tolgo due P (piattini) da tutte e due le parti 10) per sostituzione 4G+2P2C= 3P= 5G = 3P Sostituisco a un P quattro G 9) II dato P = 4G B=RISPOSTA: 4G + 2P

Se si sostituisce ogni simbolo con i seguenti numeri B (bottiglia) 50g G (bicchiere) 10g P (piattino) 40g C (caraffa) 60g Le uguaglianze delle diapositive precedenti sono tutte verificate

COME CREARE BIRRA CON I PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI

LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA BIRRA BIRRA =

Metà bicchierepieno = Metà bicchierevuoto significa "Un bicchiere pieno a metà è uguale a un bicchiere vuoto a metà" È completamente diverso da 1/2bicchierepieno=1/2bicchierevuoto Ha un altro significato. Il detto "un bicchiere pieno a metà è uguale a un bicchiere vuoto a metà", NON SI PUO' FORMALIZZARE IN QUEL MODO.

Infatti 1/2bicchierepieno = un mezzo moltiplicato per un bicchierepieno = la metà di un bicchiere pieno E NON UN BICCHIERE PIENO A METÀ 1/2bicchierevuoto = un mezzo per un bicchierevuoto = la metà di un bicchiere vuoto E NON UN BICCHIERE VUOTO A METÀ 1/2bicchierepieno=1/2bicchierevuoto, cioè vuol dire che se divido un bicchiere pieno in due parti ottengo metà di un bicchiere vuoto. E viceversa. Cosa che non è assolutamente vera. FALSO L'INIZIO E FALSA LA FINE

Se invece volevo formalizzare IL DETTO di cui sopra dovevo scrivere Il bicchiere pieno a metà contiene tanto vino quanto il bicchiere vuoto a metà, quindi luguaglianza era piuttosto banale x = quantità di vino contenuta nel bicchiere pieno Un bicchiere con metà della quantità di vino che può contenere ha tanto vino quanto un bicchiere pieno di vino a cui viene tolto metà del vino che contiene = FORMALIZZAZIONE BANALE

FORMALIZZAZIONE MIGLIORE BIRRA ottengo due bicchieri pieni a metà che sono proprio uguali a due bicchieri vuoti a metà E se moltiplico per 2, utilizzando il II principio di equivalenza, ottengo BIRRA = x = bicchierepienoametà y = bicchierevuotoametà BIRRA =

LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA BIRRA i n p o c h i s s i m e p a r o l e "UN BICCHIERE PIENO A METÀ È UGUALE A UN BICCHIERE VUOTO A METÀ" ha tutto un altro significato di "LA METÀ DI UN BICCHIERE PIENO È UGUALE ALLA METÀ DI UN BICCHIERE VUOTO dato che lultima frase si presta a una formalizzazione di tipo matematico che porta decisamente fuori strada.

IDEE TRATTE DA dal libro di testo, di qualche anno fa, della INTERNATIONAL SCHOOL di Udine MIDDLE SCHOOL MATH, autori vari, Scott Foresman-Addison Wesley, Carrollton, Texas - Menlo Park, California dal libro ENIGMI CRITICI E BIZZARI di Michael DiSpezio, Il Castello Personali rielaborazioni