Daniela Sassi

Riflessione scientifico-matematica: le Geometrie non Euclidee La matematica nell’arte  Maurits Cornelis Escher Satira della società  The Victorian Age

Edwin Abbott Abbott (1838-1926) 1865 – 1889 : Rettore della City of London School Composizione di 40 tra libri e trattati di vario genere: manuali scolastici, studi di testi sacri, opere teologiche. Flatlandia – Racconto fantastico a più dimensioni (1882)

Flatlandia – Racconto fantastico a più dimensioni Prima parte : Descrizione della società Flatlandese Seconda parte : Viaggio alla scoperta di mondi di diversa dimensionalità Forte gerarchia basata sulla misura degli angoli Linelandia Spacelandia

“Professionisti e Gentiluomini” Società gerarchica di Flatlandia Sacerdote Aristocrazia “Professionisti e Gentiluomini” Borghese Soldati e Operai

LINELANDIA

Incontro con la sfera La terza dimensione : “verso l’ Alto, non verso il “Nord”

The Victorian Age The Victorian Compromise Women and Society (1837 – 1901) The Victorian Compromise Women and Society Positive aspects: - Expansion and reforms - New political and scientific theories (Darwin, Socialism) MOST IMPORTANT REFORMS 1832: First Reform Act 1839: Custody of Infants Act 1846: Corn Laws 1857: Matrimonial Causes Act 1862: Mines Act 1870: Elementary Education Act 1875: Public Health Act 1882: Trade Unions were legalised. 1884: Third Reform Act

Dibattito sulle Geometrie non Euclidee Riemann : varietà multidimensionali Helmholtz : L’origine e il significato degli assiomi geometrici (1870) “Immaginiamo - ciò non è logicamente impossibile - che esistano esseri dotati di ragione, bidimensionali, viventi e moventesi sulla superficie d’uno dei nostri corpi solidi. Ammettiamo che essi non possano percepire alcunché fuori di questa superficie, ma che possano percepire in modo simile al nostro entro l’ambito della superficie su cui si muovono. Se tali esseri costruissero la loro geometria, attribuirebbero naturalmente al loro spazio due sole dimensioni.” Dibattito sulle Geometrie non Euclidee

Le Geometrie non Euclidee Il V postulato ( o postulato delle parallele ) Risulti postulato che se in un piano una retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta. Problema del V postulato Contenuto : infinito Forma : teorema 2 possibili soluzioni

Le Geometrie non Euclidee Le soluzioni Determinare una proposizione equivalente al V postulato, con l’evidenza tipica degli assiomi Dimostrazione del V postulato John Playfair : per un punto non giacente su una retta data né sul suo prolungamento, non è possibile tracciare più di una parallela alla retta data Girolamo Saccheri ( 1667 – 1733 )

Le Geometrie non Euclidee Girolamo Saccheri gli angoli alla sommità sono retti. gli angoli alla sommità sono ottusi. gli angoli alla sommità sono acuti. Ipotesi angoli ottusi Ipotesi angoli acuti Somma angoli interni quadrilatero = 360 “Contraddizione” “Contraddizione”

Le Geometrie non Euclidee Lobachevsky e Bolyai: la Geometria Iperbolica Bolyai Lobachevsky Negazione dell’unicità della parallela : assioma di Lobachevsky La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°

Le Geometrie non Euclidee Riemann: la Geometria Ellittica e la Geometria Sferica Spazio illimitato e finito a curvatura costante positiva Negazione dell’esistenza della parallela: assioma di Riemann P e P’ non coincidono: due rette hanno sempre due punti in comune  Geometria sferica P e P’ coincidono: due rette hanno sempre un solo punto in comune  Geometria ellittica La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°

Le Geometrie non Euclidee Modelli di Geometria non Euclidea Modello di Poincarè Modello di Geometria Iperbolica Modello di Klein Modello di Geometria Iperbolica Modello della sfera Modello di Geometria Sferica

MAURITS CORNELIS ESCHER (1898 – 1971) Temi principali delle sue opere: il Nastro di Mobius la riflessione sull’infinito la tassellazione periodica del piano le figure impossibili

il Nastro di Mobius Nastro di Mobius I Nastro di Mobius II (1963)

Riflessione sull’ infinito 1956 – 1970 : Periodo dell’ Infinito Limite del cerchio III (1959) Serpenti (1969) Esposizione di stampe (1956)

Tassellazione Periodica Del Piano

Le figure impossibili Belvedere (1958)

Le figure impossibili Cascata Salita e discesa

Le figure impossibili Cubo con nastri magici Casa di scale

Le figure impossibili Relatività In alto e in basso

RETTILI (1943) copertina di Flatlandia