AvvioEsci ITC Soverato ITC Soverato Proff. Santoro-Mezzotero Le trasformazioni geometriche nel piano

Tour Nozioni fondamentali sulle trasformazioni geometriche Fare clic sull'argomento desiderato. Esci Le trasformazioni nel piano Definizioni e proprietà Risorse e materiale aggiuntivo Obiettivi, schede operative, valutazioneMENU

MenuTOUR Esci Le simmetrie si ritrovano in molte opere artistiche: Nei rosoni delle cattedrali gotiche

Menu Nelle decorazioni dei vasi greci Esci

Menu Nei quadri di Escher: Esci Nella prima figura, ogni cavaliere viene trasformato in un altro effettuando uno spostamento secondo una certa direzione. Nella seconda figura, le immagini sono ottenute mediante rotazioni lungo la linea orizzontale.

Menu NELLE TASSELLAZIONI Esci Le tassellazioni sono ottenute riempiendo il foglio mediante trasformazioni geometriche, senza che rimangano spazi bianchi.

MenuEsci Le simmetrie sono presenti anche in natura:  Nelle molecole  Nei fiori  Nelle stelle marine  Negli animali.

MenuEsci Profili o bicchieri? La risposta dipende da come interpreti lo sfondo - se bianco o nero. Il fotografo Zeke Berman ha creato questo disegno usando silhouettes di persone vere. …e persino nelle illusioni ottiche.

MenuEsci LE SIMMETRIE SONO TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Consideriamo una figura geometrica contenuta in un piano, ad esempio un triangolo, e uno specchio perpendicolare a questo piano

Menu Esci Vediamo nello specchio un’immagine che assomiglia al triangolo e che tuttavia non è del tutto identica; infatti anche se sono identiche le dimensioni, la sinistra e la destra risultano invertite. L’immagine risulta speculare e cioè è simmetrica del triangolo dato rispetto al piano dello specchio.

Menu Analoghe considerazioni valgono per villa Foscari a Mira (la malcontenta di Andrea Palladio) riflessa nello specchio d’acqua Esci

Menu Esci I matematici dicono che esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della figura data e i punti dell’immagine. Risulta che alcune caratteristiche sono comuni alla figura iniziale e alla sua immagine (ad esempio, le dimensioni), mentre altre differiscono (ad esempio, l’orientamento dei punti dovuto allo scambio della sinistra con la destra). Le proprietà comuni sono chiamate invarianti.

MenuEsci Consideriamo una grata e la sua ombra proiettata dai raggi solari che possono essere considerati tutti paralleli tra di loro. Anche qui esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della grata e la sua ombra, ma non si conservano né il parallelismo né le dimensioni della grata.

Esci Possiamo quindi dire che: “Una trasformazione piana è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che fa corrispondere ad ogni punto uno ed un solo punto del piano stesso”. PP’ DEFINIZIONE DI TRASFORMAZIONE PIANA Fine

Fare clic sull'argomento desiderato. Menu Esci La traslazione La simmetria assiale Le omotetie I vettori La rotazione La simmetria centrale LE TRASFORMAZIONI La composizione La similitudine

Esci Menu I VETTORI Un vettore è una classe di segmenti orientati aventi la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza, Un vettore è indicato con la lettera in grassetto v, oppure con B-A, dove B è l’estremo e A è l’origine..

Esci Menu Le componenti di un vettore

Esci La somma di due vettori regola del parallelogramma Fine

EsciMenu LA TRASLAZIONE Una traslazione è una trasformazione del pianio in sé completamente individuata da un vettore, ossia da: una direzione (lungo la quale avviene lo spostamento di ogni punto) da un verso su tale direzione (a ogni direzione si possono associare due versi di percorrenza, l’uno opposto all’altro) da una lunghezza (che rappresenta la misura dello spostamento che subisce ciascun punto)

Esci GLI INVARIANTI DI UNA TRASLAZIONE  L’allineamento dei punti  La lunghezza dei segmenti  L’orientamento dei punti  L’ampiezza degli angoli  Il parallelismo  Le direzioni  Il rapporto tra i segmenti Menu

Esci UN ESEMPIO DI TRASLAZIONE Menu

Le equazioni della traslazione di vettore v Esci Fine

LA ROTAZIONE Esci O P P’ α La rotazione di centro O e ampiezza α è la trasformazione del piano in sé che al punto O fa corrispondere O e a ogni punto P≠O associa un punto P’ in modo che d(O,P) = d(O,P’) e che l’angolo PÔP’ abbia ampiezza α Il centro O è l’unico punto unito in una rotazione Menu

Invarianti della rotazione L’allineamento dei punti La lunghezza dei segmenti L’ampiezza degli angoli Il parallelismo L’orientamento dei punti nel piano Il rapporto tra segmenti EsciMenu Non sono invece un invariante le direzioni!!!

Un esempio di rotazione in senso antiorario di centro O Esci Menu O α=45°

Rotazione di 90° in senso antiorario EsciMenu O

Rotazione di 90° in senso orario EsciMenu O

Rotazione di 180° EsciMenu

Le equazioni della rotazione Se l’angolo di rotazione è 90°, le equazioni sono: Se l’angolo è di 180°, le equazioni sono: Esci Fine

Esci Menu La simmetria centrale Per simmetria centrale di centro O si intende una trasformazione che ad ogni punto P, diverso da O, associa un punto P’, allineato con P ed O, in modo che PP’ abbia O come punto medio. Il centro O è l’unico punto unito di una simmetria centrale. Una simmetria centrale di centro O è una rotazione di 180° attorno ad O. Oltre agli invarianti della rotazione, la simmetria centrale conserva le direzioni.

Esci Menu Simmetria rispetto all’origine

Simmetria rispetto ad un punto Esci Menu

Simmetria centrale Esci Menu

Le equazioni della simmetria centrale Rispetto all’origine O di un sistema di assi cartesiani ortogonali, le equazioni sono: Rispetto al centro di coordinate (e,f), le equazioni sono: Esci Fine

Esci La simmetria assiale Menu La simmetria assiale rispetto alla retta r, asse di simmetria, è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il punto P’ tale che r sia l’asse del segmento PP’.

Esci Gli invarianti della simmetria assiale L’allineamento dei punti La lunghezza dei segmenti L’ampiezza degli angoli Il parallelismo Il rapporto tra i segmenti Non sono invarianti: Le direzioni e L’orientamento dei punti Menu

Esci Un esempio di simmetria assiale rispetto agli assi x e y. Menu

Esci Un esempio di simmetria assiale rispetto a una retta r ortogonale. Menu

Esci Un esempio di simmetria assiale rispetto a una retta r obliqua. Menu

Esci Le equazioni della simmetria assiale Simmetria rispetto all’asse x: Simmetria rispetto all’asse y: Simmetria rispetto alla retta y=x: Simmetria rispetto alla retta y=-x: Fine

Esci LE OMOTETIE “Si chiama omotetia di centro O e rapporto k (k≠0), la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che ad ogni punto P associa il P’ tale che tra i segmenti orientati OP e OP’ valga la relazione OP’= k OP.” L’omotetia permette di ingrandire o ridurre una figura, lasciandone inalterata la forma. Le equazioni dell’omotetia di centro O e rapporto k sono: Menu

Esci TRIANGOLI OMOTETICI Menu

Esci Riduzione con centro O e k = -0.5 Menu

Esci Riduzione con centro P e k = 0.5 Fine

Esci COMPOSIZIONE DI TRASFORMAZIONI Fine

EsciSIMILITUDINE Fine

EsciMenu Materiale aggiuntivo Test e schede operative Cerca in Internet Obiettivi del corso Tabella di valutazione

Esci Menu Test e schede operative In formato Word sono raccolti test e schede di verifica utilizzate durante il corso

NF_Gall.htmhttp:// NF_Gall.htm (articolo interessante sulle isometrie nell’arte in cui si parla di Escher) mhttp:// m (articolo su matematica e arte) chap6/6.4/index.htmhttp://standards.nctm.org/document/eexamples/ chap6/6.4/index.htm (per comprendere le trasformazioni in modo interattivo) Esci Menu CERCA IN INTERNET

Esci Menu OBIETTIVI DEL CORSO Conoscere il significato di trasformazione geometrica Conoscere il significato di isometria Individuare gli invarianti di una trasformazione Classificare le trasformazioni geometriche Comporre isometrie

Esci Tabella di valutazione GiudizioConoscenzeCompetenze ScarsoManca di conoscenzeNon sa operare Mediocre Conosce in maniera frammentaria e/o superficiale Sa operare solo se guidato SufficienteConosce i contenuti specificiOpera in modo autonomo Buono Conosce i contenuti specifici in maniera organica e consapevole Opera in modo critico e utilizza le varie tecniche con sicurezza Ottimo Conosce i contenuti specifici in maniera approfondita e personale Riesce a seguire strategie alternative e personalizzate. Fine