I GRAFICI – INPUT 1

Le Leggi Fisiche La descrizione delle proprietà e dei comportamenti del mondo fisico è contenuta in alcune affermazioni chiamate. LEGGI FISICHE Una legge fisica in pratica è LA RELAZIONE MATEMATICA (FORMULA) CHE INTERCORRE TRA LE GRANDEZZE FISICHE IN GIOCO.   Per ricavare una legge fisica occorre seguire il metodo scientifico (introdotto da Galileo Galilei) composto dai seguenti punti:

osservazione preliminare del fenomeno individuazione delle grandezze fisiche che descrivono il fenomeno formulazione di un’ipotesi, cioè di una relazione che lega fra loro le grandezze fisiche in gioco ideazione e realizzazione di esperimenti che possono verificare concretamente l’ipotesi teorica se la teoria e’ confermata dalla pratica (esperimento) si può formulare la legge fisica che descrive il fenomeno considerato.

funzioni matematiche (formule). Le relazioni tra due grandezze fisiche (che possiamo chiamare genericamente x e y), utilizzate per descrivere un fenomeno, si possono esprimere mediante l’uso di tabelle, in cui si raccolgono i valori che le grandezze assumono, mediante grafici e per mezzo di funzioni matematiche (formule). Ovviamente c’è una relazione tra questi tre modi di rappresentazione; ad esempio i dati raccolti in una tabella possono essere trasformati in un grafico; utilizzando una formula è possibile costruire una tabella; e così via.

RAPPRESENTAZIONE DATI SPERIMENTALI Il metodo più semplice ed immediato per rappresentare dei dati sperimentali consiste nell’utilizzare un grafico cartesiano. Per costruire un grafico cartesiano si procede nel seguente modo:

si disegnano due assi perpendicolari (assi cartesiani), uno orizzontale (asse delle ascisse) ed uno verticale (asse delle ordinate); il punto in cui si incontrano e’ detto ORIGINE degli assi cartesiani. si orientano gli assi (aggiungendo una freccetta in fondo agli assi) e vicino a ciascun asse si scrive il simbolo della variabile rappresentata.  

Chiamiamo VARIABILI le grandezze che compaiono nel grafico o nelle tabelle o nelle funzioni. Si dicono variabili perché possono assumere valori di volta in volta diversi. Solitamente le variabili considerate sono due e sono chiamate rispettivamente VARIABILE INDIPENDENTE e VARIABILE DIPENDENTE. A partire dai valori assunti dalla variabile indipendente, si ricavano i valori corrispondenti della variabile dipendente.

In matematica si scrive y = f(x); questa espressione si può leggere indifferentemente: la variabile y è funzione della variabile x;   y dipende da x; x e’ la variabile INDIPENDENTE e y è la variabile DIPENDENTE; al variare del valore x, ne consegue un valore di y.

In pratica, in fisica, si può pensare alla variabile indipendente come CAUSA e alla variabile dipendente come EFFETTO.   RICORDIAMOCI UNA REGOLA: nei grafici, sull’asse delle ascisse si deve sempre indicare la VARIABILE INDIPENDENTE, mentre sull’asse delle ordinate si deve sempre indicare la VARIABILE DIPENDENTE.

PROPORZIONALITA’ DIRETTA La più semplice relazione tra grandezze fisiche e’ la relazione di PROPORZIONALITA’ DIRETTA.   Costruiamo una tabella per esprimere la relazione tra due variabili x e y.

X Y 1 4 2 8 3 12 16 5 20

Si può vedere che quando la variabile x raddoppia, anche la variabile y raddoppia, quando x triplica, anche y triplica, etc. Quindi, se facciamo il rapporto y/x si può notare che questo rapporto e’ costante ed in questo caso vale 4.   y k = ── = 4 x Quando il rapporto tra due grandezze è costante si dice che le due grandezze sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI.

Due grandezze si dicono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI quando il loro RAPPORTO è COSTANTE.   y ── = k x Questa relazione si può esprimere anche come: y = k x

N.B.: Rappresentando le due grandezze su di un grafico cartesiano otteniamo una retta passante per l’origine. Viceversa, se su un grafico è rappresentata una retta passante per l’origine, significa che le due grandezze rappresentate sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI.

y 0 x

L’inclinazione della retta rispetto all’asse X è detta PENDENZA (possiamo approssimativamente indicarla con l’angolo α) e dipende dal valore della costante k. Più è grande il valore di k, maggiore è l’angolo che la retta forma con l’asse X.

Se la pendenza è maggiore, significa che la grandezza rappresentata dalla variabile dipendente (y) varia più rapidamente. Nella figura sottostante l’angolo β risulta > α, per cui la retta rossa ha una pendenza maggiore della retta verde e quindi la grandezza rappresentata dalla retta rossa varia più rapidamente dell’altra. y β α 0 x

Altre relazioni matematiche Se la retta NON passa per l’origine, la relazione tra le due grandezze e’ detta LINEARE. dove a e b rappresentano dei valori costanti.

Costruiamo una tabella per esprimere la relazione tra due variabili. Prendiamo un recipiente già parzialmente pieno e aggiungiamo acqua in modo costante. In questo caso la quantità d’acqua V nel recipiente e il tempo t sono grandezze correlate linearmente.

T (min) V (litri) 3 1 5 2 7 9 4 11

In questo caso si vede che il rapporto tra y e x NON e’ costante; la relazione tra x e y e’ espressa dalla formula: y = k ∙ x + q q praticamente rappresenta il punto in cui la retta attraversa l’asse y (e per questo in matematica e’ detta ORDINATA ALL’ORIGINE).   Nel nostro esempio si vede che y = 2x + 3 e quindi k = 2 e q = 3 (la nostra retta attraversa l’asse y nel punto di ordinata = 3).

PROPORZIONALITA’ INVERSA Un’altra relazione tra due grandezze e’ la PROPORZIONALITA’ INVERSA. Costruiamo una tabella per esprimere la relazione tra due variabili x e y

X Y 10 600 20 500 30 400 40 300 50 200 60 100

Si può vedere che quando la variabile x raddoppia, la variabile y dimezza, quando x triplica, y diventa 1/3, etc. Quindi se facciamo il prodotto y ∙ x, si può notare che questo prodotto e’ costante.   Nel nostro esempio il prodotto tra x e y e’ sempre = 6000. y ∙ x = k = 6000 Quando il prodotto tra due grandezze e’ costante, si dice che le due grandezze sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI.

Quindi due grandezze si dicono INVERSAMENTE PROPORZIONALI quando il loro PRODOTTO e’ COSTANTE. y ∙ x = k N.B.: Se rappresentiamo le due grandezze su di un grafico cartesiano otteniamo un ramo di iperbole. Viceversa, se su un grafico e’ rappresentato un ramo di iperbole, significa che le due grandezze rappresentate sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI.

PROPORZIONALITA’ QUADRATICA L’ultima relazione che prendiamo in considerazione e’ la PROPORZIONALITA’ QUADRATICA.   Costruiamo una tabella per esprimere la relazione tra due variabili x e y dove x e y rappresentano rispettivamente il raggio e l’area di un cerchio.

L’area e il raggio di un cerchio sono legate da proporzionalità quadratica. Al raddoppiare del raggio l’area diventa 4 volte più grande, al triplicare del raggio l’area diventa 9 volte più grande …. dove a rappresenta una costante.

Quindi una grandezza y si dice che ha una proporzionalità quadratica rispetto ad una grandezza x, quando, dividendo i valori che assume la y per i corrispondenti valori di x al quadrato, si ottiene sempre lo stesso valore k: y ── = k x2   oppure y = k ∙ x2

Se rappresentiamo le due grandezze su di un grafico cartesiano otteniamo una parabola. Viceversa, se su un grafico e’ rappresentata una parabola, significa che fra le due grandezze rappresentate esiste una proporzionalità quadratica.

RIASSUMENDO Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto e’ costante; la formula che esprime la relazione di proporzionalità diretta è y ── = k x Il grafico di y in funzione di x è una retta passante per l’origine degli assi.

Due grandezze sono legate dalla relazione lineare quando y = k ∙ x + q   Il grafico di y in funzione di x e’ una retta NON passante dall’origine degli assi, ma dal punto q (per questo q si chiama anche ORDINATA ALL’ORIGINE).

Due grandezze x e y sono inversamente proporzionali quando il loro prodotto e’ costante; la formula che esprime la relazione di proporzionalità inversa e’ y ∙ x = k Il grafico di y in funzione di x e’ un ramo di iperbole.

La proporzionalità quadratica e’ espressa dalla relazione matematica   y ── = k x2 Il grafico che esprime la relazione tra x e y e’ una parabola.

I GRAFICI – INPUT 2

Le Leggi Fisiche La descrizione delle proprietà e dei comportamenti del mondo fisico è contenuta in alcune affermazioni chiamate………. LEGGI FISICHE Una legge fisica in pratica è LA RELAZIONE MATEMATICA (FORMULA) CHE INTERCORRE TRA LE GRANDEZZE FISICHE IN GIOCO.   Per ricavare una legge fisica occorre seguire il metodo scientifico (introdotto da Galileo Galilei) composto dai seguenti punti:

osservazione preliminare del fenomeno individuazione delle grandezze fisiche che descrivono il fenomeno formulazione di un’ipotesi, cioè di una relazione che lega fra loro le grandezze fisiche in gioco ideazione e realizzazione di esperimenti che possono verificare concretamente l’ipotesi teorica se la teoria e’ confermata dalla pratica (esperimento) si può formulare la legge fisica che descrive il fenomeno considerato.

Le relazioni tra due grandezze fisiche (che possiamo chiamare genericamente x e y), utilizzate per descrivere un fenomeno, si possono esprimere mediante l’uso di tabelle, in cui si raccolgono i valori che le grandezze assumono, mediante grafici e per mezzo di funzioni matematiche (formule). Ovviamente c’è una relazione tra questi tre modi di rappresentazione; ad esempio i dati raccolti in una tabella possono essere trasformati in un grafico; utilizzando una formula è possibile costruire una tabella; e così via.

RAPPRESENTAZIONE DATI SPERIMENTALI Il metodo più semplice ed immediato per rappresentare dei dati sperimentali consiste nell’utilizzare un grafico cartesiano. Per costruire un grafico cartesiano si procede nel seguente modo:

si disegnano due assi perpendicolari …………… (assi cartesiani), uno orizzontale ……………………….. (asse delle ascisse) ed uno verticale ………………………… (asse delle ordinate); il punto in cui si incontrano e’ detto …………………… ORIGINE degli assi cartesiani. si orientano gli assi (aggiungendo una freccetta in fondo agli assi) e vicino a ciascun asse si scrive il simbolo della variabile rappresentata.  

Le grandezze che compaiono nel grafico o nelle tabelle o nelle funzioni sono dette ……….......... VARIABILI Si dicono variabili perché possono assumere valori di volta in volta diversi. Solitamente le variabili considerate sono due e sono chiamate rispettivamente ………………….. VARIABILE INDIPENDENTE e VARIABILE DIPENDENTE. A partire dai valori assunti dalla variabile indipendente, si ricavano i valori corrispondenti della variabile dipendente.

In matematica si scrive ……………… y = f(x); questa espressione si può leggere indifferentemente: la variabile y è funzione della variabile x;   y dipende da x; x e’ la variabile ………………… INDIPENDENTE e y è la variabile …………………… DIPENDENTE; al variare del valore x, ne consegue un valore di y.

In pratica, in fisica, si può pensare alla variabile indipendente come ……………. CAUSA e alla variabile dipendente come ……………….. EFFETTO.   RICORDIAMOCI UNA REGOLA: nei grafici, sull’asse delle ascisse si deve sempre indicare la VARIABILE INDIPENDENTE, mentre sull’asse delle ordinate si deve sempre indicare la VARIABILE DIPENDENTE.

PROPORZIONALITA’ DIRETTA La più semplice relazione tra grandezze fisiche e’ la relazione di PROPORZIONALITA’ DIRETTA.   Costruiamo una tabella per esprimere la relazione tra due variabili x e y.

X Y 1 4 2 8 3 12 16 5 20

Si può vedere che quando la variabile x raddoppia, anche la variabile y raddoppia, quando x triplica, anche y triplica, etc. Quindi, se facciamo il rapporto y/x si può notare che questo rapporto e’……………… costante ed in questo caso vale 4.   y k = ── = 4 x Quando il rapporto tra due grandezze è costante si dice che le due grandezze sono ……………………. DIRETTAMENTE PROPORZIONALI.

Due grandezze si dicono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI quando ……………… il loro RAPPORTO è COSTANTE.   y ── = k x Questa relazione si può esprimere anche come: y = k x

N.B.: Rappresentando le due grandezze su di un grafico cartesiano otteniamo una retta passante per l’origine. Viceversa, se su un grafico è rappresentata una retta passante per l’origine, significa che le due grandezze rappresentate sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI.

y 0 x

L’inclinazione della retta rispetto all’asse X è detta PENDENZA (possiamo approssimativamente indicarla con l’angolo α) e dipende dal valore della costante k. Più è grande il valore di k, maggiore è l’angolo che la retta forma con l’asse X.

Se la pendenza è maggiore, significa che la grandezza rappresentata dalla variabile dipendente (y) varia più rapidamente. Nella figura sottostante l’angolo β risulta > α, per cui la retta rossa ha una pendenza maggiore della retta verde e quindi la grandezza rappresentata dalla retta rossa varia più rapidamente dell’altra. y β α 0 x

Altre relazioni matematiche Se la retta NON passa per l’origine, la relazione tra le due grandezze e’ detta ………………. LINEARE. dove a e b rappresentano dei valori costanti.

Costruiamo una tabella per esprimere la relazione tra due variabili. Prendiamo un recipiente già parzialmente pieno e aggiungiamo acqua in modo costante. In questo caso la quantità d’acqua V nel recipiente e il tempo t sono grandezze correlate linearmente.

T (min) V (litri) 3 1 5 2 7 9 4 11

In questo caso si vede che il rapporto tra y e x NON e’ costante; la relazione tra x e y e’ espressa dalla formula: y = k ∙ x + q q praticamente rappresenta il punto in cui la retta attraversa l’asse y (e per questo in matematica e’ detta ………………….. ORDINATA ALL’ORIGINE).   Nel nostro esempio si vede che y = 2x + 3 e quindi k = 2 e q = 3 (la nostra retta attraversa l’asse y nel punto di ordinata = 3).

PROPORZIONALITA’ INVERSA Un’altra relazione tra due grandezze e’ la PROPORZIONALITA’ INVERSA. Costruiamo una tabella per esprimere la relazione tra due variabili x e y

X Y 10 600 20 500 30 400 40 300 50 200 60 100

Si può vedere che quando la variabile x raddoppia, la variabile y dimezza, quando x triplica, y diventa 1/3, etc. Quindi se facciamo il prodotto y ∙ x, si può notare che questo prodotto e’ costante.   Nel nostro esempio il prodotto tra x e y e’ sempre = 6000. y ∙ x = k = 6000 Quando il prodotto tra due grandezze e’ costante, si dice che le due grandezze sono ………………. INVERSAMENTE PROPORZIONALI.

Quindi due grandezze si dicono INVERSAMENTE PROPORZIONALI quando …………………… il loro PRODOTTO e’ COSTANTE. y ∙ x = k N.B.: Se rappresentiamo le due grandezze su di un grafico cartesiano otteniamo un …………………. ramo di iperbole. Viceversa, se su un grafico e’ rappresentato un ramo di iperbole, significa che le due grandezze rappresentate sono…………….. INVERSAMENTE PROPORZIONALI.

PROPORZIONALITA’ QUADRATICA L’ultima relazione che prendiamo in considerazione e’ la PROPORZIONALITA’ QUADRATICA.   Costruiamo una tabella per esprimere la relazione tra due variabili x e y dove x e y rappresentano rispettivamente il raggio e l’area di un cerchio.

L’area e il raggio di un cerchio sono legate da proporzionalità quadratica. Al raddoppiare del raggio l’area diventa 4 volte più grande, al triplicare del raggio l’area diventa 9 volte più grande …. dove a rappresenta una costante.

Quindi una grandezza y si dice che ha una proporzionalità quadratica rispetto ad una grandezza x, quando, dividendo i valori che assume la y per i corrispondenti valori di x al quadrato, si ottiene sempre lo stesso valore k: y ── = k x2   oppure y = k ∙ x2

Se rappresentiamo le due grandezze su di un grafico cartesiano otteniamo una ……………… parabola. Viceversa, se su un grafico e’ rappresentata una parabola, significa che fra le due grandezze rappresentate esiste una …………. proporzionalità quadratica.

RIASSUMENDO Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali quando……… il loro rapporto e’ costante; la formula che esprime la relazione di proporzionalità diretta è y ── = k x Il grafico di y in funzione di x è…….. una retta passante per l’origine degli assi.

Due grandezze sono legate dalla relazione lineare quando y = k ∙ x + q   Il grafico di y in funzione di x e’ …….. una retta NON passante dall’origine degli assi, ma dal punto q (per questo q si chiama anche…….. ORDINATA ALL’ORIGINE).

Due grandezze x e y sono inversamente proporzionali quando ………… il loro prodotto e’ costante; la formula che esprime la relazione di proporzionalità inversa e’ y ∙ x = k Il grafico di y in funzione di x è……… un ramo di iperbole.

La proporzionalità quadratica e’ espressa dalla relazione matematica   y ── = k x2 Il grafico che esprime la relazione tra x e y e’ una ……. parabola.

THE END

I GRAFICI – INPUT 3

1 Quando due grandezze sono direttamente proporzionali? A il loro prodotto è costante B la loro somma è costante C la loro differenza è costante D il loro rapporto è costante

2 Nella figura sono rappresentate due grandezze x e y correlate linearmente. Quale delle seguenti formule descrive la relazione? A y = 11 + 2x B y = 2x C y = 3x + 3 D y = 2x + 3

3 Quale relazione rappresenta la formula y = 3/x A proporzionalità diretta B proporzionalità inversa C proporzionalità quadratica D nessuna delle precedenti

4. Fra le seguenti grandezze solo due sono direttamente proporzionali 4 Fra le seguenti grandezze solo due sono direttamente proporzionali. Quali? A il perimetro e il lato di un tavolo quadrato B il raggio e l’area di un cerchio C il volume di un cilindro e il raggio di base D il numero degli studenti di una scuola e il numero degli insegnanti  

5 Se due grandezze sono inversamente proporzionali, la loro rappresentazione grafica è: A una semiretta non uscente dall’origine degli assi B una semiretta uscente dall’origine degli assi C una parabola D un ramo di iperbole

6 Nella figura sono rappresentate due grandezze x e y direttamente proporzionali. Quale delle seguenti formule descrive la relazione? A y = 4x B y = x C y = 2x D y = 2x + 1

7 La grandezza y è funzione della grandezza x.   x 1 2 3 4 5 y 30 15 10 7,5 6 Quale delle seguenti affermazioni è corretta? A y è direttamente proporzionale a x B y è inversamente proporzionale a x C y è proporzionale al quadrato di x D y dipende linearmente da x