Funzioni goniometriche IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito1

MISURA ANGOLI E ARCHI IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito2

Archi e angoli orientati Una circonferenza di raggio arbitrario può essere percorsa, da un punto P, in due versi opposti: antiorario (positivi archi e angoli al centro), orario (negativi archi e angoli al centro) A P O α -β-β IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito3

Sistema sessagesimale Si assume come unità di misura per gli angoli il grado che è la novantesima parte dell’angolo retto I suoi sottomultipli sono: il minuto primo e il minuto secondo IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito4

360° 270° 180° 90 ° 0° 315° 225° 135° 45° Senso antiorario IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito5

-360° -270° -180° -90 ° 0° -315° -225° -135° -45° Senso orario IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito6

Sistema circolare In goniometria, trigonometria e nel calcolo infinitesimale non si usa il sistema sessa- gesimale ma si preferisce usare il sistema circolare poiché è decimale. In tale sistema l’unità di misura è l’angolo radiante che è l'angolo al centro di una circonferenza,di raggio arbitrario,che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio stesso IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito7

Angolo di un radiante l = r r 1 rad IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito8

La misura di un angolo in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza di un arco di circonfe- renza sotteso dall‘angolo, e la lunghezza del raggio di tale circonferenza. misura di un angolo in radianti Img da IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito9

Lunghezza dell'arco di circonferenza La lunghezza di un arco di circonferenza è immediatamente ricavabile quando si lavora con gli angoli misurati in radianti; infatti da IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito10

Area del settore circolare αrαr l r IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito11

Misura angolo giro IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito12

IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito13

Poiché tra angoli al centro ed archi esiste una corrispondenza biunivoca, per operare una conversione da radianti a gradi e viceversa, si utilizza la seguente proporzione: Ponendo nella seconda formula α r =1 si ottiene la misura in gradi di un angolo radiante: Passaggio da un'unità di misura all'altra IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito14

Angolo di un radiante l = r r IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito15

0  /6 2  /3  /4  /3 3  /4 5  /6   /2 7  /6 5  /4 4  /3 3  /2 7  /4 5  /3 11  /6 30° 45° 60°90°120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito16

0 -11  /6 -4  /3 -7  /4 -5  /3 -5  /4 -7  /6 -- -3  /2 -5  /6 -3  /4 -2  /3 -  /2 -  /4 -  /3 -  /6 -330° -315° -300°-270°-240° -225° -210° -180° -150° -135° -120° -90° -60° -45° -30° IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito17

Funzioni goniometriche IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito18

Consideriamo un angolo di ampiezza x di vertice O e semirette r ed s. Presi dei punti su r tracciamo le perpendicolari alla semiretta s. Si vengono, così, a formare dei triangoli rettangoli, tutti simili tra loro, in quanto hanno gli angoli congruenti; per cui si ha: x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 Funzione seno IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito19

Dato un triangolo rettangolo, il seno (abbreviato sin o, in italiano, sen) di un angolo è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell‘’ipotenusa. Tale rapporto varia al variare dell’angolo, per cui il seno è funzione dell’angolo x Definizione di seno x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito20

Poiché il triangolo rettangolo è arbitrario possiamo considerare un triangolo rettangolo di ipotenusa pari all’unità di misura. In questo caso la misura del cateto opposto all’angolo x è proprio il valore del seno di x 1 senx x IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito21

Per vedere come varia la funzione seno al variare dell’angolo, consideriamo una circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario, detta circonferenza goniometrica Circonferenza goniometrica e variazione del seno IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito22

2π2π 3π/2 π π/2 0 Il seno nel I quadrante è positivo e passa da 0 a 1 Il seno nel II quadrante è positivo e passa da 1 a 0 Il seno nel III quadrante è negativo e passa da 0 a -1 Il seno nel IV quadrante è negativo e passa da -1 a 0 1 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito23

  /2 0 22 3  /2 1 Grafico del seno(sinusoide) IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito24

-- 0 -2  -3  /2 1 -  /2 sinusoide IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito25

sinusoide   /2 0 22 3  /2 1 -- -2  -3  /2 -  /2 Notiamo che la funzione seno è periodica, cioè il grafico si ripete ad intervalli regolari di ampiezza 2π. Questo vuol dire che aggiungendo un multiplo di 2π all’angolo il valore della funzione non cambia valore IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito26

 /2 5  /2 22 3  /27  /2 22 Periodicità del seno IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito27

Periodicità del seno Dire che la funzione seno è periodica di periodo 2  (360 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di 2  (360 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito28

Caratteristiche della funzione seno La funzione seno ha per dominio R e per codominio l’intervallo [-1;1]; è una funzione dispari perché il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine per cui sen(-x)=-sen(x); è periodica di periodo 2π.   /2 0 22 3  /2 1 -- -2  -3  /2 -  /2 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito29

Funzione arcoseno La funzione seno non è invertibile perché non è biunivoca. Si possono restringere, in modo opportuno, il dominio e l’insieme di arrivo in modo da rendere la funzione biunivoca. E’ sufficiente scegliere un intervallo in cui la funzione sia sempre crescente o decrescente in senso stretto IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito30

1  /2  -  /2 Restringiamo il dominio all’intervallo [-π/2;π/2] in cui la funzione è strettamente crescente e l’insieme di arrivo all’intervallo [-1;1]. In tali restrizioni la funzione è biunivoca IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito31

Funzione arcoseno da IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito32

Caratteristiche della funzione arcoseno La funzione arcoseno ha per dominio l’intervallo [-1;1]; e per codominio l’intervallo [-π/2; π/2]; è una funzione dispari perché il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine per cui arcsen(-x)=-arcsen(x); f(-1)=-π/2; f(0)=0; f(1)=π/2 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito33

Il grafico della funzione arcoseno è simmetrico, rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante, del grafico della funzione seno nell’intervallo [-π/2; π/2] Simmetria rispetto alla bisettrice delle funzioni seno e arcoseno IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito34

Consideriamo un angolo di ampiezza x di vertice O e semirette r ed s. Presi dei punti su r tracciamo le perpendicolari alla semiretta s. Si vengono, così, a formare dei triangoli rettangoli, tutti simili tra loro, in quanto hanno gli angoli congruenti; per cui si ha: x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 Funzione coseno IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito35

Dato un triangolo rettangolo, il coseno (abbreviato cos) di un angolo è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all'angolo e dell‘’ipotenusa. Tale rapporto varia al variare dell’angolo, per cui il coseno è funzione dell’angolo x Definizione di coseno x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito36

Poiché il triangolo rettangolo è arbitrario possiamo considerare un triangolo rettangolo di ipotenusa pari all’unità di misura. In questo caso la misura del cateto adiacente all’angolo x è proprio il valore del coseno di x 1 senx x cosx IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito37

Quindi in un triangolo rettangolo di ipotenusa uguale a 1 il cateto opposto e il cateto adiacente all’angolo x misurano rispettivamente senx e cosx 1 senx x cosx IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito38

1 cosx x senx Prima relazione fondamentale IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito39

Per vedere come varia la funzione coseno al variare dell’angolo, conside- riamo sempre la circonferenza gonio- metrica Circonferenza goniometrica e variazione del seno IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito40

cosx Il coseno nel I quadrante è positivo e passa da 1 a 0 Il coseno nel II quadrante è negativo e passa da 0 a -1 Il coseno nel III quadrante è negativo e passa da -1 a 0 Il coseno nel IV quadrante è positivo e passa da 0 e 1 2π2π 3π/2 π π/2 0 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito41

  /2 0 22 3  /2 Grafico del coseno(cosinusoide) 1 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito42

Periodicità del coseno  33 22 0 22 22 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito43

Periodicità del coseno Dire che la funzione coseno è periodica di periodo 2  (360 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di 2  (360 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito44

Caratteristiche della funzione coseno La funzione coseno ha per dominio R e per codominio l’intervallo [-1;1]; è una funzione pari perché il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle y per cui cos(-x)=cos(x); è periodica di periodo 2π. 0 1 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito45

Funzione arcocoseno La funzione arcocoseno non è invertibile perché non è biunivoca. Si possono restringere, in modo opportuno, il dominio e l’insieme di arrivo in modo da rendere la funzione biunivoca. E’ sufficiente sceglie- re un intervallo in cui la funzione sia sempre crescente o decrescente in senso stretto IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito46

0  1 Restringiamo il dominio all’intervallo [0;π] in cui la funzione è strettamente decrescente e l’insieme di arrivo all’intervallo [-1;1]. In tali restrizioni la funzione è biunivoca IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito47

Funzione arcocoseno da IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito48

Caratteristiche della funzione arcocoseno La funzione arcocoseno ha per dominio l’intervallo [-1;1] e per codominio l’intervallo 0; π]; è sempre decrescente e non è mai negativa; f(-1)=π; f(0)=π/2; f(1)=0 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito49

Il grafico della funzione arcocoseno è simmetrico, rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante, del grafico della funzione coseno nell’intervallo [0; π] Simmetria rispetto alla bisettrice delle funzioni coseno e arcocoseno πx y 1 y=x π 1 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito50

Consideriamo un angolo di ampiezza x di vertice O e semirette r ed s. Presi dei punti su r tracciamo le perpendicolari alla semiretta s. Si vengono, così, a formare dei triangoli rettangoli, tutti simili tra loro, in quanto hanno gli angoli congruenti; per cui si ha: x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 Funzione tangente IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito51

Dato un triangolo rettangolo, la tangente (abbreviato tg) di un angolo è definita come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto e del cateto adiacente all'angolo. Tale rapporto varia al variare dell’angolo, per cui la tangente è funzione dell’angolo x Definizione di tangente x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito52

Poiché il triangolo rettangolo è arbitrario possiamo considerare un triangolo rettangolo di ipotenusa pari all’unità di misura 1 cosx x senx IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito53

O A B H T AT : OA= BH: OH AT : 1 = senx : cosx tgx I triangoli OAT e OHB sono simili per cui si ha: Per vedere come varia la tangente basta vedere come varia AT: IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito54

2π2π 3 π /2 π π/2 0° La tangente nel I quadrante è posi- tiva e passa da 0 a +∞ La tangente nel II quadrante è negativa e passa da -∞ a 0 La tangente nel III quadrante è positiva e passa da 0 a +∞ La tangente nel II quadrante è negativa e passa da -∞ a 0 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito55

  /2 0 22 3  /2 Grafico tangente IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito56

  /2 0 22 3  /2 Periodicità della tangente  /3 4  /3  7  /3  10  /3  IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito57

Periodicità della tangente Dire che la funzione tangente è periodica di periodo  (180 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di  (180 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito58

Caratteristiche della funzione tangente La funzione tangente ha per dominio: e per codominio tutto R ; è una funzione dispari perché il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine y per cui tg(-x)=-tg(x); è periodica di periodo π. IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito59

Significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta Tracciamo una circonferenza goniometrica e la retta di equazione y=mx α y=mx tgα 1 Il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente dell’angolo fra la retta e l’asse x IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito60

Funzione arcotangente La funzione arcotangente non è invertibile perché è solo suriettiva ma non iniettiva. Si può restringere, in modo opportuno, il dominio in modo da rendere la funzione biunivoca. E’ sufficiente scegliere un intervallo in cui la funzione sia sempre crescente o decrescente in senso stretto IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito61

 /2 0 22 3  /2 -  /2 Restringiamo il dominio all’intervallo ]-π/2;π/2[ in cui la funzione è stret- tamente crescente. In tale restrizione la funzione è biunivoca IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito62

 /2 0 -  /2 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito63

 /2 0 -  /2 Caratteristiche della funzione arcotangente La funzione arcotangente ha per dominio tutto R e per codominio l’intervallo ]-π/2; π/2[; è sempre crescente; f(x)>0 per x>0; f(x)<0 per x<0; f(0)=0; IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito64

Simmetria rispetto alla bisettrice delle funzioni tangente e arctangente IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito65

Consideriamo un angolo di ampiezza x di vertice O e semirette r ed s. Presi dei punti su r tracciamo le perpendicolari alla semiretta s. Si vengono, così, a formare dei triangoli rettangoli, tutti simili tra loro, in quanto hanno gli angoli congruenti; per cui si ha: x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 Funzione cotangente IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito66

Poiché il triangolo rettangolo è arbitrario possiamo considerare un triangolo rettangolo di ipotenusa pari all’unità di misura 1 cosx x senx IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito67

O A B C T CE : 1 = 1 : tgx ctgx E CE : OA = OC : AT Per vedere come varia la tangente basta vedere come varia CE I triangoli OAT e OEC sono simili per cui si ha: IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito68

O 2π2π 3π/2 π π/2 La cotangente nel I quadrante è positiva e passa da +∞ a 0 La cotangente nel II quadrante è negativa e passa da 0 a -∞ 0 Nel III e IV quadrante la funzione assume gli stessi valori del I e del II quadrante IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito69

  /2 0 22 3  /2 Grafico cotangente -  /2 -- IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito70

  /2 0 22 3  /2 Periodicità cotangente -  /2 --  /6 7  /6  -5  /6 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito71

Periodicità della cotangente Dire che la funzione cotangente è periodica di periodo  (180 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di  (180 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito72

Caratteristiche della funzione cotangente La funzione cotangente ha per dominio: e per codominio tutto R ; è una funzione dispari perché il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine y per cui ctg(-x)=-ctg(x); è periodica di periodo π. IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito73

Funzione arcocotangente La funzione arcotangente non è invertibile perché è solo suriettiva ma non iniettiva. Si può restringere, in modo opportuno, il dominio in modo da rendere la funzione biunivoca. E’ sufficiente scegliere un intervallo in cui la funzione sia sempre crescente o decrescente in senso stretto IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito74

  /2 0 22 3  /2-  /2 -- Restringiamo il dominio all’intervallo ]0;π[ in cui la funzione è strettamente crescente e quindi biunivoca IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito75

  /2 0 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito76

 /2 0  IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito77

Caratteristiche della funzione arcocotangente La funzione arcotangente ha per dominio tutto R e per codominio l’intervallo ]0; π[; è sempre positiva e decrescente; f(0)=π/2;  /2 0  IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito78

 /2 0   Simmetria rispetto alla bisettrice delle funzioni cotangente e arcocotangente IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito79

Secante di un arco IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito80

O x P S’ S H OS : OP = OP : OH ° ° OS : 1 = 1 : COSX OS = 1/ COSX SECX = 1/ COSX x I triangoli OPS e OPH sono simili per cui si ha: IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito81

 /2 0 22 3  /2 Grafico secante 5  /233 7  /2 1 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito82

 /2 0 22 3  /2 Periodicità della secante 5  /233 7  /2 22 22 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito83

Periodicità della secante Dire che la funzione secante è periodica di periodo 2  (360 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di 2  (360 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito84

cosecante di un arco IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito85

O x P S’ S H OS’ : OP = OP : PH OS’ : 1 = 1 : SENX OS’ = 1/ SENX COSECX = 1/ SENX x ° ° I triangoli OPS’ e OPH sono simili per cui si ha: IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito86

-- -  /2 0  /2 3  /2 Grafico cosecante  3  /222 1 -3  /2 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito87

-  /2-- 0  /2 -3  /2 Periodicità della cosecante  3  /222 22 22 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito88

Periodicità della cosecante Dire che la funzione cosecante è periodica di periodo 2  (360 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di 2  (360 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito89

Schema per la conversione gradi-radianti Img da IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito90

ESERCIZI IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito91

Esercizio 1 Quanto vale l’area della zona colorata? 4 4 IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito92

2 2 Area verde = area quadrato di lato 2 – ¼ di cerchio di raggio 2 Area gialla = area quadrato di lato 4 – 8 area verde IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito93

Esercizio 2 Calcola la misura in gradi e in radianti, di un angolo al centro di una circonferenza il cui raggio è uguale a 5 cm e che sottende un arco lungo 23 cm 5 l=23 cm IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito94

Esercizio 3 Calcola la lunghezza di un arco di circonferenza con il raggio lungo 7 cm e che sottende un angolo uguale a 4,2 radianti 7 l αrαr IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito95

Esercizio 4 Un settore circolare ha un angolo al centro che misura 96° e l’area uguale a 60π. Determina la misura del raggio della circonferenza e dell’arco che è definito dal settore r l α IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito96

Fine presentazione IISS "E.Medi"Galatone a.s Prof. Giuseppe Frassanito97