La circonferenza e l’ellisse La sezione conica è l’intersezione di un piano con un cono. La sezione cambia a seconda dell’inclinazione del piano. Se il piano è trasversale all’asse di rotazione otteniamo un’ELLISSE. Se il piano è perpendicolare all’asse di rotazione otteniamo una CIRCONFERENZA.

La circonferenza e la sua equazione La circonferenza è il luogo geometrico di tutti e soli i punti che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto centro. Tutti i punti P che si trovano sulla circonferenza hanno una proprietà comune Utilizzando la formula della distanza tra due punti si ottiene: Si pone Otteniamo l’equazione generica della circonferenza x y C(  ) P(x,y) O

La circonferenza e la sua equazione a, b, c sono legati alle coordinate del centro C ( α ; β ), quindi il raggio ha la seguente relazione: r x y C(  ) P(x,y) O

La circonferenza e la sua equazione Esercizio: Rappresenta graficamente la circonferenza di equazione dopo aver determinato le coordinate del centro e la misura del raggio.

La circonferenza e la sua equazione Conoscendo le coordinate del centro C ( α;β ) e la misura del raggio r, l’equazione della circonferenza è data da: Esempio: C(-1;2) r=4

Casi particolari di circonferenza Se a=0 L’equazione diventa x 2 +y 2 +by+c=0 quindi il centro appartiene all’asse y. Se b=0 L’equazione diventa x 2 +y 2 +ax+c=0 quindi il centro appartiene all’asse x. Se c=0 L’equazione diventa x 2 +y 2 +ax+by=0 Le coordinate del punto 0(0,0) verificano l’equazione, quindi la circonferenza passa per l’origine degli assi. Se a=b=0 L’equazione diventa x 2 +y 2 +c=0 La circonferenza ha il centro nell’origine. Se a=c=0 L’equazione diventa x 2 +y 2 +by=0 La circonferenza ha centro sull’asse y e passa per l’origine. Se b=c=0 L’equazione diventa x 2 +y 2 +ax=0 La circonferenza ha centro sull’asse x e passa per l’origine.

La circonferenza passante per 3 punti Si disegnano sul piano cartesiano i tre punti A(9,-1) B(1,5) C(10,2) e due segmenti che uniscono i tre punti. Dopo si disegnano gli assi dei segmenti AB e BC e li chiamiamo c e d. L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento stesso passante per il suo punto medio. Gli assi dei segmenti c e d si incontrano in un punto che chiamiamo O. Il punto O è il centro della circonferenza. Il centro della circonferenza è il circocentro del triangolo ABC.

La circonferenza passante per 3 punti Dati tre punti, passa sempre una ed una sola circonferenza. Per calcolare l’equazione di una circonferenza dati 3 punti si procede in questo modo. Esempio: Trovare l’equazione della circonferenza passante per i punti A(-2,-1); B(2,1); C(1;0). Imponiamo con la condizione di appartenenza che la circonferenza x 2 +y 2 +ax+by+c=0 passi per i punti dati. A(-2,-1) A ∈ C’ B(2,1) B ∈ C’ C(1;0) C ∈ C’ Si sostituiscono i valori cercati, all’equazione generica della circonferenza. La circonferenza cercata ha equazione:

Posizione di una retta rispetto a una circonferenza La retta può assumere tre possibili posizioni rispetto a una circonferenza: Retta esterna r 1 alla circonferenza: nessun punto di intersezione; Retta secante r 2 alla circonferenza: due punti di intersezione; Retta tangente r 3 alla circonferenza: un unico punto di intersezione. Si procede in questo modo per determinare la posizione di una data retta rispetto una circonferenza: Disponendo dell’equazione della retta e dell’equazione della circonferenza Si considera il sistema di due equazioni in due incognite Sostituendo l'espressione dell'ordinata della retta nell'equazione della circonferenza otteniamo un'equazione di secondo grado. Dunque è possibile calcolare il Delta dell’equazione di secondo grado; il numero di punti di intersezione tra retta e circonferenza equivale al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado risultante. 1) nessun punto di intersezione; 2) due punti di intersezione; 3) un punto di intersezione. A seconda dei casi, si possono calcolare i valori dell’ascissa e sostituirli nell’equazione della retta per determinare le corrispondenti ordinate dei punti di intersezione.

Posizione di una retta rispetto a una circonferenza In questo caso la retta risulta secante.

L’ellisse L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. L’equazione dell’ellisse è racchiusa dalla seguente relazione: F1F1 F2F2 P

In un triangolo, la somma di due lati è maggiore del terzo. Se P è un punto dell’ellisse, deve essere PF 1 +PF 2 >F 1 F 2, dunque 2a>2c, e dunque a>c. Posto b 2 =a 2 -c 2, si dimostra che l’equazione dell’ellisse cercata è Ponendo x = 0, otteniamo y =  b; ponendo y=0, invece x =  a, dunque l’ellisse incontra l’asse x nei punti A 1 (-a,0), A 2 (a,0) e l’asse y nei punti B 1 (0,-b) e B 2 (0,b). Tali punti sono detti vertici dell’ellisse. Il segmento A 1 A 2 è lungo 2a ed è detto asse maggiore; il segmento B 1 B 2 misura 2b e viene detto asse minore. Si noti che l’ellisse è simmetrico rispetto agli assi. Il punto intermedio tra i due fuochi è chiamato centro dell'ellisse.

Le coordinate dei fuochi dipendono da qual è il semiasse maggiore tra a,b: Se a 2 >b 2 i fuochi si calcolano come F 1 (-c,0), F 2 (+c,0), dove Se b 2 >a 2 i fuochi si calcolano come F 1 (0,-c), F 2 (0,+c), dove L’eccentricità L’eccentricità misura lo schiacciamento dell’ellisse ed è una quantità compresa tra zero ed uno, più è prossima a 1, più l’ellisse è schiacciata. Se e = 0 la distanza focale diventa nulla; i fuochi coincidono e l’ellisse coincide con una circonferenza. L’eccentricità è il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse maggiore: a seconda che il semiasse maggiore dell’ellisse sia a oppure b abbiamo quindi; se a 2 >b 2 se b 2 >a 2

L’ellisse e la sua equazione Esercizio: Data l’ellisse di equazione, determiniamo la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’eccentricità e rappresenta la curva graficamente

L’ellisse e la sua equazione Esercizio: Scrivi l’equazione del luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai punti (-2;0) e (2;0) è 14.

Esercizio: Determina l’ellisse corrispondente all’ellisse seguente mediante la traslazione di vettore Se consideriamo un'ellisse traslata, con centro in un punto C(x 1,y 1 ) dette a,b le lunghezze dei due semiassi, possiamo scrivere l'equazione dell'ellisse con centro in C con la seguente formula: Equazione della traslazione

RICCHIUTI SALVATORE 3AA FINE