L’iperbole l'iperbole1IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

L’iperbole: definizione analitica L'iperbole è una conica definita come il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito2 F1F1 P F2F2

Assumiamo come asse delle x la retta passante per i fuochi e come asse delle y la retta perpendicolare a questa nel punto medio del segmento F 1 F 2 e sia 2c la distanza focale l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito3 F1F1 F2F2 2c

Un punto P(x,y) appartiene alla conica se e solo se le sue coordinate soddisfano la condizione: l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito4 F 1 (c;0) F 2 (-c;0) P(x;y)

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito5 F1F1 F2F2 A1A1 A2A2 Grafico iperbole vertice asintoto vertice fuoco

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito6 Nel triangolo F 2 PF 1 il lato F 2 F 1 è maggiore della differenza degli altri due cioè: 2c > 2a → c > a → c² > a² →c² ─ a² =b 2 F 1 (c; 0 ) A1A1 A2A2 P(x;y) F 2 (-c; 0 ) Equazione canonica o normale dell’ellisse

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Proprietà dell’iperbole l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito9 F 1 (c; 0 ) A1A1 A2A2 P(x;y) F 2 (-c; 0 ) Prima proprietà Poiché nell’equazione compaiono solo termi- ni di 2° grado l’iperbo- le è simmetrica rispet- to agli assi coordinati e rispetto all’origine P(-x;-y) P(-x;y)

Proprietà dell’iperbole l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito10 F 1 (c; 0 ) A1A1 A2A2 F 2 (-c; 0 ) Seconda proprietà L’iperbole interseca l’asse delle x nei punti A 1 (a; 0 ) e A 2 (-a; 0 ) che si dicono vertici dell’iperbole, men- tre non interseca l’asse delle y. Per questo motivo l’asse x si chiama asse trasverso e l’asse y asse non trasverso

Proprietà dell’iperbole l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito11 F 1 (c; 0 ) A1A1 A2A2 F 2 (-c; 0 ) Terza proprietà L’iperbole è una curva illimitata. Infatti esplicitando l’equazione canonica rispetto a y 2 si ha: Poichè il primo membro è sempre positivo o nullo, tale deve risultare anche il secondo; deve quindi essere x² – a² ≥ 0, cioè : x ≤ -a v x ≥ a. x=-ax=a

Proprietà dell’iperbole l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito12 F 1 (c; 0 ) A1A1 A2A2 F 2 (-c; 0 ) Quarta proprietà Le rette di equazioni: si chiamano asintoti. Tali rette non intersecano mai l'iperbole, ma ad essa si avvicinano indefinitamente a mano a mano che ci si allontana dall'origine. Si osserva inoltre che l'iperbole giace tutta nell'angolo formato dagli asintoti, che contiene l'asse x. Analizziamo quanto espresso dal punto di vista analitico. Sia y = mx la retta generica passante per O. Cerchiamo le intersezioni tra tale retta e l’iperbole.

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Proprietà dell’iperbole l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito14 F 1 (c; 0 ) A 1 (a;0) A 2 (-a;0) F 2 (-c; 0 ) Gli asintoti : avendo coefficienti angolari ±a/b, sono le diagonali del rettangolo avente per lati le rette x = ± a e y = ± b. B 1 (0;b) B 2 (0;-b)

Proprietà dell’iperbole l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito15 F 1 (c; 0 ) A 1 (a;0) A 2 (-a;0) F 2 (-c; 0 ) Quinta proprietà Si definisce eccentricità il rapporto Tale rapporto, sempre maggiore di 1 essendo c>a, fornisce una misura di quanto l'iperbole sia "schiacciata"

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Iperbole con i fuochi sull'asse y Analogamente se i due fuochi sono posti sull'asse y, la conica è rappresentata dall'equazione: l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito17 avendo posto |PF 1 – PF 2 | = 2b e c 2 – b 2 = a 2. I vertici hanno coordinate B 1 (0,b), B 2 (0, –b),i fuochi F 1 (0,c), F 2 (0, –c).

Iperbole con i fuochi sull'asse y l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito18 F 2 (0;-c) F 1 (0;c) B 1 (0;b) B 2 (0;-b)

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito19 F 2 (0;-c) F 1 (0;c) B 1 (0;b) B 2 (0;-b) A 1 (a;0)A 1 (-a;0)

Riepilogo l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito20 Equazione Fuochi c 2 =a 2 +b 2 EccentricitàAsintoti (±c; 0 ) ( 0 ;±c)

Iperbole equilatera Se a = b, ovvero se le lunghezze dei semiassi trasverso e non trasverso sono uguali, allora l’iperbole è detta equilatera e l'equazione canonica assume la seguente forma: l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito21

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito22 F 1 (c;0) F 2 (c;0) A 1 (a;0) A 2 (a;0) Iperbole equilatera y=x y=-x Grafico iperbole equilatera

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito23 F 1 (0;c) F 2 (0;-c) B 1 (0;b) Iperbole equilatera y=-x y=x B 2 (0;-b) Grafico iperbole equilatera

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito24 Ruotando di ±45° gradi i punti del piano attorno all’origine gli asintoti coincidono con gli assi cartesiani F 1 (c;0) F 2 (c;0) A 1 (a;0) A 2 (a;0) Iperbole equilatera +45° Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti -45°

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito25 Rotazione di +45° gradi attorno all’origine +45°

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito26 Rotazione di +45° gradi dei punti del piano attorno all’origine Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti O A1A1 A2A2 F1F1 F2F2 y=x

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito27 Rotazione di -45° gradi attorno all’origine -45°

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito28 Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti F1F1 F2F2 O A1A1 A2A2 Rotazione di -45° gradi dei punti del piano attorno all’origine y=-x

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito29 Osserviamo che il triangolo OF 1 H è rettangolo isoscele con OH=F 1 H. Ne consegue che F 1 ha coordinate (a;a) ed F 2 (-a;-a) essendo Equazione Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti O A1A1 A2A2 F 1 (a;a) F 2 (-a;-a) H y=x

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito30 In base alla definizione dell’iperbole, e ricordando che i fuochi hanno coordinate F 1 (a;a) e F 2 (-a;-a), un punto P(x;y) appartiene al luogo se:

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito31 Equazione Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti O A1A1 A2A2 F 1 (a;-a) F 2 (-a;a) y=x

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito32 Rotazione di -45° gradi dei punti del piano attorno all’origine Equazione Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti F 1 (-a;a) F 2 (a;-a) O A1A1 A2A2 y=-x

Osservazione L’equazione xy=k rappresenta la legge di proporzionalità inversa se viene scritta nella seguente forma: l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito33

Intersezioni dell’iperbole con una retta Per trovare l'intersezione dell’iperbole con una retta, basta far sistema fra l'equazione dell’iperbole e quella della retta. Analogamente a quanto visto per l’ellisse, si hanno tre casi, secondo il valore del discriminante dell’equazione risolvente, e precisamente: 1) Se Δ > 0, si hanno due intersezioni distinte e la retta è secante. 2) Se Δ = 0, si hanno due intersezioni coincidenti nello stesso punto; la retta è tangente. 3) Se Δ < 0, non si hanno soluzioni reali, quindi la retta è esterna. l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito34

Tangenti ad una iperbole Per determinare l'equazione delle tangenti da un punto P ad un‘iperbole, si costruisce il sistema tra l'equazione della curva e la generica retta per il punto ed si impone che il discriminante dell'equazione risolvente sia uguale a zero (Δ=0). l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito35

Esempio Dal punto (0;-1) condurre le tangenti all’iperbo- le di equazione: 5x 2 -3y 2 =15 l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito36

Tangenti ad una iperbole in un suo punto se il punto P 0 (x 0,y 0 ) appartiene alla curva, l'equazione della tangente in P all‘iperbole si ottiene facendo uso delle formule di sdoppiamento. l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito37

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito38 Formule di sdoppiamento Formula di sdoppiamentoEquaz. dell’iperbole a cui è riferita

Esempio Scrivere l’equazione della retta tangente all’iperbole xy+2=0 nel suo punto di ascissa 1/2. l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito39

Condizioni per determinare l’equazione di un’iperbole Per determinare l’equazione di un’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria cioè: l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito40 Sono necessarie due condizioni, comparendo in essa due parametri a e b. Per determinare l’equazione di un’iperbole equilatera: è sufficiente una condizione che non sia la conoscenza degli asintoti o dell’eccentricità che sono costanti per ogni iperbole equilatera.

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito41 1.Passaggio per due punti non simmetrici rispetto agli assi o rispetto all’origine 2.Conoscenza delle coordinate di un fuoco e dell’equazione di un asintoto 3.Conoscenza delle coordinate di un vertice e di un fuoco Casi che si possono presentare per un’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria:

La funzione omografica (iperbole equilatera traslata) l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito42 Consideriamo la funzione : I coefficienti a,b,c,d, sono costanti assegnate, con c e d non contemporaneamente nulli. A seconda dei valori assunti dai coefficienti essa rappresenta una retta o un’iperbole equilatera con assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani.

1° caso: c=0 e d≠0 L’equazione diventa: l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito43 equazione che rappresenta una retta

2° caso: c ≠ 0 e ad-bc=0 l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito44 equazione che rappresenta una retta parallela all’asse delle x privata del suo punto di ascissa –d/c

3° caso: c ≠ 0 e ad-bc ≠ 0 l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito45 rappresenta un’iperbole equilatera traslata avente come centro di simmetria il punto: L’equazione: E per asintoti le rette:

Riepilogo l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito46 parametriequazione Asintoti e centro di simmetria c=0 e d≠0 c≠0 e ad-bc=0y=k c≠0 e ad-bc≠0

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito47 Grafico Iperbole equilatera traslata Y X O O’

esercizi l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito48

Esercizio 1 Disegnare l’iperbole dopo aver determinato vertici, fuochi ed eccentricità l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito49

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito50 (-3;0) (3;0)

Esercizio 2 Disegnare l’iperbole dopo aver determinato vertici, fuochi ed eccentricità l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito51

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito52 (0;-2) (0;2)

Esercizio 3 Disegnare l’iperbole dopo aver determinato vertici, fuochi ed eccentricità l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito53

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito54 (-3;0) (3;0)

Esercizio 4 Scrivere l’equazione dell’iperbole passante per i punti di coordinate (2;3) e (1;-1) l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito55

Esercizio 5 Scrivere l’equazione dell’iperbole che i vertici nei punti (±4;0) e fuochi nei punti l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito56

Esercizio 6 Determinare l’equazione di un’iperbole equilatera riferita ai propri assi e la cui distanza focale è uguale a 8 l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito57

Esercizio 7 Determinare l’equazione di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e passante per il punto di coordinate (3;2/3). Determinare poi vertici e fuochi l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito58

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito59

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito A1A1 A2A2 F1F1 F2F2

Esercizio 8 Scrivere l’equazione della retta tangente all’iperbole xy+2=0 nel suo punto di ascissa 1/2. l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito61

Esercizio 9 Determinare l’equazione dell’iperbole avente fuoco nel punto e per asintoti le rette y=±2x; trovare l’equazione della tangente t all’iperbole nel suo punto del primo quadrante uguale a l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito62

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito63

Esercizio 10 Scrivere l’equazione della retta tangente all’iperbole xy+2=0 nel suo punto di ascissa 1/2. l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito64

Esercizio 11 Tracciare il grafico della seguente funzione omografica, determinare le coordinate dei suoi vertici e scrivere le equazioni degli assi di simmetria: l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito65

l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito66 O -2 O’ 3 x y y=3 x=-2 y=x+5 y=-x+1 (0;1) (-4;5)

Esercizio 12 Si consideri il fascio di iperboli equilatere di equazione: a)Stabilire per quali valori di m l’equazione non rappresenta una iperbole equilatera b)Determinare i punti fissi A e B attraverso cui passano tutte le iperboli c)Determinare il generico centro di simmetria delle iperboli e determinare il luogo descritto da tale centro al variare di m l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito67

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Fine presentazione l'iperboleIISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito71