TEORIA ELEMENTARE DEGLI INSIEMI Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Il concetto di insieme In matematica la parola “insieme” si usa per indicare un raggruppamento, una raccolta di elementi La nozione di insieme e di elemento di un insieme saranno considerate come concetti primitivi Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Il concetto di insieme Un insieme si può considerare definito solo se è possibile decidere inequivocabilmente se un elemento appartiene o no all’insieme. Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esempi di insieme L’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano L’insieme degli stati europei L’insieme dei numeri interi relativi L’insieme degli alunni della 3B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Non sono insiemi I grandi fiumi d’Italia Gli alunni intelligenti della 3B Le persone simpatiche I libri piacevoli Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme finito e infinito Se gli elementi di un insieme sono in numero limitato, l’insieme si dice finito Se gli elementi di un insieme non sono in numero limitato, l’insieme si dice infinito Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Sono finiti L’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano L’insieme degli stati europei L’insieme dei pianeti del sistema solare Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Sono infiniti L’insieme dei punti di un piano L’insieme dei numeri interi relativi L’insieme dei numeri naturali pari Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Come si indicano gli insiemi e gli elementi di un insieme Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole : A, B, C...... Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole a,b,c........ Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Il simbolo di appartenenza Per indicare che un elemento a appartiene ad un insieme A si usa il simbolo di appartenenza Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Simbolo di non appartenenza Per indicare che un elemento a non appartiene ad un insieme A si usa il simbolo di non appartenenza Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Rappresentazione di un insieme Un insieme può essere rappresentato in tre modi diversi: 1) rapprersentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn 2) rappresentazione tabulare o estensiva 3)rappresentazione intensiva cioè mediante la proprietà caratteristica Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Diagrammi di Eulero-Venn x Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Rappresentazione tabulare Gli elementi di un insieme sono elencati uno a uno per esteso racchiusi tra parentesi graffe X={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Z={... -3;-2;-1;0;1;2;3;...} Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Rappresentazione intensiva Gli elementi di un insieme sono individuati mediante una legge di appartenenza cioè mediante una proprietà caratteristica che consente di stabilire se un elemento appartiene o no ad un insieme A = {x / x è vocale dell’alfabeto } Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esempi di rappresentazione intensiva Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insiemi uguali Diremo uguali due insiemi A e B quando hanno esattamente gli stessi elementi e scriveremo A=B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esempio A = B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

{ } Insieme vuoto oppure Un insieme la cui proprietà caratteristica non è soddisfatta è privo di elementi ed è vuoto Tutti gli insiemi vuoti coincidono Esiste, quindi, un solo insieme vuoto e lo indicheremo con i simboli oppure { } Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme universo Quando si assegna un insieme mediante la proprietà caratteristica occorre indicare l’insieme universo da cui trarre gli elementi x dell’insieme. Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme universo Consideriamo l’insieme La sua caratterizzazione non è completa. Se x è un numero naturale A={2;3;4;5} Se x è un numero razionale A contiene infiniti elementi Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esempio di insieme universo t b c d f g h l m n p q r s v z A a e i o u Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme universo Nel caso di insiemi numerici si conviene, se non si dice nulla, che l’insieme ambiente sia l’insieme dei numeri reali R Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme di insiemi Gli elementi di un insieme possono essere a loro volta degli insiemi. Si ha allora un insieme di insiemi Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esempio di insieme di insiemi Sia C l’insieme delle classi della nostra scuola Ogni elemento di C è, a sua volta, un insieme di studenti Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Sottoinsiemi Considerati due insiemi A e B , si dice che B è un sottoinsieme di A quando ogni elemento di B appartiene anche ad A A B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Sottoinsiemi L’insieme B può essere eventualmente uguale ad A oppure all’insieme vuoto In questo caso B è detto sottoinsieme improprio B è detto sottoinsieme proprio di A quando B non è vuoto ed esistono elementi di A che non appartengono a B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Sottoinsiemi Da quanto detto si conviene che ogni insieme ammette come sottoinsiemi impropri se stesso e l’insieme vuoto Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Proprietà transitiva dell’inclusione Siano A, B e C tre insiemi Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Proprietà transitiva dell’inclusione B A Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Proprietà antisimmetrica dell’inclusione A=B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme delle parti Dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A quell’insieme, indicato con P(A), che ha per elementi tutti i possibili sottoinsiemi di A (compresi quelli impropri ) Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme delle parti : esempio Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme delle parti Non indica l’insieme vuoto ma un insieme unitario il cui unico elemento è l’insieme vuoto Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme delle parti Se con An indico in insieme con n elementi allora P(An) ha 2n elementi Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Operazioni fondamentali Intersezione Unione Complementare Differenza Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme intersezione Dati due insiemi A e B si chiama loro intersezione l’insieme degli elementi appartenenti sia ad A che a B In forma simbolica si scrive : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme intersezione B A Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esempio A={-4;4} B={-4;1/3} Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme unione Dati due insiemi A e B si chiama loro unione l’insieme degli elementi appartenenti ad A oppure a B In forma simbolica si scrive : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme unione A B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esempio Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme complementare Si definisce complementare di un insieme A rispetto ad un insieme ambiente U, l’insieme degli elementi di U che non appartengono ad A In forma simbolica si scrive : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme complementare U CUA A Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esempio Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme differenza Si definisce differenza di due insiemi A e B considerati nell’ordine , l’insiene costituito dagli elementi di A che non appartengono a B In forma simbolica si scrive : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Insieme differenza A-B A B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esempio Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Proprietà delle operazioni proprietà di idempotenza Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Proprietà delle operazioni proprietà commutativa Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Proprietà delle operazioni proprietà associativa Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Proprietà delle operazioni Legge di assorbimento Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Proprietà delle operazioni proprietà distributiva Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Proprietà delle operazioni complementarietà Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Proprietà delle operazioni leggi di De Morgan Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Coppia ordinata Definizione Si dice coppia ordinata un insieme di due elementi, presi in un certo ordine. La scrittura (a;b) indica la coppia ordinata di primo elemento a e di secondo elemento b Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Prodotto cartesiano Definizione Dati due insiemi A e B, si chiama prodotto cartesiano di A e B, e si indica con la scrittura AxB l’insieme di tutte le coppie ordinate con primo elemento in A e secondo elemento in B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esempio Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Prodotto cartesiano Se A contiene m elementi e B ne contiene n, allora AxB contiene m*n elementi Il prodotto cartesiano non è commutativo Se uno dei due insiemi è vuoto prodotto cartesiano è vuoto Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Rappresentazione cartesiana del prodotto B A (a1,b2) (a2,b2) (a3,b2) (a1,b1) (a2,b1) (a3,b1) a1 a2 a3 b1 b2 Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Intervalli Siano a e b due numeri reali con a<b ; si chiama intervallo chiuso di estremi a e b e lo si denota con [a, b], l’insieme di tutti i numeri reali x compresi tra a e b, inclusi a e b In simboli : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Intervalli Siano a e b due numeri reali con a<b ; si chiama intervallo aperto di estremi a e b e lo si denota con (a, b), l’insieme di tutti i numeri reali x compresi tra a e b, esclusi a e b In simboli : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Intervalli Si può parlare anche di intervalli aperti a sinistra e chiusi a destra oppure chiusi a sinistra e aperti a destra In simboli : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Intervalli illimitati Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esercizio 1 Dire, specificandone il motivo, se formano un insieme gli studenti diligenti di una classe le città più importanti d’Italia l’insieme dei numeri naturali minori di 30 l’insieme dei numeri naturali pari l’insieme delle lettere della parola PANE Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esercizio 2 Grecia appartiene ad A ? Atene appartiene ad A ? Sia A l’insieme degli stati europei; si può scrivere : Grecia appartiene ad A ? Atene appartiene ad A ? Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esercizio 3 Scrivere l’insieme dei numeri dispari minori di 14 e rappresentarlo in più modi Indicare l’insieme dei numeri pari compresi tra 9 e 20 in più modi diversi Rappresentare l’insieme dei numeri naturali divisibili per 5 Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esercizio 4 Enunciare la proprietà che caratterizza l’insieme A={6, 8, 10, 12} Rappresentare in modo intensivo l’insieme A={3, 4, 5, 6, 7} Rappresentare l’insieme A={x/2<x<13, x numero naturale} Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esercizio 5 B = {0; 1; 2; 3} C = {0;2;3} Quali dei seguenti insiemi sono uguali ? B = {0; 1; 2; 3} C = {0;2;3} F = { y / y è un triangolo con 5 lati} Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esercizio 6 Dato l’insieme A ={a;b;c}, dire quali tra le seguenti affermazioni sono errate : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esercizio 7 Dati gli insiemi A = { a;b;c} B = { b;d} C = {a;b} dire se le seguenti affermazioni sono vere o false : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esercizio 8 Stabilire se i seguenti insiemi sono uguali : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esercizio 9 Dato l’insieme A = {m;n;p}, indicare l’insieme delle parti P(A) Dare un esempio di insieme A il cui insieme delle parti abbia 2 elementi Se A= {a}, è esatto scrivere Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011

Esercizio 10 Se A={0;3;5} e P(A) è l’insieme delle parti di A, dire quali delle seguenti scritture sono vere : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011