Elementi di Logica Teoria degli insiemi Proff. A. Albanese – E. Mangino Dipartimento di Matematica e Fisica “E. De Giorgi” - Università del Salento Precorso di Analisi Matematica – Facoltà d'Ingegneria – Università del Salento

Elementi di Logica

“Mi piacerebbe fare bene in matematica senza studiare” Questa non è una proposizione! Le proposizioni si possono poi combinare tra loro per formare proposizioni più complesse con l’ausilio dei connettivi logici “e”, “o”, “se”, “allora”, ecc.

Si dicono atomiche le proposizioni che non si possono ottenere da proposizioni più semplici con l’uso dei connettivi logici. “Bari è il capoluogo della regione Puglia” (proposizione atomica) “Se prenderò la Laurea a pieni voti, allora mio padre sarà molto orgoglioso di me” (proposizione non atomica)

I connettivi logici si possono ridurre ai tre che seguono Negazione, che si indica con segno  (non) Negazione, che si indica con segno  (non) Congiunzione, che si indica con  (e) Congiunzione, che si indica con  (e) Disgiunzione, che si indica con  (o) Disgiunzione, che si indica con  (o) Vediamo il significato dei tre connettivi.

Negazione  Se P è una proposizione,  P indica una proposizione il cui contenuto è esattamente l'opposto di quello espresso dalla proposizione P. Esempio: P=Tizio è più alto di Caio   P= Tizio non è più alto di Caio  N.B.:  P non vuol dire che Tizio è più basso di Caio perchè Potrebbero avere la stessa altezza.  Se P è vera, allora  P è falsa.  Se P è falsa, allora  P è vera

Congiunzione  Q afferma il verificarsi sia di quanto affermato in P sia di quanto affermato in Q. Se P e Q sono due proposizioni, con P  Q afferma il verificarsi sia di quanto affermato in P sia di quanto affermato in Q. Es. P:Tizio è più alto di Caio Q: Tizio è più ricco di Caio P  Q: Tizio è più alto e più ricco di Caio P  Q sarà vera solo se P e Q lo sono, mentre P  Q sarà falsa se una delle due è falsa. Es. : Es. : 1<x<3 1<x e x<3

Disgiunzione  Se P e Q sono proposizioni, P  Q afferma il verificarsi di una delle affermazioni espresse dalle proposizioni P e Q. Es. P:Tizio è più alto di Caio Q: Tizio è più ricco di Caio P  Q: Tizio è, rispetto a Caio, più alto o più ricco o le due cose insieme. P  Q sarà vera solo se una fra P e Q lo è, mentre P  Q sarà falsa se entrambe sono false. Es. x 2 -4>0 se e solo se x 0 se e solo se x<-2  x 

Esempi: 1) P=“piove”, Q=“è lunedì”  P=“non piove” P  Q=“piove ed è lunedì” P  Q=“piove o è lunedì” 2) P=“12 è un numero pari”, Q=“12 è divisibile per 3” P  Q=“12 è un numero pari o è divisibile per 3” E’ interessante stabilire per questi connettivi delle tavole di verità che permettano di dire se la proposizione costruita è vera o falsa a seconda della verità o falsità delle componenti.

Valore di Verità. Tavole di Verità Si indicano i valori di verità VERO con 1 e FALSO con 0. Ovvero, data una proposizione P, si pone v(P)=1 se P è vera, altrimenti si pone v(P)=0. Esempi: v(“4 è un numero pari”)=1 v(“25 è divisibile per 2”)=0

Analizziamo ora il comportamento dei vari connettivi logici. Tavola della Verità della Negazione   “25 è divisibile per 2”=“25 non è divisibile per 2” Tavola della Verità della Congiunzione  P PP PQ P  Q

Tavola della Verità della Disgiunzione  PQ P  Q

Usando sempre le tavole di verità si possono provare le proprietà commutativa e associativa dei connettivi logici  e  : (6) P  Q= Q  P, P  Q= Q  P (proprietà commutativa) (7) P  (Q  R)=(P  Q)  R (proprietà associativa) (8) P  (Q  R)=(P  Q)  R (proprietà associativa)

Usando queste tavole di verità è facile dimostrare le seguenti relazioni: (1)  P=P V(P)=1  V(  P)=0  V(   P)=1 e viceversa (2)  (P  Q)=  P  Q (3)  (P  Q)=  P   Q (leggi di De Morgan) (4) P  (Q  R)= (P  Q)  (P  R) (5) P  (Q  R)= (P  Q)  (P  R) (leggi di distribuzione)

In matematica sono molto usati due altri connettivi logici: Implicazione, che si indica con segno  Implicazione, che si indica con segno  (P implica Q: P  Q) Doppia implicazione o equivalenza, che si indica con segno  Doppia implicazione o equivalenza, che si indica con segno  (P se e solo se Q: P  Q)

L'implicazione è il connettivo più delicato: Linguaggio comune: Tizio dice a Caio: “Se domani il tempo è bello, verrò a trovarti” Se l'indomani piove Caio non si aspetterà la visita di Tizio. Nel linguaggio comune, nell'affermazione di Tizio si può leggere fra le righe l'affermazione: “Se domani piove non vengo” In Matematica non è così: L'affermazione di Tizio prevede che se il tempo è bello vada sicuramente a trovare Caio, ma se il tempo è brutto potrebbe andare o non andare.

TEST: “Se hai talento, sei un artista”. Sei un artista, allora Hai talento Non hai talento Non è possibile concludere nulla Non sei artista ed hai talento.

I connettivi logici  e  si definiscono come segue. P  Q:=  P  Q P  Q:=(P  Q)  (Q  P) L’implicazione P  Q è vera non solo quando P e Q sono ambedue vere, ma anche quando P è falsa indipendentemente dal valore di verità di Q. Questo si deduce dalla tavola di verità corrispondente al connettivo logico .

Tavola della verità dell’implicazione  PQ P  Q

Ricordiamo una particolare forma alternativa dell’implicazione che spesso è usata nelle dimostrazioni: P  Q=  P  Q=  P    Q=  (  Q)   P=  Q   P (legge di contrapposizione) Questa uguaglianza è utile nelle dimostrazioni per assurdo.   P  Q)=  (  P  Q)=P   Q

Tavola della verità della doppia implicazione  PQ P  Q

In matematica hanno un ruolo importante i cosiddetti predicati. Un predicato è una affermazione che contiene una o più variabili e il suo valore di verità dipende dai valori della o delle variabili che in essa compaiono. Esempio: P(n)=“Il numero naturale n è dispari” P(2)= “Il numero naturale 2 è dispari” F P(5)= “Il numero naturale 5 è dispari” V

Altri esempi: P(n)=“n  N (n dispari  n 2 dispari)” P(n)=“n  N: n è divisibile per 2” Il valore di verità di queste affermazioni dipende dalla variabile n! Un predicato non è una proposizione (tranne nel caso in cui non compaia alcuna variabile) e quindi un predicato non è né vero né falso. Per rendere un predicato una proposizione occorre “quantificare” la variabile.

,  quantificatori universali  n  N (n dispari  n 2 dispari)”  n  N: n è divisibile per 2”  x P(x))=  x  P(x))  x P(x))=  x  P(x))  Come si negano le proposizioni in cui compare un quantificatore??

Elementi di Teoria degli insiemi Un insieme è una “collezione” (“classe”, “famiglia”, “aggregato”) di oggetti determinati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero (Georg Cantor). Gli oggetti che compongono un insieme si chiamano elementi dell’insieme.

Di solito si rappresentano gli insiemi con lettere maiuscole (A,B,C,…, X,Y,Z) e i rispettivi elementi con lettere minuscole (a,b,c,…,x,y,z). Se a è un elemento dell’insieme A si scrive a  A (e si legge a appartiene ad A). Se a non è un elemento dell’insieme A si scrive a  A (e si legge a non appartiene ad A). Un insieme può essere definito elencando tutti i suoi elementi in parentesi graffe (per tabulazione). Ad esempio A=  0,1,2,3,4,5,7,8,9}. In particolare, 0  A e 10  A.

Definire un insieme per tabulazione presuppone che l’insieme abbia un numero finito di elementi. Ma, molto spesso in matematica si ha a che fare come insiemi con un numero infinito di elementi, come gli insieme dei numeri naturali N, dei numeri interi Z, dei numeri razionali Q, dei numeri reali R, ecc. Un altro modo di definire gli insiemi (tipico quando si vuole definire un insieme con un numero infinito di elementi) è dato assegnando una proprietà caratteristica, come nell’esempio: A=  n  N: n è divisibile per 4}. In particolare, 8  A, ma 13  A.

Ogni insieme può essere rappresentato graficamente identificandolo con una regione del piano delimitata da una linea chiusa (Diagrammi di Venn). L’insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con il simbolo . Dati due insiemi A e B, si dice che A è un sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche un elemento di B. In tal caso, si scrive A  B o B  A.

Esempi: 1) A=  a,b,e}, B=  a,b,c,d,e,f}, C=  a,b,c,h} A  B ma C  B 2) A=  0,1,2}, B=  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A  B 3) N  Z  Q  R Osserviamo che:  A  A insieme A  A  A insieme

Dati due insiemi A e B, si dice che A e B sono uguali se A e B hanno gli stessi elementi. In tal caso, si scrive A=B. Nel caso in cui A  B ma A e B non sono uguali si scrive A  B e si dice che A è un sottoinsieme proprio di B. Quindi, possiamo scrivere che 1) N  Z  Q 2)  1,2,3}  1,2,3,4,5}

La relazione di inclusione tra insiemi  ha le seguenti proprietà: 1) A  A (proprietà riflessiva) 2) A  B e B  A  A=B (proprietà simmetrica) 3) A  B e B  C  A  C (proprietà transitiva) Da questo momento in poi supponiamo che tutti gli insiemi che consideriamo siano sottoinsiemi di un dato insieme U (insieme universo).

Dati due insiemi A e B (  U), si dice unione dei due insiemi A e B e si indica con A  B l’insieme degli elementi che appartengono ad A o a B. Ovvero A  B:=  x  U: x  A o x  B}. Esempio: A =  1,2,3,4,5}, B =  0,1,2,3,8}, A  B=  0,1,2,3,4,5,8}. Chiaramente: A  A  B, B  A  B, A  =A, A  A=A.

Dati due insiemi A e B (  U), si dice intersezione dei due insiemi A e B e si indica con A  B l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B. Ovvero A  B:=  x  U: x  A e x  B}. Esempio: A =  1,2,3,4,5}, B =  0,1,2,3,8}, A  B=  1,2,3}. Chiaramente: A  B  A, A  B  B, A   = , A  A=A.

In modo analogo si definiscono l’unione e l’intersezione di più insiemi. Le operazioni di unione  e  tra insiemi soddisfano le seguenti proprietà: 1) A  B=B  A, A  B=B  A (prop. commutativa) 2) A  (B  C)=(A  B)  C, A  (B  C)=(A  B)  C (prop. associativa) 3) A  (B  C)=(A  B)  (A  C), A  (B  C)=(A  B)  (A  C) (prop. distributiva)

Dati due insiemi A e B (  U), si dice differenza di B da A e si indica con B\A l’insieme degli elementi che appartengono a B ma non ad A. Ovvero B\A:=  x  U: x  B ma x  A}. Esempio: A =  1,2,3,4,5}, B =  0,1,2,3,8}, B\A=  0,8}. Chiaramente: 1) B\A  B, B\  =B, 2) B  A  B\A= , 3) (B\A)  (A  B)=B.

Dato un insieme A (  U) si dice complementare di A (rispetto ad U) e si indica con C U A (o semplicemente con CA) l’insieme differenza U\A. Esempio: 1) A =  1,2,3,4,5}, U =  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C U A=  0, 6,7,8,9} 2) A=  n  N: n pari}, U=N C N A=  n  N: n dispari}. Chiaramente: 1) A  C U A =U, 2) A  C U A = , 3) A  B  C U B  C U A.

Leggi di De Morgan  A,B  U C(A  B)=CA  CB, C(A  B)=CA  CB Diagrammi di Venn

Dato un insieme A (  U) si dice insieme delle parti di A (rispetto ad U) e si indica con P(A) l’insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A. Ovvero P(A):=  B insieme: B  A }. Esempio: A =  1,2,3}, P(A)= ,  1},  2},  3},  1,2},  1,3},  2,3},  1,2,3}} Osservazione: Se A è formato da n elementi, allora P(A) è formato da 2 n elementi.

Si dice coppia ordinata di prima coordinata a e di seconda coordinata b e si indica con (a,b) l’insieme  a},  a,b} }. In generale le coppie ordinate (a,b) e (b,a) sono diverse. In particolare (a,b)=(c,d)  a=c e b=d. Dati due insiemi A e B, si dice prodotto cartesiano di A per B e si indica con AxB l’insieme delle coppie ordinate (a,b) con a  A e b  B, cioè AxB:=  (a,b): a  A, b  B}.

Il prodotto cartesiano non è commutativo! Esempio: A=  1,2}, B=  2,3} AxB=  (1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} BxA=  (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)} Quindi AxB e BxA sono insiemi diversi. In maniera analoga si definisce la nozione di n- upla ordinata e di prodotto cartesiano di più insiemi. In particolare, si usa la seguente notazione: A 2 :=AxA, A 3 :=AxAxA, ecc.