V postulato di Euclide: enigma e frustrazione di generazioni di matematici. Analisi di un problema matematico sconveniente. Classe V D liceo scientifico V. Vecchi di Trani A.s. 2009/2010 Discipline coinvolte: filosofia, storia dell’arte, matematica Docenti: D. De Angelis, G. Di Canosa, U. Morra

Per iniziare … alcune domande agli studenti. Cos’è lo spazio? La materia è un supporto indispensabile di ciò che chiamiamo spazio? Ovvero: lo spazio viene riempito di materia o è la materia che forma lo spazio? Se ci trovassimo in uno spazio senza materia, come potremmo distinguere ciò che è diritto e ciò che è storto?

Qual è la differenza tra spazio e universo? Lo spazio ha una curvatura? Qual è la differenza tra illimitato e infinito? Lo spazio è rappresentabile? Due rette parallele si incontrano o no all’infinito?

Ne è seguita una pausa riflessiva. Gli studenti hanno potuto rileggere ed integrare le loro risposte su internet, con il software Dropbox con cui una copia dei documenti condivisa su ogni pc è raggiungibile in qualsiasi momento grazie a una comoda interfaccia web.

Poi uno studente ha esposto in forma drammatizzata una lettera dissuasiva Per amor del cielo, ti imploro di desistere dal tentativo. Il problema delle parallele è una cosa da temere ed evitare non meno delle passioni dei sensi, poiché anch’esso può rubarti il tuo tempo e privarti della salute, della serenità di spirito e della felicità. [lettera del matematico ungherese Farkas Bolyai al figlio Janos, 1820 circa]

Una lettera poco convincente o … un problema appassionante? Nel 1829 Janos Bolyai raggiunse una stupefacente conclusione: non solo il postulato delle parallele non era affatto dimostrabile ma metterlo da parte significava entrare in un giardino incantato, in cui convivere con altre geometrie, del tutto diverse da quella euclidea. Una curiosità: il matematico russo Lobacevskij giunse a risultati analoghi qualche anno prima, così come il matematico tedesco Gauss, indipendentemente dall’ungherese Janos Bolyai.

Un colpo mortale inferto alla filosofia kantiana La geometria lobacevskijana mostrò come la geometria euclidea non fosse quella scienza esatta, depositaria di verità assolute quale era stata precedentemente considerata.

Per tutto il XVIII secolo la geometria euclidea, insieme alla dinamica newtoniana, fu considerata quanto di più saldo vi potesse essere nella conoscenza scientifica. Nell’epoca moderna la tesi della validità assoluta della geometria euclidea doveva trovare la sua più compiuta espressione nell’Estetica trascendentale kantiana. In tale parte della Critica della ragion pura, la geometria euclidea viene concepita come un insieme di giudizi sintetici a priori (ossia indipendenti dall’esperienza), ma universalmente e necessariamente validi per gli oggetti di esperienza. Per Kant spazio e tempo costituiscono gli a priori (lo spazio del senso esterno e il tempo di quello interno) necessari per la conoscenza.

Gli assiomi della geometria costituiscono delle condizioni cui gli oggetti dell’esperienza devono sottostare, nel senso che non si possono dare oggetti d’esperienza che non si conformino alle proprietà strutturali del nostro “senso esterno”. Lo sviluppo delle geometrie non euclidee ha ribaltato questa concezione filosofica: Gauss, Bolyai, Lobacevskij e Riemann dimostrarono che la geometria euclidea era soltanto una delle possibili geometrie e che quindi non solo non era indispensabile, ma poteva addirittura non corrispondere alla realtà (somma degli angoli interni ad un triangolo). La teoria della relatività einsteniana ha dimostrato che le geometrie non euclidee proponevano una nuova teoria dello spazio, verificabile nella prassi; ma soprattutto ponevano fine ad una concezione che postulava una realtà e giudizi sintetici a priori universalmente validi.

E in disegno e in storia dell’arte … … sono stati analizzati gli aspetti legati al concetto di punto proprio e improprio, ovvero il passaggio dalla proiezione cilindrica alla proiezione conica e prismatica del Brunelleschi, quindi a quella prospettica, non euclidea.

Uno sviluppo lento … e condizionato dallo spirito dei tempi … In diverse lettere ad amici Gauss, autorevolissimo matematico del tempo, elogiò le ricerche di Lobacevskij, sebbene non volle mai riconoscerle in scritti che fossero pubblicati, per timore di suscitare le risa dei “beoti”. Fu in parte per questa ragione che la conoscenza della nuova geometria si diffuse molto lentamente.

Un parere sul lavoro di Janos Bolyai … Farkas Bolyai chiese all’amico Gauss la sua opinione sull’opera poco ortodossa del figlio Janos. Gauss rispose di non poter lodare il lavoro di Janos perché ciò sarebbe equivalso a lodare se stesso, dal momento che aveva avuto le stesse idee da parecchi anni.

Lo scarso riconoscimento … L’opinione di Gauss e la pubblicazione nel 1840 dell’opera di Lobacevskij , gettarono Janos Bolyai in uno stato di disperazione per cui non pubblicò più nessun lavoro. Così la maggior parte del merito per aver gettato le basi delle geometrie non euclidee spetta a Lobacevskij, perciò ricordato come il “Copernico della geometria”.

Ma... torniamo al problema principale Qual è il problema delle parallele e perché suscitò tanto interesse e tanta angoscia?

Un salto indietro di alcuni secoli… Euclide di Alessandria scrisse (300 a.C. circa) un’opera in 13 volumi, gli Elementi (considerata il più grande manuale di tutti i tempi.) Nel I libro sono enunciate le basi della geometria euclidea: 23 termini, 5 postulati, 8 nozioni comuni.

I Termini Gruppo di definizioni che ha lo scopo di descrivere gli enti geometrici a partire dal loro modello reale. I. Punto è ciò che non ha parti. II. Linea è lunghezza senza larghezza. III. Estremi di una linea sono punti. IV. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa (cioè, ai suoi punti). V. Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza. VI. Estremi di una superficie sono linee. VII. Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa (cioè, alle sue rette). . . . XXIII. Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti.

Le Nozioni comuni Proposizioni primitive di grande generalità, che appaiono chiare ed evidenti sulla base delle intuizioni. I. Cose uguali a una stessa cosa sono uguali fra loro. II. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali. III. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, i resti sono uguali. IV. Se cose uguali sono addizionate a cose diseguali, le somme sono disuguali. V. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro. VI. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro. VII. Cose che coincidono tra loro sono uguali. VIII. Il tutto è maggiore della parte.

I Postulati Verità fondamentali di contenuto strettamente geometrico dotate di verità autoevidenti, quindi accettabili sulla base dell’intuizione comune. Si richiede: I. che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto. II. che una retta terminata si possa prolungare continuamente per diritto. III. che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza. IV. che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro.

Il quinto postulato Se una retta venendo a cadere su altre due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno a incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.

Enunciati equivalenti Una delle formulazioni equivalenti del V Postulato d'Euclide è quella a noi più familiare (John Playfair - 1795): ‘Data una retta r sul piano e un punto P fuori di essa, esiste una e una sola retta per P parallela a r’

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 2 R • Esistono triangoli simili, ma non congruenti. • Per un punto interno a un angolo acuto si può sempre condurre una retta che interseca entrambi i lati dell’angolo. • Il rapporto tra una circonferenza e il suo diametro è costante. • Il luogo dei punti del piano equidistanti da una retta data, collocati da una stessa parte della retta, è una retta. • Per tre punti del piano non allineati passa sempre una circonferenza. • La diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili. • Una perpendicolare p è un’obliqua o a una stessa retta si incontrano sempre in un punto dalla parte in cui l’obliqua forma con la retta un angolo acuto (postulato dell’unicità della parallela).

Il V Postulato è un problema E’ facile accorgersi della complessità dell'enunciato e della sua visualizzazione grafica, minore evidenza del V Postulato rispetto ai precedenti. L’inafferrabile natura del misterioso V postulato ha sempre costituito un problema per i matematici. E a molti è apparso più un teorema da dimostrare che un fatto autoevidente.

Ci si chiese, quasi da subito, se il V Postulato fosse tale; cioè, se fosse ‘deducibile’. Si cercò, allora, di darne una dimostrazione, usando le Nozioni Comuni e gli altri Postulati. In alcuni casi (Tolomeo, Proclo, Nasîr-Eddin), si ‘dedusse’ apparentemente il V Postulato, utilizzando però, da qualche parte, una qualche ipotesi considerata autoevidente, ma che ogni volta si è rivelata essere equivalente al V Postulato stesso.

Le proposizioni, ovvero i teoremi del primo libro di Euclide si occupano delle proprietà delle linee rette e delle aree di parallelogrammi, triangoli e quadrati. Per dimostrarle Euclide faceva uso dei primi quattro postulati e non utilizzava mai il quinto. Si capì molto presto che le proposizioni così provate sarebbero rimaste valide anche sopprimendo il quinto postulato, o sostituendolo con uno nuovo (sempre compatibile con gli altri quattro). Bisogna ricordare come gli Elementi di Euclide divennero un testo straordinariamente popolare e influirono sul pensiero occidentale per più di 2 millenni; ma l’inafferrabile natura del misterioso V postulato ha sempre costituito un problema per i matematici.[…] E a molti è apparso più un teorema da dimostrare che un fatto autoevidente.

Il lavoro pionieristico di Padre Girolamo Saccheri Nel 1733 a Milano venne pubblicato un libretto scritto in latino e intitolato Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide liberato da ogni pecca); l’autore, il gesuita italiano Girolamo Saccheri (1667-1733), pensò di dimostrare il V Postulato ‘a contrariis’, cioè con un percorso per assurdo; essendo il V Postulato ciò che voleva dimostrare, egli assunse come punti di partenza: le Nozioni Comuni ed i restanti postulati di Euclide, una negazione del V Postulato, cercando poi di giungere ad una contraddizione nel nuovo corpo di teoremi che ne sarebbero scaturiti. In tal modo, la negazione del V Postulato sarebbe risultata falsa, convalidando il V Postulato.

Punto di partenza, dunque, furono le due possibili negazioni di una forma equivalente del V Postulato:   l'ipotesi dell'Angolo Ottuso l'ipotesi dell'Angolo Acuto che equivalgono rispettivamente a non esiste alcuna linea parallela ad una data, per un punto fissato fuori di essa esistono infinite linee parallele ad una data, per un punto fissato fuori di essa

Nello sviluppo della sua teoria, Saccheri analizzò le proprietà del quadrilatero birettangolo isoscele, una figura ottenuta innalzando da una base AB due segmenti uguali AC e BD ad essa perpendicolari e unendo i punti C e D, procedendo “per assurdo”. In questa figura: • gli angoli in C e D sono uguali; • la congiungente i punti medi M e N dei lati AB e CD è perpendicolare a entrambi.

Angolo acuto gli angoli in C e D sono minori di un angolo retto Angolo retto Gli angoli C e D sono uguali a un angolo retto Angolo ottuso Gli angoli C e D sono maggiori di un angolo retto

Nell'ipotesi dell'Angolo Ottuso, padre Saccheri giunse effettivamente ad una contraddizione (in realtà, errata…). “L’ipotesi dell’angolo ottuso è completamente falsa perché distrugge se stessa.” Nell'ipotesi dell'Angolo Acuto, padre Saccheri, studia e studia, ma non giunge ad alcuna contraddizione!! E allora, dopo ben sedici pagine di argomentazioni oscure ed affannose, conclude irritato:  “L'ipotesi dell'angolo acuto è assolutamente falsa, perché ripugna alla natura della retta!”

Nell’ipotesi dell’Angolo Acuto, il nuovo sistema di Postulati è non-contraddittorio!

L’apporto di Riemann Nel 1854 Riemann diventò un Privatdozent all’Università di Gottinga. In tale circostanza ci fu quella che è ritenuta la più famosa dissertazione di abilitazione della storia della matematica: essa infatti presentava una ampia e profonda visione dell’intero campo della geometria.

La tesi, dal titolo Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria, introduceva una visione globale della geometria come studio di varietà di un numero qualsiasi di dimensioni in qualsiasi genere di spazio. Secondo la concezione di Riemann la geometria non dovrebbe neppure necessariamente trattare di punti o di rette o di spazio nel senso ordinario, ma di insiemi di ennuple ordinate che vengono raggruppate secondo certe regole.

Le formiche su di un piano e su una superficie sferica Ma cosa succede ad un esserino come una formica che vive su una delle due superfici e non ha la possibilità d’inoltrarsi nella terza dimensione? Come può, se può, accorgersi di trovarsi in spazi diversi? Può farlo solo misurando. Misurando cosa? Beh, la formica che sta sul tavolo inizia a muoversi “poco poco” (di un ‘infinitesimo’) prima lungo la direzione delle ascisse e poi lungo la direzione delle ordinate; in questo modo, varia “poco poco” (di un ‘infinitesimo’) ciascuna delle sue coordinate. Misura e constata la validità del teorema di Pitagora.

Geometrie e teorema di Pitagora La formichina che riscontra la validità del teorema di Pitagora si trova in una geometria euclidea (è il caso di quella che sta un piano), altrimenti si trova in una geometria non euclidea (la formichina sulla superficie sferica).

Perché è stata sviluppata prima la geometria euclidea?

Gli studenti hanno esposto in forma drammatizzata il seguente brano Il mondo a Capo Perpetua <narrata da uno studente> C’è un posto, nell’Oregon, alto circa trecento metri sul livello del mare che domina la rocciosa costa che si affaccia sul Pacifico: si chiama Capo Perpetua. Capo Perpetua è un luogo unico, sospeso – come si trova, nell’aria – su di un Oceano blu scuro: dall’alto del promontorio è possibile vedere la rotondità della Terra. Da quel punto della costiera dell’Oregon, all’orizzonte, si vede l’Oceano che si incurva dolcemente verso il basso e verso tutte le direzioni. Se poi una vela compare all’orizzonte, sembra che scivoli via, interminabilmente, lungo la superficie rotonda.

<narrata da un altro studente> Viene da chiedersi che avrebbero fatto i Babilonesi, gli Egizi o anche i Greci se fossero vissuti a Capo Perpetua, anziché nelle loro pianure, tra le terre piatte del Tigri e dell’Eufrate. <narrata da un altro studente ancora> Chissà, forse avrebbero inventato una matematica diversa; la matematica e la geometria di chi ha visto la curvatura della Terra e dello spazio che gli è intorno.

Infine i modelli per le geometrie non euclidee Modello in polistirolo per la geometria sferica

Studio interattivo del modello di Poincarè del disco per la Geometria Iperbolica

  CARL B. BOYER. Storia della matematica. Oscar Saggi Mondadori. Milano, 1976 AMIR D. ACZEL. L’equazione di Dio. Il Saggiatore Tascabili Milano, 2000. P. PARRINI. Fisica e geometria dall’Ottocento a oggi. Loescher. Torino, 1979 N. ABBAGNANO. Storia della filosofia. Utet. Torino, 1958 Letizia Brunetti e Angelo V. Caldarella. Mah … la somma degli angoli interni d’un triangolo è 180°? (Seminario di Storia della Scienza) Bergamini – Trifone – Neri – Tazzioli. Le geometrie non euclidee e i fondamenti della matematica. Un approccio elementare alla geometria non euclidea. Paolo Lazzarini (http://users.libero.it/prof.lazzarini/geometria_sulla_sfera/geo.htm) BIBLIOGRAFIA