CONICHE

CONICHE Circonferenza Parabola Ellisse Iperbole

Circonferenza luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto C, detto centro distanza fra centro e punti della circonferenza = raggio.

Circonferenza Note le coordinate del centro (a, b) e la misura r del raggio, l’equazione della crf. è:

Circonferenza Sviluppando i quadrati, e ponendo: si ha: equazione canonica

Come riconoscere una crf dall’eq. canonica nell’equazione canonica della crf. sia x che y compaiono con esponente 2 i termini di secondo grado (x2 e y2) hanno i coefficienti uguali (entrambi = +1) manca il termine rettangolare (cioè quello con parte letterale xy)

Circonferenza Nota l’eq. canonica si possono trovare centro e raggio

Circonferenza e retta d = distanza fra il centro C ed una retta r Se d < r, la retta è secante la circonferenza Se d = r, la retta è tangente alla circonferenza Se d > r, la retta è esterna alla circonferenza. d

Test Il sistema con a e b reali: ha sempre due soluzioni ha infinite soluzioni per ogni valore di a e di b ha soluzioni solo se a e b sono positivi ha soluzioni solo se a e b sono negativi può avere soluzioni solo se a è negativo

Test La circonferenza di equazione ha: centro (3/2, 2) e raggio 5/2

Test La circonferenza di centro (2,5) e raggio 3 ha equazione: a. b.

Test L’equazione rappresenta una: a. circonferenza per k>0 b. parabola per k<0 c. circonferenza per ogni valore di k d. circonferenza tangente all’asse x per k = -4 e. circonferenza tangente all’asse x per ogni valore di k

Parabola luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco) La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola L’asse interseca la parabola in un punto, detto vertice asse F V direttrice

Parabola: 2 casi asse F V F V direttrice direttrice Se a > 0, concavità nel verso indicato dalla freccia dell’asse Se |a| “grande” la parabola è “chiusa” Se b = 0, la parabola ha asse di simmetria coincidente con asse y (o asse x) Se c = 0, la parabola interseca l’asse delle y (o x) nell’origine (altrimenti nel punto di ordinata c).

F V direttrice asse F V vertice vertice asse asse fuoco fuoco

Parabola e retta si possono trovare le intersezioni fra le due curve risolvendo il sistema delle loro equazioni: Dopo la sostituzione si ottiene un’equazione di secondo grado in x Se D > 0, ci sono due intersezioni distinte e quindi parabola e retta sono secanti Se D = 0, ci sono due intersezioni coincidenti e quindi parabola e retta sono tangenti Se D < 0, non ci sono intersezioni e quindi parabola e retta sono esterne

Test La conica di equazione rappresenta rispettivamente una circonferenza ed una parabola se: k = 1; k = -1 k = 0; k = 1 k = 1, k = 0 k = -1; k = 1 k = -1; k = 0

Test La parabola di equazione : ha il vertice nel punto ha il fuoco nel punto ha come asse di simmetria l’asse delle ascisse ha come asse di simmetria l’asse delle ordinate non interseca l’asse delle ascisse

Test La curva di equazione : è una circonferenza con centro in (-1/2; 0) interseca la retta x = -8 in due punti non interseca la curva è una parabola con il vertice nel punto (0; -4) è una parabola con il vertice nel punto (-4; 0)

Test Se il fuoco di una parabola ha coordinate (0, 6) e la direttrice ha equazione y = 2, la parabola: passa per O(0, 0) ha asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse ha il vertice nel punto (0; 1) non interseca l’asse delle ascisse non interseca l’asse delle ordinate

ELLISSE luogo geometrico dei punti del piano tali che sia costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi Le 4 intersezioni fra ellisse ed assi cartesiani sono dette vertici i segmenti che congiungono due vertici opposti sono detti assi i segmenti condotti dall’origine O fino ad uno qualunque dei vertici sono detti semiassi se i due assi sono uguali, allora l’ellisse è una circonferenza I fuochi giacciono sempre sull’asse maggiore B1 P P O A1 F1 F2 A2 B2

Ellisse: casi particolari F1 F2 A1 A2 B2 B1 a > b b > a con con

Ellisse i termini in x e y compaiono entrambi con esponente 2 e con segni positivi (come nella circonferenza), ma i coefficienti di questi termini sono in generale due numeri diversi (se sono uguali si ricade nel caso della circonferenza)

IPERBOLE luogo geometrico dei punti del piano tali che sia costante la differenza delle distanze da due punti fissi e detti fuochi Le 4 intersezioni fra iperbole ed assi cartesiani (due di esse sono immaginarie) sono dette vertici; i segmenti che congiungono due vertici opposti sono detti assi (l’asse che congiunge i due vertici reali è detto asse trasverso; quello che congiunge i due vertici non reali è detto asse non trasverso) i segmenti condotti dall’origine O fino ad uno qualunque dei vertici sono detti semiassi. Se i due assi sono uguali, allora l’iperbole è detta iperbole equilatera I fuochi giacciono sull’asse trasverso L’iperbole non è una curva chiusa ed è costituita da due rami distinti. Allontanandosi dall’origine, entrambi i rami si avvicinano sempre più a due rette, dette asintoti obliqui A1 A2 B2 B1 F1 F2

Iperbole: casi particolari F1 F2 A1 A2 B2 B1 Asintoti obliqui Vertici reali Vertici reali Vertici non reali Vertici non reali L’asse trasverso è quello orizzontale, lungo 2a L’asse trasverso è quello verticale, lungo 2b con con

Iperbole equilatera riferita agli assi (di simmetria) a = b

Iperbole equilatera riferita agli asintoti Se k > 0, l’iperbole occupa il 1° e 3° quadrante Se k < 0, l’iperbole occupa il 2° e 4° quadrante

Test Stabilire la natura della conica di equazione: . Si tratta di: a. una circonferenza b. una parabola c. un’ellisse d. un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e. un’iperbole riferita ai propri assi

Test Il sistema con a numero reale: non ha soluzione per ogni valore di a ha due soluzioni per ogni valore di a ha soluzioni solo se a è positivo ha soluzioni solo se a è negativo ha due soluzioni coincidenti se a = ±4.